1、第一章解三角形.正弦定理：并且都等于外1.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等,接圓的直徑，即sin A sin B2.變形:i)a- sin sincsinCcsinCa2R （其中R是三角形外接圓的半徑）sin sin sin C2）化邊為角:a :b: csin A: sin B :sin C a sin A b sin B a sin AJb sin B c化邊為角:a 2Rsin A,b 2RsinB, c 2RsinC化角為邊:sin Asin B化角為邊:sin Aa-； ba2Rsin Bsin Csin Bb sin A ac' sin Cb,sin

2、C 2RJ cc2R3.利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：已知兩個角及任意一邊，求其他兩邊和另一角; 例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理 晅A； - "B b sin B c sin Ca sin A t;求出b與cc sin C已知兩邊和其中一邊的對角，求其他兩個角及另一邊。例：已知邊a,b,A,解法：由正弦定理a . 求出角B,由A+B+C=18O0t出角C,再使用正 b sin B弦定理a當公求出c邊 c sin C4. AABO,已知銳角A,邊b,則absinA時，B無解；尸4， absinA或 a b 時，B 有一個解；

3、/bsinAbsinA a b時，B有兩個解。/-r -v- A.,如：已知A 60 ,a 2,b 2向，求B （有一個解）已知A 60 ,b 2,a 243，求B （有兩個解）注意：由正弦定理求角時，注意解的個數。.三角形面積1. S ABC11 . .12.3.S ABC4.S ABC-(a b c)r ,其中r是三角形內切圓半徑.2. 1Jp(p a)(p b)(p c),其中 p (a b c),，2abc,R為外接圓半徑4RabsinC bcsinA acsinB5. S ABC2R2sin Asin Bsin C ,R 為外接圓半徑 三.余弦定理1 .余弦定理：三角形中任何一邊的平

4、方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們 夾角的余弦的積的2倍，即a2 b2 c2 2bccos A222b a c 2accosB22,2cab 2abcosC2222 .變形：cos A -2bc22. 2a c b cosB 2ac2. 22a b c cosC 2ab注意整體代入，如：a2 c2 b2 ac cosB -23 .利用余弦定理判斷三角形形狀：設a、b、c是 C的角 、C的對邊，則:+ 2_ 1金 43” 卜4n O J => 0 O/士 900若，.，所以工為銳角若c2 b2 a2A為直角/ +A2 七短 Oeos4 =4 0 O5 90*若兇,所以乂為鈍角，則WC是

5、 鈍角三角形4 .利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：1）已知三邊，求三個角2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角四、應用題1 .已知兩角和一邊（如 A、B、C）,由A+B+C=冗求C,由正弦定理求a、b.2 .已知兩邊和夾角（如a、b、c）,應用余弦定理求c邊；再應用正弦定理 先求較短邊所對的角，然后利用 A+B+C =兀，求另一角.3 .已知兩邊和其中一邊的對角（如 a、b、A ,應用正弦定理求B,由A+B+C 二九求C,再由正弦定理或余弦定理求 c邊，要注意解可能有多種情況.4 .已知三邊a、b、c,應用余弦定理求A、B,再由A+B+C =兀，求角C.5 .方向角一般是指以

6、觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成.正北或正南，北偏東XX度， 北偏西XX度，南偏東XX度，南偏西XX度.6 .俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上 方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角.五、三角形中常見的結論1）三角形三角關系：A+B+C=180; C=180 （A+B）;2）三角形三邊關系：兩邊之和大于第三邊：白+白白，白+5鼻；兩邊之差小于第三邊： 代，"。出，c-ba .3）在同一個三角形中大邊對大角：A B a b sin A sin B4） 三角形內的誘導公式：sin(A B) s

7、inC, cos(A B) cosC, tan(A B) tanC,A + B一產 C、Csin= sm()= cos22 y25)A B ., tan tan(一22兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( a±B) = sin a cos B ±cos a sin 0.(2)cos(a±®=cos ocos 供sin osin 0tan 民 ±an S(3)tan(迂 9 =: 一口1?tan otan 66)二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 a =2sin a cos a.(2)cos 2a =cos2a sin 2 a=2cos2 a 1 = 1 2sin 2 a .(3) sin21 cos2 2;cos1 cos2(4)tan 22tan a=d 22.1 tan