1、精選優質文檔-傾情為你奉上初中數學競賽輔導講義（初三）第一講 分式的運算知識點擊1、 分部分式：真分式化為另幾個真分式的和，一般先將分母分解因式，后用待定系數法進行。2、 綜合除法：多項式除以多項式可類似于是有理數的除法運算，可列豎式來進行。3、 分式運算：實質就是分式的通分與約分。例題選講例1化簡 + + 解：原式= + + = - + - + - =例2 已知 = = ，且xyz0，求分式的值。解：易知： = = = 則 （1）+（2）+（3）得：(-2)(x+y+z)=0 =2 或 x+y+z=0若=2則原式= k = 8 若 +=0，則原式= k =-1例3設 =1，求 的值。解：顯然

2、X，由已知 =1 ，則 x + = + 1 = + - = (x +)-2 =( +1)-2- = 2 -1 原式=例4已知多項式3x3 +ax +3x +1 能被x+1整除，求的值。解：1- =0 =1例5：設為正整數，求證 + + + 證：左邊=（1 - + - + + - ） =（1- ）n為正整數， 11- 1 故左邊 小結歸納1、部分分式的通用公式： = （ - ）2、參數法是解決比例問題特別是連比問題時非常有效的方法，其優點在于設連比值為K，將連等式化為若干個等式，把各字母用同一字母的解析式表示，從而給解題帶來方便。3、整體代換及倒數法是分式的的求值中常用的方法， 應熟練掌握。鞏固

3、練習1、若分式的值是正整數， 則整數m= 。2、若 = = = =則k= 。3、已知a-3b = 2ab .(a0，b0),則 = .4、已知a、b、c是有理數，且=， = ，= ，則= 。5、若 - = 2006，則= 。6、實數a、b滿足ab=1，設A = + ，B= + +1，則A、B的關系為 。7、當、為何值時，多項式能被除數整除？ 8、計算 = 。9、已知= + + ， 求A、B、C的值。10、若對于3以外的一切實數X，等式 - = 均成立，則mn = 11、已知 = = ，則 = 。第二講 分式方程及應用知識點擊1、 解分式方程的基本思路是去分母化分式方程為整式方程；2、 解分式的

4、方程的常用方法有：換元法、整體法、通分法等；3、 分式方程廣泛應用于生活實際中，要注意未知數的值既要是原方程的根，又要與實際意義相符。例題選講例1 解方程組 分析：令 =m, =n ,則可得： 易求： 例2 解方程解：原方程可化為兩邊分別通分： ，易求： = 4例3 當為何值時，關于x的方程的解為正數？解：解方程可得：x=，需 可得1 且m-3。例4 設庫池中有待處理的污水a噸，從城區流入庫池的污水按每小時b噸的固定流量增加，若同時開動2臺機組需30小時處理完污水，同時啟動4臺機組需10小時處理完污水，若要求在5小時內將污水處理完畢，那么至少要同時開動多少臺機組？解：設1臺機組每小時處理污水y

5、噸，要在5小時內處理完污水， 至少同時開動x臺機組，則： 可得 X 例5 求證對任意自然數n，有2證明：當n=1時，12顯然成立。當1時，（-1）所以 故：2點評歸納1、 當某個代數式在一個問題中多次反復出現時，我們可以把這個代數式當作一個整體去替換，使問題簡化；2、 假分式構成的分式方程一般先分離整數， 然后等式兩邊分別通分可解。3、 解分式方程要注意驗根，在求分式方程中待定字母的值時往入容易忽略這一點。鞏固練習1、某同學用一架不等臂天平稱藥品， 第一次將左盤放入50g砝碼，右盤放藥品使天平平衡，第二次將右盤放入50g砝碼，左盤放藥品使天平平衡，則兩次稱得藥品總質量（ ）A、等于100g B

6、、大于100g C、小于100g D、都有可能2、用大小兩部抽水機給麥田澆水，先用兩部抽水機一起抽水2小時， 再用小抽水機單獨抽水1小時即可澆完， 已知單獨用小抽水機所用時間是大抽水機單獨抽水所需時間的倍，求兩部抽水機單獨澆完這塊麥田各需多少小時？3、解方程 = 4、解方程5、某工廠將總價2000元的甲種原料與總價4800元的乙種原料混合后，其平均價格比原甲種原煤料每斤少3元，比原乙種原料每斤多1元，問混合后的單價。6、自然數m、n是兩個不同質數，且m+n+mn的最小值為P，則= 7、已知有因式，則= 8、求的最大值。第三講 一元二次方程的解法知識點擊1、 一元二次方程的常規解法有：直接開平方

7、、配方法、因式分解及求根公式法。2、 對于復雜的一元二次方程往往要借助換元法、和差構造法等。3、 含有字母系數的一元二次方程一般要分類型討論。4、 設而不求是研究一元二次方程公共解的基本方法。例題選講例1 解方程解：令，則 =,解得，即或，解得例2 解方程 - =1解：（ + ）（ - ）=7 + =7又 - =1+： =4易知：X=1 X= 例3：已知m是方程X -2007X+1=0的一個不為O的根求 -2006m+的值解：為方程的非零根， -2007+1=0可得 =2007-1，+=2007，+1=2007原式=2007-1-2006+=+-1=2007-1=2006例4、設、為實數，那么

8、a+ab+b- 2b的最小值為多少？解：原式：=a+（b-1）a+（b-2b） =(a+） +(b-1）-1當a=o b=1時，最小值為-1例5：解方程（x-x+1）-（x-1）=（-1）解：原方程整理為：（-1）-（2-1）+（+1）=0-（m + 1）（-1）-=0x=+1 或（-1）=1） 當0，1時，x1=，x2=2） =0，= 03） =1時=2例6：方程（2007）2 -2006×2008X-1=0的較大根為，方程2006x-2007X+1=0的較小根為,求-的值解:方程可化為(2007X+1)(X-1)=0X=- X=1 XX1 m=1方程可化為(2006X-1)(X-

9、1)=0X1 =- X=1 X1 X=n - m = -1=-點評歸納1、 有的方程某部分重復出現，或經過變形后產生重復出現的式子，可通過換元使方程簡化而便于求解。2、 含有兩個無理根式且可化為一元二次方程的方程，若兩個無理式的有理化因式與它的乘積等于一個常數，這時通常可用平方差公式構造兩個無理式的和與它們的差，從而加減消去一個根式，可使方程簡化并求解。3、 一元一次方程的根是滿足方程的未知數的值，由此得到的等式是許多代數式求值的依據，要靈活運用。鞏固練習1、 解方程：2x+-3X-= 2、解方程：+= 3、解方程：x-|2X-1|-4= 4、三個二次方程a x+bx+c=0，b x+=0，c

10、 x+=0有公共根，求證+=0 5、 已知a、b、c均為實數，且滿足+|+1|+(+2)=0試求方程a x+-=0的解 6、 求證方程（-）x+（-）x +-=0（ab）有一個根為1。 7、設方程x+px+q=的兩根為X1、X2，且I1 =x1 + X2 I2=x+xIn = x+ x則當n3時，求In +PIn-1+qI n-2+的值。8、證明：不論X為何實數，多項式2x4 - 4 x2 - 1的值總大于x4-2x2-4的值。9、已知a-4a+b-+=0，則a-4= 10、已知m、n為有理數，方程x2+mx+n=0有一個根為-2，求m+n的值。11、已知=+5，=+5，求5+ 5的值.12、

11、二次方程a（x+1）（x+2）+b（x+2）（x+3）+c（x+3）（x+1）= 13、解關于x的方程（-1）x2 + 2x+3=0第四講 根的判別式及根與系數的關系知識點擊、設一元二次方程ax+bx+c=0（a0）的兩根為X1、 X2，則ax+bx+c = a（X- X1）（X- X2）= ax-（X1+ X2）X+X1X2 X1+ X2= - X1 X2= 這兩個式子即為一元二次方程根與系數的關系。要注意，方程有兩個實數根是兩根關系式存在的前提，即通常要考慮0 、 0這兩個前提條件。2、 一元二次方程根的判別式源自求根公式，常記作=b-4ac，使用的前提是方程為一元二次方程，即二次項系數a

12、0，它是解決一元二次方程整數解的工具。3、 使用根的判別式及根與系數的關系時，常常涉及到完全平方數、整數性質、因式分解、因數分解等重要知識與方法。例題選講例1：已知一直角三角形三邊分別為a、b、c，B=90°，那么關于X的方程a（X-1）-2CX+b（X+1）=0的根的情況如何？解：方程整理為：（a+b）X-2CX+b-a=0 =4（C+ a-b） B=90° C+ a= b=0 ，原方程有兩個相等實根例2：求所有正實數a，使得方程X-aX+4a=0僅有正整數根。解：設方程的兩個正整數根為X，y（Xy）則 X-4（+）=0 （-4）（-4）=16 這時x=y=8 a=+=1

13、6 這時 a=+=18 這時 a=+=25例3：已知1260，且一元二次方程X-2（+1）+=0，兩個整數根，求整數，并求這兩個整數根。X=+1±為整數 2+1必為完全平方數12 60，252+1121 2+1為奇數2+1=49或2+1=81則 1=24時，X1=32，X2=18 2=40時，X1=50，X2=32例4：設a、b、c是互不相等的非零實數，求證三個方程，aX+2bx+c=0 bX+2cx+a=0C X+2ax+b=0不可能都有兩個相等的實數根。證明（一）：假設三個方程都有兩個相等的實數根。（1）+（2）+（3）：2a+2b+2c-2ab-2bc-2ca=0 (-)+(-

14、)+(-)=0 有 =,這與已知條件矛盾所以三個方程不可能都有兩個相等的實數根.證明（二）:1+2+3=2(+)2+(-)2+(-)2a、b、c為全相等 1+2+301+2+3中至少有一個大于0即至少有一個方程有兩個不相等的實數根。例5：已知是方程X2-7X+8=0的兩根，且不解方程，利用根與系數的關系求 + 32的值。分析：由+B=7 2=8直接求+3B2的值無法下手,這時,我們常用對偶式+32來構造和差求解: +=7 2=8 2+2=（+）2-2=72-28=33（-）2=（+）2-4=72-48=17又 -= 令M=+32,構造M的對偶式N=+32M+N=( + ) +3(2+ B 2)

15、=100 M-N=( -) +3(2-2)=- (+ )÷2得 M= 點評歸納1運用一元二次方程根的判別式時，常與配方法結合使用，這時應考慮非負數的性質。4、 運用根與系數的關系求整數解時，因式分解法及分離整數法是求不定方程整數解的常用方法。5、 利用對偶式構造和差法是代數式求值時重要的變形技巧，應靈活運用。鞏固練習1、 方程X+PX+q=0的兩個根都是正整數，且P+q=1996，試問方程較大根與較小根之比為多少？2、已知一元二次方程a X+bx+c=0（ac0）有兩個異號實根和，且|，那么二次方程C X+（-）ax-a=0的根的情況是（ ）A、沒有實根 B、兩根同正 C、兩根同負

16、D、兩根異號3、關于X的二次方程2 X-5X-a=0的兩根之比，X1 ：X=2:3則X1 -X= 4、 若方程X-4（-1）X+3-4K0，對于任意有理數都有有理根，求實數K的值。5、求方程X+的實數解。6、若對于任何實數a，關于X的方程，X-2ax-a+2b=0都有實根則實數b的取值范圍是（ ）7、若是不為0的整數，當二次方程X-（-1）X+1=0有有理根時，則=（ ）、方程| X-5X|=有且只有相異二實根，求a的取值范圍9、關于X的方程X+2（-3）+（-2）至少有一個整數解且a是整數，求a的值。10、已知X1、X2是關于X的方程4 X-（3-5）-60的兩個實根，且|= 試求的值. 1

17、1、設方程4X-2X-3=0的兩個根為、，求4的值.12、若、都是實數，且0，abc=1則 、中必有一個大于 . 13、設a+2a-1=0 b4-2b2-1=0 且ab2 1則（）2007= 14、已知、為整數，且，方程3 X+3（+）X+4=0的兩根、滿足關系式（+1）+（+1）=（+1）（+1），試求所有的整數對（a、b）15、關于X的方程，X+（a-6）X+=0 的兩根均為整數，求a.16、已知X1、 X2是方程4aX-4ax+4=0的兩個實根（1）是否能適當選取a的值，使是（X1-2X2）（X2-2X1）的值為？（2）求使+=的值為整數的整數a的值17、求證：對于任意一矩形A，總存在矩

18、形B，使得矩形A和矩形B的周長之比和面積之比都等于常數K（其中K1）第五講：一元二次方程的應用知識點擊1、 一元二次方程的應用問題，諸如：數字問題、面積問題、增長率問題、方案設計問題等，綜合運用一元二次方程的有關知識，是各類考試與競賽的重要考點，須認真領會。2、 形如AX+Bxy+cy+DX+Ey+F的各項式叫做關于X、y的二元二次多項式，常見的分解方法有雙十字相乘法、待定前數法、公式法等。公式法是先將原式整理成關于X（或y）的二次三項式，再運用求根公式。3、 非一次不定方程主要掌握兩種情況：二次三項式左邊分解成兩個因式的乘積，右邊分解因數求整數解；分式不定方程，采用整數離析法求整數解。4、

19、可化為一元二次方程的分式方程要注意方程的特點進行有效的變形，像X+=+這類特殊類型的方程，顯然 1時，X1=與X2=就是它的兩個根。無理方程通過配方、換元、分解轉化為有理方程來解。例題選講例1：m為何值時，二次三項式x2+2x-2+m(x2-2x+1)是完全平方式？解：原式=（）X（）（）令 =0，即4(1-)-4()（）解得=3例2：分解因式Xxy-2y-y-6解：Xxy-2y=（）（2y）設原式=（）（2y）Xxy-2y=（）（）比較對應項系數 原式（）（）例3：在矩形地ABCD中央修建一矩形EFGH花圃，使其面積為這塊地面積的一半，且花圃四周的道路寬相等，今無測量工具，只有無刻度的足夠長

20、的繩子一條，如何量出道路的寬度？解：設道路寬X，AB=，AD=，（），則（-2X）（-2X）=，8x2 -4（）ab=0解得（）±若（），則（）這不可能，舍去這個根。則（）量法是：用繩量出AB+BC（即之長），從中減法BD（即）；將剩下的繩長對折兩次即得到道路寬度X。例4：為何值時，關于X的分式方程+2=0只有一個根？解：原方程整理為2x2-（1-）（） 當=(1-)2=0時,=1,方程有兩個等根經驗符合題意（） 當1時,X1=0 X2=有一個為增根代入公分母(X+1)(X-)中可得=0 式=-1所以=-1或=0或=1時，原方程只有一個實根。例5：解方程=解：令= 則= ·

21、 y-7+12=0 y1= 3 y2=4 代入y=得： x1= 81 x2=256例6：表示一個十位數字為X，個位數字為y的兩位整數，且x1 y滿足條件X- y=5X，則此兩位整數是多少？解：由X- y=5X得y=x（-5）、均為整數，經驗證，只有當=時，=0，兩位數為50=9時，=6，兩位數為96例7：方程X+PX+=0的兩根均為正整數，且+=28，求方程的兩根。解：設X+PX+=0的兩根為x1,x2.則1 +2 =-P 1 +2 =q代入=28中（1 -1）（2 -1）=29由 得 由 得所以原方程兩根為2、30例8：求方程2xy2x23x-5y+11=0的整數解。解：原方程可化為（）為整

22、數 必為整數 又2x-5為奇數, 2x-5為6的奇數約數,即2x-5=±1、±3代入（1）：，例9：某商店將進貨值每個10元的商品按每個18元售出時，每天可賣出60個，商店經理到市場上做了一番調查后發現，若將這種商品售價每提1元，則日銷售量就減少5個，若將這種商品售價直降低1元，則日銷量就增加10個，為了獲得最大的利潤，作為商店經理應把此商品售價定為每個多少元？解：設此商品每個售價為X元，每日利潤為y元。(1)當X 18時，60-5（-18）（-10）=-5(-20)2+500即商品售價每個20元時,每日最大利潤為500元.(2)當X 18時，60+10（18-）（-10）

23、=-10(-17)2+490 即商品售價每個17元時,每日最在利潤為490元。綜上所述，該商品應定價為每個20元，使每日利潤最大。點評歸納1、 應用一元二次方程解決實際問題時，應注意0及判別式的取值情況。2、 利用一元二次方程建立數學模型時，配方法常用來求最值，求根公式法雖然運算量較大，但在求整數解、有理根時常用，仍不失為一種行之有效的好方法。3、 待定系數法、換元法、因式分解法、整數離析法等方法滲透在一元二次方程的應用問題中，要區分它們的適用范圍與條件，靈活運用。鞏固練習1、 分解因式2X-5xy-3y+11y-62、 在長為a的線段AB上有一點C，且AC是AB和BC的比例中項，求AC的長。

24、當K為何值時，二次三項式X-25-K（X+5）是關于X的完全平方式。4、甲、乙兩地分別在河的上、下游，每天各有一班船準點以勻速從兩地對開，通常它們總在11時相遇。一天乙地的船因故晚發了40分，結果兩船在11時15分相遇，乙知甲地開出的船在靜水中的速度為44千米/時，而乙地開出的船在靜水中的速度為水流速度V千米/時的平方，求V. 5、若正數X的整數部分的平方等于X與它小數部分的積，則X-= 6、關X的方程（X+）2-5X-=-6有兩個根相等,求a.若方程+ =0只有一個實數根，求a的值及原方程的根。（=-時，X=；=-4時，=1 =-8時，=-17、 關于X的方程X2+KX+4-K=0有2個整數

25、根，求K的值. 8、 求方程X2+xy+ y2-3x-3y+3=0的整數解。10、求為何整數時，二次三項式22-1的值可以分解為兩個連續整數之積。11.求方程的正整數解 G第六講 與圓有關的位置關系知識點擊1、 垂徑定理是圓的軸對稱性的產物，在證明線段相等，弧相等，角相等幾方面及圓中的有關計算問題，應用極為廣泛，類似于直角三角形中的勾股定理般重要，應熟練掌握。2、 點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系分別由點與圓心的距離，圓心與直線的距離，圓心距與圓的半徑之間的數量關系確定。3、 三角形的“四心”：重心三條中線的交點，各條中線被重心分面2:1兩部分；外心三邊中垂線的交點，外接圓的圓心，垂心三條高

26、的交點；內心內角平分線的交點，內切圓的圓心。4、 四點共圓：若四邊形ABCD的一組對角互補，則A、B、C、D四點共圓。5、 相交弦定理，切割線定理與相似的三角形結合使用是解決和圓有關的比例線段的重要途徑。例題選講例1：ABC中，A=72°，O截ABC的三條邊所得的三條弦都相等，求BOCFD解：過O作三條相等弦的弦心距OD、DE、OF，則 E RtBDORtBEO OBD=OBE=X同理OCE=OCF= 2X+2y+A=180° +=54°BOC180°-(+)=126°例2、四邊形AB（1）內接于O，ACBD，垂是為E， BAD：BCD=3:1

27、 DF交AC于點G，且AF·AB=AG·AE，BE=2，ED=3（） 求證AFGDFB G（） 求四邊形ABCD的面積。解（1）AF·AB=AG·AE AFGDFB（ASA）（2）（+5）=2X3 =1 =例3、等腰ABC中，AB=AC，BC=4，內切圓半徑為1，求腰長解：設AB、AC、BC分別切O0于F、E、D連OF、AD 令AF=X AB=AC BF=BD=BC=2RtAOF中，AO=RtABD中，AB2= AD2+ BD2 即(+2)2=+1)2+22解得 =, AB=AC=+2=例4：O1與O2相交于A、B兩點，O1A=3 O2A=5 COSAO

28、1O2=求SinBAO2的值。D解：ABO1O2 O1C= O1A COSA O1O2=×=6 AC=3 延長AO2交 O2于D，AD=10，AB=6SinBAO2=例5：PA、PB分別切O于A、B兩點，PC滿足AB·PB-AC·PC=AB·PC-AC·PB且APPC，PAB=2BPC求ACB B解：AB·PB-AC·PC=AB·PC-AC·PB A、B、C三點共P 令,則-2,PAB=180°-4 又 PA=PB APB=2 PAB= =90°-180°-4=90°

29、;-=30°例6、AB為O直徑，PB切O于點B、PA交O于點C，APB的平分線分別交BC、AB于點D、E，交O于點F，A=60°，線段AE、BD的長是一元二次方程X2-KX+=0（K為常數）的兩個根。（） 求證PA·BD=PB·AE （） 求證O的直徑為常數K（） 求tanFPA 證：（1）易證PAEPBD 從而PA·BD=PB·AE（2）易證BED=BDE 則BD=BE 又AE+BD=K 則AE+BE=AB=KD（3）A=60° ABPB 則BP= k= 則AE=BEAE+BE=K BE+BE=K 則BE=tanFPA=

30、tanEPB= =2-點評歸納1、 弦心距和半徑是圓中常用的輔助線，因為應用垂徑定理和直角三角形的知識在解決弦的有關問題時常常用到。2、 三角函數值在圓中的計算常常用到，這時我們通常需要構造直角三角形或用直角三角形中與之相等的角替換，使已知的三角函數值可用或可求。3、 有公共端點的幾條線段相等時，常構造圓使問題迎刃而解。鞏固練習1、 以線段AB為直徑的一個半圓，圓心為O，C是半圓周上一點，且OC2=AC·BC，則CAB= 2、O的半徑OA=6cm，點C是弦AB上一點，OCOA且OC=BC 當AB的長. 3、平面上不共線的四點，可以確 個圓。4、已知= ABC，則 ABC= 5、三角形

31、一邊為2，這邊上的中線為1，另兩邊之和為1+，這個三角形面積為 6、O半徑為R，C、D是直徑AB同側圓周上兩點， A C的度數為96°，B D的度數為36°，動點P在AB 上運動，則CP+PD的最小值為 7、A、B、C為O上的三點，若ABO=50°，則BCA= 第7題 第8題8、ABC內接于O，A=30°，BC=4， 則O的直徑為 9、AB是O的直徑，半徑OCAB，弦CE交AB于D，求證：AB2=2CD·CE10、 AB為半圓的直徑，ADAB，點C為半圓上一點，CDAD，若CD=2，AD=3，求AB的長。11、 AB切O于D，AO延長線交O于C

32、，BC 切O于C，若AD：AB=1:2 則AO:OC= 12、 半圓O的直徑在梯形ABCD的底邊AB上，且其余三連BC、CD、DA部分O相切，若BC=2，DA=3，則AB= 13、OOB，O與BO相切于E，與AB內切于F，與以OA為直徑的半圓外切于點G，若OA=a，求D的半徑。14、已知、為兩個不等圓的半徑（），C是兩圓的圓心距，若兩圓內含，則關于的方程X2-2X+2=C（+）的根的情況為 15、O中，半徑=5cm，AB、CD是兩條平行弦，且AB=8cm，CD=6cm求AC的長。16、設A1B1、A2B2、A3B3是O中處于圓心同側的三條平行弦，且A1B1與A2B2的距離等于A2B2與A3B3

33、的距離，三條弦的長度分別為20、16、8，求這個圓的半徑。17、平面內有任三點不共線的2007個點，那么是否可作出一個圓，使得圓內、圓外分別有1003個點，還有一個點在圓上？第七講 圓中的有關計算知識點擊1、 圓中有關線段的計算主要依據是：垂徑定理，勾股定理。2、 圓中有關角度的計算主要借助圓心角、圓周角的關系，常常還利用相似三角形及三角函數來幫忙。3、 圓弧長L= ，扇形S= =r24、 不規則圖形的面積的求解關鍵是設法將它分解為可求圖形面積的和差問題。例題選講 例1 正ABC的邊長為4，、AD是O的直徑，求陰影部分的面積。解：連DE、EF、OF，易求EF=AE=AF=3，AD=，AO=OD

34、=，S弓形AE = S弓形EDFS陰=SABC- SAEF+ S弓形AF= - +（S扇形AOF- SAOF）=+（-）=+例2、AB是O的直徑,CD切O于M,BCCD，ADCD交O于E，O半徑為1cm，A=60°，求陰影部分的面積。分析：連OE、OM、BE，作EFAB于F。（） 先求AOE的面積，SAOE = =（） 再求扇形OBME的面積，S扇形OBME=（） 后求梯形BCDA的面積：S梯形BCDA=OM·BE=（） 可求：S陰= S梯 S扇 - S=cm2例3、四邊形ABCD中，AB=AC=AD=，DC=b，ADBC，求BD解：以A為圓心，a為半徑作A 延長DA交A于

35、E，連BE，DBE=90°由BCED有 B E = C D CD=BE=bRtEBD中，BD=例4：正方形ABCD中，以A為圓心，邊長為半徑的圓孤BD，半徑為r的O與AB、AD、BD，切于F、G、E，求CE的長.解：連接AC、OF，設CE=X BC= 則OA=，則AF2=AH·AE AH=2r r2=a（-2r）例5、四邊形ABCD外接圓O，半徑為2，對角線AC與 BD的交點為E，AE=EC，AB=AE，BD=2,求四邊形ABCD的面積.解：連AO交BD于H，AB2=2AE2=AE·AC即：= 又EAB=BAC S四邊形ABCD =2SABD =2點評歸納1、 圓

36、中的有關計算一般要結合使用相似三角形、勾股定理、全等三角形、垂徑定理等，需仔細分析，選取合適的途徑。2、 不規則圖形的面積轉化為規則圖形面積的求解割補方法很多，需根據題設具體確定，有時還需借助平移、旋轉、翻折去處理。鞏固練習1、 半O半徑為；COAB于O，AB為O的直徑，O1的圓心在OC上，且O1切AB于O，OO1 = ，O2與O1外切，與O內切，又切AB于D，求O2的周長。2、 C為半圓O直徑AB上一點，分別以AC、CB為直徑畫半圓O1、O2，CDAB于D,求證：圖中陰影部分的面積等于以CD為直徑的圓的面積。3、菱形周長為20cm，有一角為60°，若以較長的對角線為軸把菱形旋轉一周

37、，所成的旋轉體的表面積為 cm2 4、在O中引弦AB，以OA為直徑作O1交AB于C求證：弓形AMB的面積與弓形Anc的面積之比為4:15、 已知RtABC三邊長分別為a、b、c,C=90° 內切圓0半徑為，切斜邊AB于Di. 求證：=（+-）第6題ii. 求證：ABC=（+）iii. 求證：ABC=AD·DB6、 在一塊邊長為40cm的正方形鐵皮上裁下一塊完整的扇形鐵皮，使之恰好做成一個圓維模型，請設計三種不同的方案，并求出鐵皮利用率最高時圓維模型的底面圓半徑。7、 若P為O內一定點，過P作一弦AC，分別過A、C引圓的切線，再過P分別作兩切線的垂線，垂足為Q、R，試說明：+

38、為定值。8、 等邊三角形邊長為5，其外接圓為O，對折使A落在A1處，求折線在ABC內部的長度DE9、 在一個半徑為1cm的圓，在邊長為6cm的正六邊形內任意挪動，則圓在正六連形內不能達到的部分的面積為 10、 A是半徑為1的O外一點，OA=2，AB是O的切線，B是切點，弦BCOA，連接AC，求陰影部分面積。第八講 全等三角形知識點擊1、 全等三角形是特殊的相似三角形（相似比為1），指能夠完全重合的三角形。2、 識別三角形全等的方法主要有SSS、SAS、ASA、AAS，對于直角三角形還有特定的識別法HL3、 多邊形問題往往轉化為三角形問題求得，因此三角形全等的識別已成為解決數學問題基本工具。例題

39、選評例1：點D是ABC上一點，且CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中線，試證：AC=2AE證明：延長AE至使EF=AE，連DF例2：已知BCAB，BD平分ABC，AD=DC，求證A+C=180°證明：在BC上截取BE=BA，連接DE例3、ABC中，A=90°，AB=AC，D為BC的中點，P為BC上一點，PEAB，PFAC，求證DE=DF且DEDF。分析：連AD，要證DBEDAF即可先證EADFCD例4、給定正方形ABCD，在邊AB及對角線AC上分別取點P和Q，使得AP：PB=3:2，AQ：QC=4:1，求PQD各內角。解：把正方形ABCD分割成25全相等的小正方形，

40、設正方形ABCD連長為a，DE=QF=aEQ=PF=a DEQ=QFP=90°RtDEQRtQFP 則 DQ=PQDQP=180°-（DQE+PQF）=180°-90°=90°P=PDQ=45°點評歸納1、 通過連接、延長、作垂線、作平行線等常規添輔助線的方法，構造全等三角形。2、 分析法：要證證個三角形全等，已具備哪些條件，尚缺什么條件，缺少的條件，放置在另一對一角形中，是否有條件證這一對三角形全等,從而使第一次證全等為第二次證全等準備條件，這是多次證全等解題時的思考習慣。P3、 圖形變換的主要方式：平移、旋轉、翻折。其具體表現有倍

41、長、中線，截長補短等，其目的主要使分散的條件或研究對象集中起來。鞏固練習1、 邊長為1的正方形ABCD的邊AB、AD上各有一點P、Q，且APQ的周長為2，求PCQ的度數。第1題2、 正方形ABCD的CD邊上一點P，使AP=PC+CB。M為CD的中點，求證BAP=2MAD。3、 ABC中，ACB=90°，AC=BC，BD平分ABC交AC于D，AEBD交BD延長線于E，試證BD=AE。4、A、B兩點坐標分別為（X1 0），（X2 0）其中X1、X2 是方程X2+2X+-3=0的兩根，且X10X2第2題（1）求的取值范圍。（2）設點C在y軸正半軸上，ACB=90°，CAB=30&

42、#176;，求M的值（3）在上述條件下，若點D在第二象限，DABCBA，求直線AD的解析式5、正方形ABCD，點P距D10cm，向A直線前進到達點A后，左拐90°繼續直線前進，走同樣的長度后到P1，我們稱點P完成了一次關于點A的左轉彎運動，接著從P1出發關于點B作左轉彎運動到達P2，然后依次關于C、D、A、B連續作左轉彎運動，試問：作2007次左轉彎運動后，到達點Q，則Q距出發點P有多少厘米。6、四邊形ABCD中，ADBC，E為CD上一點,AE、BE分別為BAD，ABC的平分線，求證：AD+BC=AB7、ABC中，C=2A，AC=2BC，求B。8、 AD為ABC的角平分線，ABAC，

43、求證CB。第9題9、ABC中,AB=AC,CDBD,求證ADBADC10、ABC中，M為BC的中點，AN平分BAC，BNAN若AB=14，AC=19，求MN。第10題11、 ABC中，ACB=90°，AC=BC，D、E是AB上兩點，AD=2，BE=3 DCE=45°，求DE的長。第十二講 數學基本思想方法知識點擊1、 常見的數學思想有：分類思想、整體思想、數形結合思想、轉化與化歸思想、代換思想、方程思想、函數思想等。2、 基本的數學方法有：等積法、構造法、換元法、截長補短法、倍長中線法、待定系數法、配方法、特殊化法、參數法等。例題選講例1（整體思想）大矩形被分割成四個小矩形

44、，其中三個小矩形面積如圖中數據的示，求第四個小矩形的面積。解：設AE、DE、DH、HC長分別為線X、y、有xm=10 xn=6 ny=12，三式相乘（xn）2my=720 my=20 即第四個小矩形面積為20例2(代換思想)計算+×解: =,則原式=10n+a2=a(a+1)+10n=a×10n+10n=10n(a+1)= 102n例3(分類思想)由等腰ABC的點A引BC邊的高AD恰好等于BC的一半,求BAC。解:分BC為底邊和腰兩種情況分別求解(1) 當BC為底邊時,AB=AC BD=DC=AD易求B= C=45° 則BAC=90°(2) 當BC為腰時

45、,又有ABC為銳角、鈍角、直角、三角形三類DABC為銳角三角形時，BC=BA AD=ABB=30° 則BAC=75°ABC為鈍角三角形時，BC=BA，AD=BC=AB有ABD=30°則ABC=150°，那么BAC=15°ABC為直角三角形，不合題意。綜上所述，BAC為90°、75°、15°例4（數形結合）計算+解：直接通分將非常困難，構造面積為1的正方形，使問題迎刃而解（如圖所示）原式=1-=例5（函數思想）已知方程（X-2）（X-3）=1，不解方程證明該方程總有兩個不相等的實數根，且一根大于3，另一根小于2。證明

46、：設=（X-2）（2-3）-1X2-5X+5=（X- ）2-該拋物線開口向上，對稱軸X=，頂點（，-）在第四象限，草圖如右，顯然它與X軸總有兩個交點，即方程（X-2）（2-3）-1總有兩個不相等實根同時X=3時，=-10 X=2時，=-10圖象與X軸交點一個在2的左側，一個在3的右則，即方程一根大于3，一根小于2。例6（方程思想）凸邊形內有個點，以為（）個點為頂點能組成多個互不重疊的三角形？解：設能組成X個互不重疊的三角形，則X個三角形內角和為180X，個點處各內角和為360°，合計360，n邊形內角和（-2）180°則180X=360+（-2）180 有X=2+-2（個）

47、點評歸納1、 靈活運用合適的思想方法是解決問題的關鍵，我們要熟練駕馭這些數學思想方法，形成解題技能。2、 有的問題要結合使用某幾種思想與方法，當然可能還存在其它解法，我們可比較其優劣，做到觸類旁通。3、 很多思想與方法在前面我們斷斷續續的遇見過，同學們應主動歸類，自覺地把有關的思想方法納入這個知識體系中，形成一個完整的思想方法體系，加固自己的思維鏈條。鞏固練習1、 化循環小數0. 為分數_2、若X2+xy+y=14 y2+ xy+X=28 則X+y= 3、一個六位數，最左邊一位為1，若將1移到最末位，則所得六位數是原數的3位，則原六位數是 4、求自然數a1a2an，使下式成立12×2

48、a1a2an1=21×1a1a2an25、解方程組 6、計算+（+）+（+）+（+）7、若1+X+X2+ X3+ X4=0 求1+X+ X2+ X2007的值8、計算 9、已知X= 50 則（ ）A、X是完全平方數 B、X-25是完全平方數 C、X-50是完全平方數 D、X+50是完全平方數10、求|X-1|+|X-2|+|X+1|+|X+3|的最小值 11、計算1+ 12、不等式組 的整數解僅為1、2、3，那么適合這個不等式組的整數a、b有序數對（a、b）共有（ ）A、17個 B、64個 C、72個 D、84個 13、分解因式（+-2xy）（+-2）+（1-y）2 14、解方程組

49、15、把（X2-X+1）6展開后得a12 X12+a11X11+ a10X10+a1X+a0 則a12+a10+a8+a2+a0 = 16、化簡 （分類討論）17、解方程 18、方程X2+（-2）X+2-1=0兩根中一根在0和1之間另一根在1和2之間，求的范圍。19、圖中三角形有 個。20、化簡 21、已知方程|X|=ax+1有一個負根而且沒有正根，那a的取值范圍是（ ）A、a-1 B、a=1 C、a1 D、無法確定22、解方程 X2-|2X-1|-4=0 23、求代數式 2-的最小值24、已知ax=by3=cz +=1求證： 25、實數、滿足（）（+）0求證（-）24a（+）九年級一期數學能力訓練（一）一、填空題1、分式 有意義時，X的值范圍是 2、 ABCD中，ADBD，以BD為直徑的圓交AB、CD于E、F，若AD=，AB= 則S陰= 3、若、是兩個不相等的實數，且滿足a2a=1，b2-2b=1，則代數式2a+4 b2-4b+1