1、 學科代碼：070101 學 號：092014020082貴 州 師 范 大 學 求 是 學 院（本 科）畢 業 論 文題 目：淺析換元法在數學解題中的應用Analysed in application translated Into element method in mathematical problem solving學 院： 求是學院專 業： 數學與應用數學年 級： 2009級2班姓 名： 周世維 指導老師：馮金華（講師） 完成時間：2013年4月淺析換元法在數學解題中的應用周世維摘要：換元法是數學解題中常用的重要方法之一。在有些數學問題中，由于條件與結論中的變量關系在形式上的隱蔽，

2、它們之間實質性的邏輯聯系不易從表面形式上發現，即使看出它們之間的聯系，也由于表面形式的復雜而不易直接求解。但當我們進行適當的變量代換，把問題的條件和結論作形式上的轉換，這樣就容易揭示出它們之間的內在聯系，把問題化難為易，化繁為簡。掌握了代換思想，不但可以比較順利地解決一些較難的題目，還可以用多種方法解答同一個問題，提高我們的思維。關鍵詞: 換元法 ；數學問題 ； 變量代換 ；代換思想Abstract： Change element method is one of important methods in mathematical problem solving. Some math prob

3、lems, due to the condition and conclusion of the variable relationship in form of concealment, substantial logic connection between them is not easy to found from the surface form, even if see connections between them, also due to the surface in the form of a complex and difficult to solve directly.

4、 Proper variable substitution, but when we put the question of the transformation in the form of the condition and conclusion, this would be easy to reveal the inner link between them, the problem is changed to easy, change numerous for brief. Mastered the substitution of ideas, not only can solve s

5、ome of the more difficult topics more smoothly, also can be used with a variety of methods to solve problems one by one, to improve our thinking.Key words: change element method ; mathematical problem; variable substitution ;substitution thought 換元法是數學的重要解題方法之一, 在解決代數式計算、解方程、三角函數、函數兩個重要極限、求函數和微分、積分等

6、題中起著重要的轉化作用。當我們用一個新的字母代換題目中的一個“整體” 時, 可使原來題目隱藏的關系明朗化, 給人以“柳暗花明” 、化繁為簡的感覺, 使問題迎刃而解。實施換元法的關鍵在于恰當地選擇新的變元代替舊的變元， 同時要注意未知數允許值范圍的變化, 即新變元的取值范圍與舊變元的取值范圍的內在聯系與轉化。1. 換元法及其相關的定義1.1換元法的一些基本概念和關鍵如果用新的未知量或變量替換原來的未知量或變量, 求出新的未知量或變量 ,利用替換關系式求出原來的未知量或變量的方法,叫做輔助元素法, 簡稱換元法，其中新的未知量叫做輔助元素, 簡稱輔助元1!利用換元法的關鍵在于適當地選擇“新元”，引進

7、適當的代換，找到較容易的解題思路，能使問題簡化。使用換元法時要注意“新元”的范圍，“新元”所受的限制條件還要注意根據題設條件驗證結果。1.2換元法的基本思想和步驟即把未知問題轉化為已知問題，把復雜問題轉化為簡單問題，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題。 設元（或構造元） 求解 回代 檢驗 轉化 等量 等價原則2. 換元法在數學解題中的應用2.1 換元法在代數計算中的應用例1計算解：設,兩邊立方得得 ,(,又 無實根，解得：原式2.2換元法在解方程中的應用在解方程組過程中通過恰當的換元，將高次方程化為低次方程，復雜方程化為簡單方程2，也將分式方程化為整式方程，無理方程化為有理方程，借此換元思想將大大

8、降低解方程的難度。例2解方程-解：設兩式相乘得：-+,解得： 兩式相加得：,解得：，易得：,在構成方程組的方程里，有關未知數的代數式呈對稱性，換元法可借此特點使方程組簡單化，便于求出方程組的解。例3.解方程組 ；分析：這是一個對稱方程，解對稱方程一般令 進行代換較為簡捷；解：原方程組變形為 令 ，則得到 ；解得： 或 ；2.3換元法在三角函數中的應用選擇適當的三角函數式作為輔助未知數。對于有形如：,+,或等的問題時采用正弦和余弦；形如：和的問題時采用正切、余切，且根據特設確定角的范圍。例4：已知函數·，求函數最大值和最小值。解：令，則可得,由得· 原函數為, ,又在上單調遞

9、增,2.4換元法在函數兩個重要極限中的應用換元法在函數兩個重要極限中的應用相當廣泛，此處主要列舉其在求兩個重要極限和中的例子2。例5：求解： 令,則且時所以 例6: 求解： 設,則當時,于是2.5換元法在求函數導數和微分中的應用換元法思想廣泛應用在函數導數和微分計算中，它是計算某一類函數導數和微分的主要方法。例7：求的導數解： 令, 換元后即可直接使用反正切的導數公式，有 , 將,代入得：例8：求的微分6解： 令,得=d,分別代入, 2.6 換元法在積分計算中的應用換元法是計算函數積分的重要方法之一，也是函數積分計算的難點，換元法在計算函數積分應用方法主要可分為以下幾類：2.6.1 不定積分的

10、第一換元積分法（湊微分法）例9：求解：令可解注：定理1：若已知dx=F,則有dx=F,其中可微。2.6.2 不定積分的第二換元積分法例10： 求解： 令，則， 。注：定理2：設()是單調、可導的函數并且。又設具有原函數，則有換元公式=,其中是的反函數。2.6.3 定積分的換元積分法例11 求解：令，當時，；當時，； 又當時，有=，且變換函數在單值,在上連續，由換元公式有：=注：定理3：若1.函數在上連續；2.函數=()在區間上單值且具有連續導數；3.當 在上變化時，=()的值在上變化，且()， ()，則有 以上借助換元法解決了數學中用一般方法難解決的問題，可見換元法應用的廣泛性、普遍性，以及熟

11、練掌握換元法的重要性。恰當地應用換元法，可化繁為簡、化難為易、化生為熟，把待研究的問題轉化為已研究并已解決的問題，為解決復雜的數學問題提供了重要的解題工具。3. 換元法在應用中的常見錯誤分析3.1 將復合函數與原函數混為一談例12. 研究函數的單調性。錯解： 令,則 在上是減函數且。 為增函數。分析：的自變量為換元后誤將復合函數的單調性認為原函數的單調性。正確解：令，則 在上是減函數且 是增函數 是減函數，若 為減函數。3.2 改變了自變量的取值范圍例13. 若，試求的取值范圍。錯解：令，則，所以且。從而，又，且，所以，所以的取值范圍是。分析：事實上，我們知道當時，。那么錯誤的原因為何呢？由推

12、得，這隱含了，這實際上是加強了條件，造成了非等價轉換，從而導致的范圍縮小。正確解：令，則原式為，所以 ，從而。 的取值范圍是。3.3 代換式選擇不恰當例14. 設，求的最值。錯解：因為，所以令，則，兩邊平方得：，所以，從而；于是的最大值是1，最小值是。分析：事實上，由已知得，變換式一方面使其原函數的定義域擴大，另一方面將兩個變換式的自變量混淆，誤將的關系條件增加條件。正確解：因為，又，所以，從而； 設；于是有即；又 ，即； ；又 ，所以當，即時是的最小值為1；當 即時是的最大值為。所以適當地選擇“新元”，引進適當的代換，找到較容易的解題思路，能使問題簡化。3.4 代換后沒有正確的確定中間變量的

13、取值范圍例15.，求的最小值。7錯解：令，因為，所以。，；或當時，所以即，此方程無解。所以沒有最小值。分析：上面代換錯誤地確定了中間變量的取值范圍。由于，。正確解：令，即，即。解之得； 無解，則由解得，所以。3.5 不能用換元法解的問題凡與變量的變化方式有關的問題一般不能用換元法解。例如：判斷函數在的單調性和奇偶性，不難得出此函數在上為減函數，在上為增函數，且為偶函數。若盲目使用換元法，令，則在上是增函數，且為非奇非偶函數，得出與原函數不同的性質。所以，在討論單調性、奇偶性時一般不能用換元法。 又如：函數的最小正周期為，若令，得的最小正周期為。所以，判斷函數的周期性也不能用換元法。由以上不難看出：在討論復合函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性時一般不能令換元后討論。4. 總結：在數學中,換元法有著極其重要的作用。學會運用換元法,不但可以溝通數學各個分支之間的聯系,還可以擴大視野,培養我們的學習興趣。對于一些較難的題目,我們還應當通過認真觀察問題的結構特征 ,深入分析問題的隱含條件 ,采用類比、聯想猜測等手段進行適當的換元 ,并綜合運用各方面的知識給予解決。但在運用時也要注意題目中的一些條件，不能與換元后的條件混淆。【參考文獻】1柳重堪.高等數學M.北京:中央廣播電視大學出版社，2003.2何青.解方程中的換元法.科技信