1、解三角形的必備知識和典型例題及詳解一、知識必備：1.直角三角形中各元素間的關系：在AB8, C= 90° , A及 c, AO b, BO a。(1)三邊之間的關系：a s = -absin C= - bcsin A= -acsin B；2224.解三角形：由三角形的六個元素(即三條邊和三個內角)中的三個元素(其中至少有一個是邊)求其他未知元素的問題叫做解三角形.廣義地，這里所說的元+b2=c2。(勾股定理)(2)銳角之間的關系：A+ B= 90° ;(3)邊角之間的關系：(銳角三角函數定義)sin A= cosB= a , cosA= sin B= b , tan A=

2、a 0 ccb2.斜三角形中各元素間的關系：在 ABC中，A、R C為其內角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊(1)三角形內角和：A+ B+ C=九。(2)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等 七a b csin Asin BsinC2R (R為外接圓半徑)(3)余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2 = b2 + c2 2bccos A；b2 = c2 + a2 2cacos B；c2 = a2+b2- 2abcos C。3 .三角形的面積公式：(1) s = 1aha= 1bh= 1chc (ha、匕、hc分別表示 a

3、、b、c 上的高)；222素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等.主要類型：(1)兩類正弦定理解三角形的問題：第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.第2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.(2)兩類余弦定理解三角形的問題：第1、已知三邊求三角.第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.5 .三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形 自身的特點。(1)角的變換.C . sin 2因為在 ABC中，A+B+C=t ,所以 sin(A+B尸sinC ; cos(A+B尸-cosC; tan(A+B尸

4、tanCoA B C A B sin cos,cos222(2)判定三角形形狀時,可利用正余弦定理實現邊角轉化，統一成邊的形式或角的形式.6 .求解三角形應用題的一般步驟:(1)分析：分析題意，弄清已知和所求；(2)建模：將實際問題轉化為數學問題，寫出已知與所求，并畫出示意圖;(3)求解：正確運用正、余弦定理求解；(4)檢驗：檢驗上述所求是否符合實際意義。二、典例解析題型1:正、余弦定理例 1. (1)在 ABC 中，已知 A 32.00, B 81.80, a 42.9cm,解三角形；(2)在ABC中，已知a 20cm, b 28cm, a 40°,解三角形(角度精確到10, 邊長

5、精確到1cm)。解：(1)根據三角形內角和定理，C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20;asinB 42.9sin81.80、根據正弦理， b - 0 80.1(cm);SinA sin32.00 根據正弦定理，c型哼 絲生噢匕74.1(cm). SinA sin32.0(2)根據正弦定理，sinB 題A 28：n40 0.8999.a 20因為 00 V B v 1800 ,所以 B 640 ,或 B 1160.當 B 640 時，C 1800 (A B) 1800 (400 640) 760,當B 1160時，C 1800 (A B) 1800點評：應用

6、正弦定理時(400 1160) 240c 至inC 20Sin24 13(cm)., SinAsin4001)應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；(2)對于解三角形中的復雜運算可使用計算器公題型2:三角形面積例2.在 ABC中，sinA cosA 運，AC 2, AB 3,求tan A的值和 ABC的面 2積。解法一：先解三角方程，求出角 A的值又 0 A 180 , A 45o 60°, A 105.tanA tan(45o 60o) 1 '323,1 、3'SABC IaC ABsin A 12 3 ”通 2(72 J6)。 2244sin

7、 A cosA 2解法二：由sin A cosA計算它的對偶關系式sin A cosA的值2(sin A cosA)1 2sin AcosA32 ,一 6sin A cosA 2+得sin A v6o4一得c0sA 6。從而 tanA sinA2上6cosA 42 、62 73。以下解法略去。點評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數學考查運算能力，是一道三角的基礎試題。兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？ 題型3:三角形中的三角恒等變換問題例3.在ABB, a、b、c分別是/ A /R / C的對邊長，已知 a、b、c成22bsin B等比數列，且a - c

8、 =ac-bc,求/ A的大小及的值。c分析：因給出的是a、b、c之間的等量關系，要求/ A,需找/ A與三邊的關系，0b2故可用余弦定理。由b2=ac可變形為 二a,再用正弦定理可求 皿nB的值。cc解法一：二 a、b、c成等比數列，b2=ac。又 a2-c2=ac- bc,b2+c2a2=bc。在ABB,由余弦定理得:cosA=b2 c2 a2 二三=1, 2bc 2bc 2A=60° o在ABE,由正弦定理得sinB=吧廿，.b2=ac,a/A=60° ,2bsin B b sin 60=sin60ac解法二：在 ABE,由面積公式得1 bcsin A= 1 acsi

9、n B。.2. b=ac, / A=60,bcsin A=b2sin Bbsin B =sin A=7c2評述：解三角形時,找三邊一角之間的關系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關系常用正弦定理。題型4:正、余弦定理判斷三角形形狀例 4.在AB5,若 2cosBsinA= sinC ,則 ABC勺形狀一定是（A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sin AcosB= sin C=sin (A+ B) =sinAcosB+cosAsinB.sin (A B) =0, ，A= B點評：本題考查了三角形的基本性質，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢

10、解題途徑，-題型5:三角形中求值問題例5. ABC的三個內角為 A B C,求當A為何值時，cosA 2cos包£ 取得 2最大值，并求出這個最大值。解析：由 A+B+C=t ,得 B+C。一A，所以有 cosB+C=sin A。cosA+2cos=cosA+2sin ± =1 2sin2" + 2sin 自一2（sin 7 1）2+ 1;2222'22，2當 sin A = 1,即 A= 223時,cosA+2cos320點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉化為關于一個角的三角函數的形式，通過三角函數的性質求得結果。題型6:正余弦定理的實際應用例6.

11、（2009遼寧卷文，理）如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內，B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°, 30°,于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°, AC=0.1kmi試探 究圖中B, D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B, D的距離（計算結果精確至U 0.01km, 近 1.414, 6Q 2.449 ）解：在 ABC中，/ DAC=30 , /ADC=60 -Z DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又/ BCD=180 -60° -60° =60° ,?在 AB

12、C 中,31 2 、620故CB是ACAD底邊AD的中垂線，所以 BD=BAABACACsin60sin BCA sin ABC , 即 AB= sin 153、2 <6 因止匕，BD=-200.33km。故B, D的距離約為0.33km點評：解三角形等內容提到高中來學習，又近年加強數形結合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數量關系即可過關。三、思維總結1 .解斜三角形的常規思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如 A B C）,由A+B+C=冗求C,由正弦定理求a、b;（2）已知兩邊和夾角（如 a

13、、b、c）,應用余弦定理求 c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C=兀，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A）,應用正弦定理求 B,由A+B+C二九求C,再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；（4）已知三邊a、bc,應余弦定理求 A B,再由A+B+C =兀，求角C。2 .三角學中的射影定理：在 ABC中，b a cosC c cosA,3 .兩內角與其正弦值：在 ABC中，A B sin A sin B ,4 .解三角形問題可能出現一解、兩解或無解的情況，這時應結合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”。三、課后跟蹤訓練1. （2

14、010上海文數18.）若 ABC的三個內角滿足sin A:sin B:sin C 5:11:13 ,則a ABC （）（A） 一定是銳角三角形.（B） 一定是直角三角形.（C） 一定是鈍角三角形.（D）可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.解析：由 sin A:sin B :sin C 5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13222由余弦定理得cosc 5 11130 ,所以角C為鈍角2 5 112.（2010天津理數7）在AB5,內角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若a2 b2 J3bc ,sinC 2 Ain B ,則 A=()（A 300【答案】A(B) 600(C)

15、1200(D) 150°【解析】本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應用，屬于中等題。由正弦定理得c 2 3b2R 2Rc 273b , 2_222_.一b +C -a . 3bc C . 3bc 2 3bc . 30所以 cosA= =- J ,所以 A=302bc2bc2bc 2【溫馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運算或將角化為邊運算。3. （2010 湖北理數）3.在 ABC 中，a=15,b=10,A=60 ° ,貝U cosB =A 壁B迥C 漁D逅 3333【答案】D【解析】根據正弦定理 W 三可得 2 解得sinB立，又因為b a si

16、n A sin B sin60 sinB36則B A,故B為銳角，所以cosB V1 sin B ，故D正確.34. (2010廣東理數)11.已知a,b,c分別是 ABC的三個內角 A,B,C所對的邊，若a=1,b= V3, A+C=2B,則 sinC= 一解：由 A+C=2B及 A+B+ C=180° 知，B=60° .由正弦定理知，-3-,sin A sin 60o1即 sinA .由 a b知，A B 60°,則 A 30°, 2C 180° A B 180° 30° 60° 90°, sinC

17、sin90° 15(2009湖南卷文)在銳角 ABC中，BC 1,B 2A,則-AC的值等于 , AC c°sA的取值范圍為解析 設A , B 2.由正弦定理得由銳角 ABC 得 0o 290o0o45°,又 0o 180° 3 90°30°600,故 30°45° cos 叵,226. （2009全國卷I理）在 ABC中，內角A B、C的對邊長分別為a、b、C,已,22知 a c 2b,且 sinAc°sC 3c°sAsinC,求 b,分析：此題事實上比較簡單，但考生反應不知從何入手.對已知條

18、件（1） a2 c2 2b左側是二次的右側是一次的，學生總感覺用余弦定理不好處理，而對已知條件（2） sin Ac°sC 3c°s Asin C,過多的關注兩角和與差的正弦公式，甚至有的學生還想用現在已經不再考的積化和差，導致找不到突破口而失分.解法：在 ABC中則Q sin Ac°sC3c°s Asin C,由正弦定理及余弦定理2,22,222- a b c b c a有: ag一二一 3一募一gc, 2ab2bc（角化邊）化簡并整理得：2（a2c2）b2.又由已知a22. 2c 2b 4b b2.解得b 4或b0（舍）.7.在AB5,已知A B、C成

19、等差數列，求tan£ tanC 22解析：因為A B C成等差數列，又 A+ B+ C= 180°,所以 A+ C= 120° ,從而A2 cA C= 600,故tanAC V3.由兩角和的正切公式，得tan2 tan2A, C1 tan tan22所以 tanA tanC 33 <3tantanC, 2222.AC °, A, C ° tan tan k3 tantan- 、'3。2222點評：在三角函數求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結合三角變換公式的逆用。8. （2009四川卷文）在

20、ABC中，A、B為銳角，角A B、C所對的邊分別為a、b> C,且 sin A ,sin B 510（I）求 A B 的值；（II ）若 a b J2 1 ,求 a、b、c的值。解（I）A B為銳角，sinA2強噂cosA 1 sin2 A25,cos B5.1 sin2 B3.10100 A B . a b ,4(II )由(I)知 c sine 也 42由一a- -b 得sin A sin B sinC5a 10b . 2c ,即 a , 2b, c . 5b應b b 應 1 b 1a 2,c59. （2010陜西文數17）（本小題滿分12分）在 ABC中，已知B=45°

21、,D是BC邊上的一點,AD=10,AC=14,DC=6 求 AB的長.解在ADB, AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos AD2ADgDC DC2 AC2 =100 36 1962 10 6ADC=120 , ADB=60在 ABD中,AD=10,B=45° , ADB=60 ,由正弦定理得 AB ADsin ADB sin B AR=10 單AB-ADgjin ADB 10sin 60T 5 -sin Bsin 45丁T10. (2010遼寧義數17)(本小題滿分12分)在ABC中，a、b、c分別為內角A、Bk C的對邊，且 2asinA (2b c)sin B (

22、2c b)sin C(I )求A的大小；(n )若sin B sin C 1 ,試判斷 abc的形狀.解：(I)由已知，根據正弦定理得 2a2 (2b c)b (2c b)c即 a2 b2 c2 bc由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA故 cosA 1,A 120 2(n)由(I)得 sin2 A sin2 B sin2 C sin BsinC.1又 sinB sinC 1,得 sinB sinC 2因為 0 B 90 ,0 C 90 ,故B C所以ABC是等腰的鈍角三角形。11. (2010遼寧理數)(17)(本小題滿分12分)在 ABC中,a, b, c分別為內角A, B, C 的

23、對邊，且(I )求A的大小；(n )求sin B sinC的最大值.解：(I)由已知，根據正弦定理得2a2 (2b c)b (2c b)c即a2 b2 c2 bc由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA一1c故 cosA A=1206分2（n）由（i）得：故當B=30°時，sinB+sinC取得最大值1。補充：海倫公式：有一個三角形，邊長分別為 a、b、c,三角形的面積 S可由以下公式求得：而公式里的p為半周長（周長的一半）：基本關系轉化：倒數關系：sinacscar = 1?; cosarseca = 1; tanacotfl = 1商的關系：平方關系：sin? ? -fcos

24、2 ? = !?； 1 + tan工4 二 sec2 tr? ； 1 + cot2 a =csc2 a和差角公式和差化積口訣：正加正，正在前，余加余，余并肩 正減正，余在前，余減余，負正弦積化和差倍角公式二倍角三倍角三倍角公式推導sin (3a) f 3sina -4sinA3a=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina (1-sinA2a)+ (1-2sinA2a)sina=3sina-4sinA3acos3a f 4cosA3a -3cosa=cos (2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosA2a-1 ) cosa-2 (1-cosA2a)cosa=4cosA3a-3cosasin3a f 4sinasin (60°+a)sin (60 °-a)=3sina-4sinA3a=4sina (3/4-sinA2a)=4sina (V3/2 -sina (V3/2 +sina=4sina(si