1、淺談貝葉斯公式及其應(yīng)用摘 要貝葉斯公式是概率論中很重要的公式，在概率論的計(jì)算中起到很重要的作用。本文通過(guò)對(duì)貝葉斯公式進(jìn)行分析研究，同時(shí)也探討貝葉斯公式在醫(yī)學(xué)、市場(chǎng)預(yù)測(cè)、信號(hào)估計(jì)、概率推理以及工廠產(chǎn)品檢查等方面的一些實(shí)例，闡述了貝葉斯公式在醫(yī)學(xué)、市場(chǎng)、信號(hào)估計(jì)、推理以及產(chǎn)品檢查中的應(yīng)用。為了解決更多的實(shí)際問(wèn)題，我們對(duì)貝葉斯公式進(jìn)行了推廣，舉例說(shuō)明了推廣后的公式在實(shí)際應(yīng)用中所適用的概型比原來(lái)的公式更廣。從而使我們更好地了解到貝葉斯公式存在于我們生活的各個(gè)方面、貝葉斯公式在我們的日常生活中非常重要。關(guān)鍵詞：貝葉斯公式 應(yīng)用 概率 推廣第一章 引言貝葉斯公式是概率論中重要的公式，主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事

2、件的概率,它實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用。貝葉斯公式出現(xiàn)于17世紀(jì)，從發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在，已經(jīng)深入到科學(xué)與社會(huì)的許多個(gè)方面。它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.貝葉斯公式在實(shí)際中生活中有廣泛的應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件 B）發(fā)生的最可能原因。目前，社會(huì)在飛速發(fā)展，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈，決策者必須綜合考察已往的信息及現(xiàn)狀從而作出綜合判斷，決策概率分析越來(lái)越顯示其重要性。其中貝葉斯公式主要用于處理先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率，是進(jìn)行決策的重要工具。貝葉斯公式可以用來(lái)解決醫(yī)學(xué)、市場(chǎng)預(yù)測(cè)、信號(hào)估計(jì)、概率推理以及產(chǎn)品檢查等一系列不確定的問(wèn)題。本文首先分析了貝葉斯公式的概念，再用

3、貝葉斯公式來(lái)解決實(shí)際中的一些問(wèn)題。然后將貝葉斯公式推廣，舉例說(shuō)明推廣后的貝葉斯公式在實(shí)際應(yīng)用中所適用的概型。第二章 葉斯公式的定義及其應(yīng)用2.1貝葉斯公式的定義給出了事件隨著兩兩互斥的事件中某一個(gè)出現(xiàn)而出現(xiàn)的概率。如果反過(guò)來(lái)知道事件已出現(xiàn)，但不知道它由于中那一個(gè)事件出現(xiàn)而與之同時(shí)出現(xiàn)，這樣，便產(chǎn)生了在事件已經(jīng)出現(xiàn)出現(xiàn)的條件下，求事件出現(xiàn)的條件概率的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題有如下公式：定義 設(shè)為 的一個(gè)分割，即互不相容，且，如果P( A ) > 0 ， ,則。證明 由條件概率的定義（所謂條件概率，它是指在某事件B發(fā)生的條件下，求另一事件A的概率，記為） 對(duì)上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式,

4、 結(jié)論的證。 分析貝葉斯公式的定義貝葉斯公式可以作如下解釋：假定有n個(gè)兩兩互斥的“原因” 可引起同一種“現(xiàn)象”的發(fā)生，若該現(xiàn)象已經(jīng)發(fā)生，利用貝葉斯公式可以算出由某一個(gè)原因所引起的可能性有多大，如果能找到某個(gè)，使得 則就是引起“現(xiàn)象” 最大可能的“原因”。 生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況，事件A 已發(fā)生,我們需要判斷引起A 發(fā)生的“原因”這就需要用到貝葉斯公式來(lái)判斷引起A 發(fā)生的“原因”的概率。貝葉斯決策就是在不完全情報(bào)下，對(duì)部分未知的狀態(tài)用主觀概率估計(jì)，然后用貝葉斯公式對(duì)發(fā)生概率進(jìn)行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最優(yōu)決策。本文首先給出貝葉斯公式的定義以及證明，對(duì)條件概率公式和全概率公式進(jìn)行了

5、回顧，加深了對(duì)貝葉斯公式的理解，為下面對(duì)貝葉斯公式自如地運(yùn)用做鋪墊。2.2 貝葉斯公式的應(yīng)用 貝葉斯公式在醫(yī)療診斷上的應(yīng)用例1、某地區(qū)肝癌的發(fā)病率為0.0004，先用甲胎蛋白法進(jìn)行普查。醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是存在錯(cuò)誤的。已知患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陽(yáng)性（有病），而沒(méi)有患肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99.9%呈陰性（無(wú)病）。現(xiàn)某人的檢查結(jié)果呈陽(yáng)性，問(wèn)他真患肝癌的概率是多少？解 記事件“被檢查者患有肝癌”， 為事件“檢查結(jié)果為陽(yáng)性”，有題設(shè)知 我們現(xiàn)在的目的是求，由貝葉斯公式得 這表明，在檢查結(jié)果呈陽(yáng)性的人中，真患肝癌的人不到30%。這個(gè)結(jié)果可能會(huì)使人吃驚，但仔細(xì)分析一下就可以理解了。因?yàn)楦伟┌l(fā)病率

6、很低，在10000人中越有四人，而約有9996人不患肝癌。對(duì)10000個(gè)人中，用甲胎蛋白法進(jìn)行檢查，按其錯(cuò)檢的概率可知，9996個(gè)不患肝癌者中約有約有99960.00190996個(gè)呈陽(yáng)性。另外四個(gè)真患肝癌者的檢查報(bào)告中約有40.993.96個(gè)呈陽(yáng)性，僅從13.956個(gè)呈陽(yáng)性者中看出，真患肝癌的3.96人約占28.4%。進(jìn)一步降低錯(cuò)檢的概率是提高檢驗(yàn)精度的關(guān)鍵，在實(shí)際中由于技術(shù)和操作等種種原因，降低錯(cuò)檢的概率有事很困難的。所以在實(shí)際中，常采用復(fù)查的方法來(lái)減少錯(cuò)誤率。或用另一些簡(jiǎn)單易行的輔助方法先進(jìn)行初查，排除了大量明顯不是肝癌的人后，再用甲胎蛋白法對(duì)被懷疑的對(duì)象進(jìn)行檢查，此時(shí)被懷疑的對(duì)象群體中，

7、肝癌的發(fā)病率已大大提高了，譬如，對(duì)首次檢查得的人群再進(jìn)行復(fù)查，此時(shí)=0.284，這時(shí)再用貝葉斯公式計(jì)算得 這就大大提高了甲胎蛋白法的準(zhǔn)確率了。在上面的例子里面，如果我們將事件(“被檢查者患有肝癌”)看作是“原因”，將事件（“檢查結(jié)果呈陽(yáng)性”）看作是最后“結(jié)果”。則我們用貝葉斯公式在已知“結(jié)果”的條件下，求出了“原因”的概率。而求“結(jié)果”的（無(wú)條件）概率,用全概率公式。在上例中若取=0.284，則 條件概率的三公式中，乘法公式是求事件交的概率，全概率公式是求一個(gè)復(fù)雜事件的概率，而貝葉斯是求一個(gè)條件概率。在貝葉斯公式中，如果為的先驗(yàn)概率，稱為的后驗(yàn)概率，則貝葉斯公式是專門用于計(jì)算后驗(yàn)概率的，也就是

8、通過(guò)A的發(fā)生這個(gè)新信息，來(lái)對(duì)的概率作出的修正。評(píng)注：此例子是現(xiàn)實(shí)生活中很常見(jiàn)的一個(gè)例子。用了兩次貝葉斯公式，第一次利用貝葉斯公式計(jì)算出檢出是陽(yáng)性然后患肝癌的概率，第二次利用貝葉斯公式計(jì)算出利用甲胎蛋白檢測(cè)的準(zhǔn)確率。通過(guò)計(jì)算出來(lái)的概率，人們采用有效的方法降低錯(cuò)檢的概率。使人們的生命財(cái)產(chǎn)得到更多的保障。 貝葉斯公式在市場(chǎng)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用例2、我們知道，國(guó)外的舊車市場(chǎng)很多。出國(guó)留學(xué)或訪問(wèn)的人有時(shí)花很少的錢就可以買一輛相當(dāng)不錯(cuò)的車，開(kāi)上幾年也沒(méi)問(wèn)題。但運(yùn)氣不好時(shí)，開(kāi)不了幾天就這兒壞那兒壞的，修車的錢是買車錢的好幾倍，經(jīng)常出毛病帶來(lái)的煩惱就更別提了。為了幫助買舊車的人了解各種舊車的質(zhì)量和性能，國(guó)外出版一種專

9、門介紹各品牌舊車以及各年代不同車型各主要部件質(zhì)量數(shù)據(jù)的舊車雜志。比如有個(gè)買主想買某種型號(hào)的舊車，他從舊車雜志上可發(fā)現(xiàn)這種舊車平均有30%的傳動(dòng)裝置有質(zhì)量問(wèn)題。除了從舊車雜志上尋找有關(guān)舊車質(zhì)量的信息外，在舊車市場(chǎng)上買舊車時(shí)還需要有懂車的內(nèi)行來(lái)幫忙。比如可以找會(huì)修車的朋友幫助開(kāi)一開(kāi)，檢查各主要部件的質(zhì)量。因?yàn)榕f車雜志上給出的是某種車輛質(zhì)量的平均信息，就要買的某一輛來(lái)講可能是好的傳動(dòng)裝置，也可能會(huì)有問(wèn)題。比較常見(jiàn)的方法是花一點(diǎn)錢請(qǐng)個(gè)汽車修理工幫助開(kāi)幾圈，請(qǐng)他幫助判斷一下傳動(dòng)裝置和其他部件的質(zhì)量。當(dāng)然，盡管汽車修理工很有經(jīng)驗(yàn)，也難免有判斷不準(zhǔn)的時(shí)候。假定從過(guò)去的記錄知道某個(gè)修理工對(duì)于傳動(dòng)裝置有間題的車

10、，其中90%他可以判斷出有問(wèn)題，另有10%他發(fā)現(xiàn)不了其中的問(wèn)題。對(duì)于傳動(dòng)裝置沒(méi)問(wèn)題的車，他的判斷也差不多同樣出色，其中80%的車他會(huì)判斷沒(méi)問(wèn)題，另外的20%他會(huì)認(rèn)為有問(wèn)題，即發(fā)生判斷的錯(cuò)誤。根據(jù)這些已知信息請(qǐng)你幫助買主計(jì)算如下的問(wèn)題：1、若買主不雇用修理工，他買到一輛傳動(dòng)裝置有問(wèn)題的車的概率是多少?2、若買主花錢雇修理工幫他挑選和判斷，當(dāng)修理工說(shuō)該車“傳動(dòng)裝置有問(wèn)題”時(shí)該車傳動(dòng)裝置真有問(wèn)題的概率是多少?3、當(dāng)修理工說(shuō)該車“傳動(dòng)裝置沒(méi)問(wèn)題”時(shí)而該車傳動(dòng)裝置真有問(wèn)題的概率是多少?解 1、問(wèn)題是簡(jiǎn)單的，即有30%的可能性買到一輛有傳動(dòng)裝置間題的舊車，我們?cè)谶@里只利用舊車雜志的信息。第2問(wèn)和第3問(wèn)是貝

11、葉斯估計(jì)或者利用貝葉斯公式進(jìn)行決策的問(wèn)題。 2、我們知道，貝葉斯公式是個(gè)條件概率的公式，即其中稱為事件的后驗(yàn)概率，即在已知事件發(fā)生條件下事件發(fā)生的概率；是事件的先驗(yàn)概率；稱為樣本信息，即在發(fā)生條件下事件的概率。對(duì)于第2問(wèn)，我們不妨令：=實(shí)際有問(wèn)題，=實(shí)際沒(méi)問(wèn)題=修理工判斷“有問(wèn)題”， =修理工判斷“沒(méi)問(wèn)題”則可將貝葉斯公式改寫成： 根據(jù)已知條件，計(jì)算式中各項(xiàng)的概率分別為：代入上式這個(gè)結(jié)果表明，當(dāng)修理工判斷某輛車的傳動(dòng)裝置“有問(wèn)題”時(shí)，實(shí)際有問(wèn)題的概率為0.66，即修理工的判斷有問(wèn)題使得真有問(wèn)題的概率由0.30增長(zhǎng)到0. 66。3、由問(wèn)題2知道0.05這個(gè)結(jié)果表明，當(dāng)修理工判斷某輛車的傳動(dòng)裝置“

12、沒(méi)問(wèn)題”時(shí)，實(shí)際有問(wèn)題的概率為0.05，即修理工的判斷沒(méi)問(wèn)題而實(shí)際上有問(wèn)題的概率由0.3下降到0.05。評(píng)注 這是一個(gè)生活中很常見(jiàn)的問(wèn)題。利用貝葉斯公式計(jì)算出買主花錢雇修理工幫他挑選和判斷，當(dāng)修理工說(shuō)該車“傳動(dòng)裝置有問(wèn)題”時(shí)該車傳動(dòng)裝置真有問(wèn)題的概率，當(dāng)修理工說(shuō)該車“傳動(dòng)裝置沒(méi)問(wèn)題”時(shí)而該車傳動(dòng)裝置真有問(wèn)題的概率。如果買主沒(méi)有請(qǐng)修理工，他買到的舊車有質(zhì)量問(wèn)題的概率高達(dá)0.3，但是如果請(qǐng)修理工幫忙試車的話買到的舊車有質(zhì)量問(wèn)題的概率卻可以降到0.05。這樣不僅為買主剩下較多修車的錢，還幫助買主避免了日后的很多麻煩。 貝葉斯公式在信號(hào)估計(jì)中的應(yīng)用例3 背景：1948年，美國(guó)科學(xué)家香農(nóng)發(fā)表了著名的論文

13、通信的數(shù)學(xué)理論。世界上第一個(gè)給通信系統(tǒng)建立了數(shù)學(xué)模型。他認(rèn)為通信系統(tǒng)由以下幾個(gè)基本要素組成：信源、信道、編碼、譯碼和干擾源。信源指產(chǎn)生信息的來(lái)源。信道指?jìng)鬟f信息的通道。將噪聲統(tǒng)一為干擾源。編碼是從消息到信號(hào)的函數(shù)，而譯碼是從信號(hào)到消息的函數(shù)。因?yàn)樾旁窗l(fā)出什么消息是隨機(jī)的，所以信源發(fā)出的消息可用隨機(jī)變量來(lái)表示，于是可以用隨機(jī)變量的分布律來(lái)描述信源。信道由三個(gè)因素構(gòu)成：輸入信號(hào)，輸出信號(hào)，以及輸入信號(hào)與輸出信號(hào)間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系轉(zhuǎn)移概率。轉(zhuǎn)移概率一般用轉(zhuǎn)移概率矩陣表示。當(dāng)信源發(fā)出某個(gè)消息后，由編碼轉(zhuǎn)變?yōu)樾盘?hào)，信號(hào)通過(guò)信道，因?yàn)樾诺乐写嬖诟蓴_，所以進(jìn)入信道的是某個(gè)信號(hào)，從信道出來(lái)的可能不再是這個(gè)信號(hào)。那么

14、自然我們要問(wèn)，當(dāng)接收到一個(gè)信號(hào)后，進(jìn)入信道的信號(hào)是什么？ 解 建模：有一個(gè)通信系統(tǒng)，假設(shè)信源發(fā)射0、1兩個(gè)狀態(tài)信號(hào)（我們將編碼過(guò)程省略），其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。無(wú)論信源發(fā)送的是什么，接收端可能接收到的是0，1，或“不清”。它的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：分析: 利用貝葉斯公式求解， 設(shè)事件A表示信源發(fā)出“0”的信號(hào)，表示信源發(fā)出“1”的信號(hào)，B表示接收到一個(gè)“1”的信號(hào)。當(dāng)B發(fā)生后，分別計(jì)算事件A與事件的概率。由貝葉斯公式： 因?yàn)?，即接收到信號(hào)“1”后，信源發(fā)出的是“0”的可能性比信源發(fā)出的是“1”的可能性小得多，所以我們應(yīng)該判斷信源發(fā)出的信號(hào)是“1”。評(píng)注 某一信號(hào)在傳輸后得

15、到各種信號(hào)的概率稱為轉(zhuǎn)移概率（包括得到它自身）。此例子運(yùn)用貝葉斯公式，求得當(dāng)B發(fā)生后，分別計(jì)算事件A與事件的概率，人們通過(guò)此概率可以做出最好的決策。 貝葉斯公式在概率推理中的應(yīng)用例4、有朋自遠(yuǎn)方來(lái)，他坐火車、坐船、坐汽車、坐飛機(jī)的概率分別是0.3，0.2，0.1，0.4，而他坐火車、坐船、坐汽車、坐飛機(jī)遲到的概率分別是0.25，0.3，0.1，0，實(shí)際上他是遲到了，推測(cè)他坐那種交通工具來(lái)的可能性大。解 設(shè) 由貝葉斯公式分別可以算得 比較以上四個(gè)概率值，可見(jiàn)他坐火車和坐船的概率大，坐汽車的可能性很小，且不可能是坐飛機(jī)過(guò)來(lái)的。評(píng)注 此例子運(yùn)用了四次貝葉斯公式，用所求出的概率判斷某人遲到了，選擇了何

16、種交通工具的可能行最大。由果索因,果是某人遲到了，因是某人選擇了那種交通工具。 貝葉斯公式在工廠產(chǎn)品檢查中的應(yīng)用 例5、某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為0.1%，但是沒(méi)有適當(dāng)?shù)膬x器進(jìn)行檢驗(yàn)，有人聲稱發(fā)明一種儀器可以用來(lái)檢驗(yàn)，誤判的概率僅為5%.試問(wèn)廠長(zhǎng)能否采用該人所發(fā)明的儀器?分析：“5%的誤判率”給檢驗(yàn)帶來(lái)怎樣的可信度，這是廠長(zhǎng)決策的依據(jù)，即弄清“被檢驗(yàn)出的正(或次)品中實(shí)際正(或次)品率”. 解：設(shè)事件表示“客觀的次品”，事件表示“經(jīng)檢驗(yàn)判為次品的產(chǎn)品”，由題意知： ,，,.由貝葉斯公式可計(jì)算“被檢驗(yàn)出的次品中實(shí)際次品率”為： 同理，“被檢驗(yàn)出的正品中實(shí)際正品率”為： 由可知，如果產(chǎn)品的成本較高，廠

17、長(zhǎng)就不能采用這儀器，因?yàn)楸粌x器判為次品的產(chǎn)品中實(shí)際上有98%以上的是正品，這樣導(dǎo)致?lián)p耗過(guò)高.同時(shí)，我們也注意到該儀器對(duì)正品的檢驗(yàn)還是相當(dāng)精確的，若檢驗(yàn)對(duì)產(chǎn)品沒(méi)有破壞作用，倒是可以在“被認(rèn)定次品”的產(chǎn)品中反復(fù)檢驗(yàn)，挑出“假次品”，這就降低了損耗，又保證了正品具有較高的可信度.第三章 貝葉斯公式的推廣及其應(yīng)用3.1 貝葉斯公式的推廣 當(dāng)試驗(yàn)的隨機(jī)過(guò)程不少于兩個(gè)的時(shí)候，在影響目標(biāo)事件的每一個(gè)試驗(yàn)過(guò)程中分別建立完備事件組，貝葉斯公式就可以進(jìn)一步推廣. 3.1.1貝葉斯公式推廣定理 設(shè)和是先后兩個(gè)試驗(yàn)過(guò)程中的劃分，為目標(biāo)事件.當(dāng),時(shí)，則有：（1）（2）（3） 證明：（1）：=同理可以證明（2）、（3）.

18、 貝葉斯公式推廣定理在摸球模型中的應(yīng)用例6 已知甲、乙兩個(gè)口袋中各裝有3個(gè)白球和5個(gè)黑球.現(xiàn)從甲袋中任取1個(gè)球然后放人乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球再放回到甲袋中，最后從甲袋中取出1個(gè)球.試問(wèn):(1)已知最后從甲袋中取出的是1個(gè)黑球，則第一次從甲袋取出的也是黑球的概率;(2)已知最后從甲袋中取出的是l個(gè)黑球，則第二次從乙袋中取出的也是黑球的概率;(3)已知最后從甲袋中取出的是1個(gè)黑球，則第一次和第二次取出的都是黑球的概率. 解：設(shè)表示“從甲中取出個(gè)黑球放人乙中”，；表示“從乙中取出:個(gè)黑球又放回甲中”,表示“第二次從甲中取出1個(gè)黑球”.由題意可得：; (1)由貝葉斯推廣（1）可得： 同理可得：（2）、（3）： 所以，(1)已知最后從甲袋中取出的是1個(gè)黑球，則第一次從甲袋取出的也是黑球的概率為； （2）已知最后從甲袋中取出的是l個(gè)黑球，則第二次從乙袋中取出的也是黑球的概率為； (3)已知最后從甲袋中取出的是1個(gè)黑球，則第一次和第二次取出的都是黑球的概率為。評(píng)注：此例子運(yùn)用了貝葉斯公式的