1、平面向量高考經典試題一、選擇題1.(全國1文理已知向量(5,6a =- ,(6,5b =,則a 與bA .垂直B .不垂直也不平行C .平行且同向D .平行且反向解.已知向量(5,6a =- ,(6,5b =,30300a b =-+= ,則a 與b 垂直,選A 。2、(山東文5已知向量(1(1n n =-,a b ,若2-a b 與b 垂直,則=a ( A .1B .2C .2D .4【答案】:C 【分析】:2(3,n -a b =,由2-a b 與b 垂直可得:2(3,(1,303n n n n -=-+=±, 2=a 。3、(廣東文4理10若向量,a b 滿足|1a b = ,

2、a b 的夾角為60°,則a a ab +=_;答案:32;解析:1311122a a ab +=+=,4、(天津理10 設兩個向量22(2,cos a =+- 和(,sin ,2m b m =+ 其中,m 為實數.若2,a b = 則m的取值范圍是(A.6,1-B.4,8C.(,1-D.1,6-【答案】A【分析】由22(2,cos a =+- ,(,sin ,2m b m =+ 2,a b = 可得2222cos 2sin m m +=-=+,設k m =代入方程組可得22222cos 2sin km m k m m +=-=+消去m 化簡得2222cos 2sin 22k k k

3、 -=+ -,再化簡得22422cos 2sin 022k k +-+-= -再令12t k =-代入上式得222(sin 1(161820t t -+=可得2(161820,4t t -+解不等式得11,8t -因而11128k -解得61k -.故選A5、(山東理11在直角A B C 中,C D 是斜邊AB 上的高,則下列等式不成立的是(A 2AC AC AB =(B 2BC BA BC = (C 2ABAC CD =(D 22(AC AB BA BC C DAB= 【答案】:C.【分析】: 2(00AC AC AB AC AC AB AC BC =-=,A是正確的,同理B 也正確,對于D

4、 答案可變形為2222CD AB AC BC =,通過等積變換判斷為正確.6、(全國2 理5在ABC 中,已知D 是AB 邊上一點,若AD =2DB ,CD =CB CA +31,則= (A32 (B31 (C -31 (D -32解.在ABC 中,已知D 是AB 邊上一點,若AD =2DB ,CD =CB CA +31,則22(33C D C A A D C A A B C A C B C A =+=+=+- =1233C A C B + ,4 =32,選A 。7、(全國2理12設F 為拋物線y 2=4x 的焦點,A 、B 、C 為該拋物線上三點,若FC FB FA +=0,則|FA|+|F

5、B|+|FC|=(A9 (B 6 (C 4 (D 3解.設F 為拋物線y 2=4x 的焦點,A 、B 、C 為該拋物線上三點,若FC FB FA +=0,則F 為ABC 的重心, A 、B 、C 三點的橫坐標的和為F 點橫坐標的3倍,即等于3, |FA|+|FB|+|FC|=(1(1(16A B C x x x +=,選B 。8、(全國2文6在A B C 中,已知D 是AB 邊上一點,若123A D DBCD C A C B=+,則=( A .23B .13C .13-D .23-解.在ABC 中,已知D 是AB 邊上一點,若AD =2DB ,CD =CB CA +31,則22(33C D C

6、 A A D C A A B C A C B C A =+=+=+- =1233C A C B + ,4 =32,選A 。9(全國2文9把函數e x y =的圖像按向量(2=,0a 平移,得到(y f x =的圖像,則(f x =( A .e 2x +B .e 2x -C .2e x -D .2e x +解.把函數y =e x的圖象按向量a=(2,3平移,即向右平移2個單位,向上平移3個單位,平移后得到y =f (x 的圖象,f (x = 23x e -+,選C 。10、(北京理4已知O 是A B C 所在平面內一點,D 為B C 邊中點,且2O A O B O C +=0,那么( A.AO

7、O D = B.2AO OD =C.3AO OD =D.2AO OD =解析:O 是A B C 所在平面內一點,D 為B C 邊中點, 2OB OC OD +=,且2OA OB OC +=0 , 220OA OD += ,即AO O D =,選A11、(上海理14在直角坐標系xOy 中,i j分別是與x 軸,y 軸平行的單位向量,若直角三角形ABC 中,2A B i j =+ ,3A C i k j =+,則k 的可能值有A 、1個B 、2個C 、3個D 、4個 【答案】B【解析】解法一:23(1BC BA AC i j i k j i k j=+=-+=+-(1 若A 為直角,則(2(360

8、6AB AC i j i k j k k =+=+=-;(2 若B 為直角,則(2(1101AB BC i j i k j k k =+-=+=-; (3 若C 為直角,則2(3(130AC BC i k j i k j k k k =+-=-+=。所以 k 的可能值個數是2,選B解法二:數形結合.如圖,將A 放在坐標原點,則B 點坐標為(2,1,C 點坐標為(3,k,所以C 點在直線x=3上,由圖知,只可能A 、B 為直角,C 不可能為直角.所以 k 的可能值個數是2,選B12、(福建理4文8對于向量,a 、b 、c 和實數錯誤!未找到引用源。,下列命題中真命題是A 若錯誤!未找到引用源。,

9、則a =0或b =0B 若錯誤!未找到引用源。,則=0或a =0C 若錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。,則a =b 或a =-bD 若錯誤!未找到引用源。,則b =c解析:a b 時也有a ·b =0,故A 不正確;同理C 不正確;由a ·b=a ·c 得不到b =c ,如a 為零向量或a 與b 、c 垂直時,選B13、(湖南理4設,a b 是非零向量,若函數(f x x x =+- a b a b 的圖象是一條直線,則必有( A .a b B .a b C .|=a b D .|a b【答案】A【解析】222(|f x x x x x =+-=-+-+

10、 a b a b a b a b a b ,若函數(f x 的圖象是一條直線,即其二次項系數為0, a b =0, a b . 14、(湖南文2若O 、E 、F 是不共線的任意三點,則以下各式中成立的是A .EF OF OE =+B . EF OF OE =-C. EF OF OE =-+ D . EF OF OE =-【答案】B【解析】由向量的減法知EF OF OE =-15、(湖北理2將2cos 36x y =+的圖象按向量24=- ,a 平移,則平移后所得圖象的解析式為( A.2cos 234x y =+- B.2cos 234x y =-+ C.2cos 2312x y =- D.2c

11、os 2312x y =+答案:選A解析:法一 由向量平移的定義,在平移前、后的圖像上任意取一對對應點(''',P x y ,(,P x y ,則24=- ,a (''',P P x x y y =-'',24x x y y =+=+,帶入到已知解析式中可得選A法二 由24=- ,a 平移的意義可知,先向左平移4個單位,再向下平移2個單位。16、(湖北文9設a =(4,3,a 在b 上的投影為225,b 在x 軸上的投影為2,且|b|<1,則b為 A.(2,14 B.(2,-72 C.(-2,72 D.(2,8答案:選B解析

12、:設a 在b 的夾角為,則有|a|cos =225,=45°,因為b 在x 軸上的投影為2,且|b|<1,結合圖形可知選B17、(浙江理7若非零向量,a b 滿足+=a b b ,則( A.2>2+a a b B.22<+a a b C.2>+2b a bD. 22<+b a b【答案】:C【分析】:2,+2=+= a b a b +b a +b b b由于,a b 是非零向量,則必有a +b b,故上式中等號不成立 。 22>+b a b 。故選C .18、(浙江文9 若非零向量,a b 滿足-=a b b ,則( A.22>-b a bB

13、.22<-b a bC.2>-2a a bD.2<-2a a b【答案】:A【分析】:若兩向量共線,則由于,a b 是非零向量,且-=a b b ,則必有a =2b ;代入可知只有A 、C 滿足;若兩向量不共線,注意到向量模的幾何意義,故可以構造如圖所示的三角形,使其滿足OB=AB=BC ;令O A = a , O B = b ,則BA =a -b , C A =a -2b 且-=a b b ;又BA+BC>AC -+a b b 2>-a b22>-b a b19、(海、寧理2文4已知平面向量(11(11=-,a b ,則向量1322-=a b ( A.(2

14、1-,B.(21-,C.(10-,D.(12-,【答案】:D 【分析】:1322-=a b (12.-,20、(重慶理10如圖,在四邊形ABCD中,|4,A B B D D C A BB DBDDC+= =+4|DC BD BD AB ,則+AC DC AB (的值為( A.2B. 22C.4D.24【答案】:C【分析】:2(|.AB D C AC AB D C AB BD D C AB D C +=+=+CAOBD C BA |4,|2.|(|4,A B B D D C A B D C B D A B D C +=+=+=(4.A B D C A C += 21、(重慶文9已知向量(4,6,

15、(3,5,O A O B = 且,/,O C O A AC O B 則向量O C等于(A -72,73 (B -214,72(C -72,73(D -214,72【答案】:D 【分析】:設(,C x y O C O+=/AC O B -聯立解得32(,.77C -22、(遼寧理3文4若向量a 與b 不共線,0 a b ,且a a c =a -b a b ,則向量a 與c 的夾角為( A .0B .6C .3D .2解析:因為0(22=-=b a ba aa c a ,所以向量a 與c 垂直,選D23、(遼寧理6若函數(y f x =的圖象按向量a 平移后,得到函數(12y f x =+-的圖象

16、,則向量a =( A .(12-,B .(12-,C .(12-,D .(12,解析:函數(12y f x =+-為1(2+=+x f y ,令2,1''+=+=y y x x 得平移公式,所以向量a =(12-,選A24、(遼寧文7若函數(y f x =的圖象按向量a 平移后,得到函數(12y f x =-的圖象,則向量a =( B ACDA .(12-,B .(12,C .(12-,D .(12-,解析:函數(12y f x =-為1(2-=+x f y ,令2,1''+=-=y y x x 得平移公式,所以向量a =(12-,選C25、(四川理7文8設(,

17、1A a ,(2,B b ,(4,5C 為坐標平面上三點,O 為坐標原點,若O A 與OB 在O C方向上的投影相同,則a 與b 滿足的關系式為( (A 453a b -= (B 543a b -= (C 4514a b += (D 5414a b +=解析:選A .由O A 與OB 在O C 方向上的投影相同,可得:OA OC OB OC =即4585a b +=+,453a b -=.26、(全國2理9把函數y =e x 的圖象按向量a =(2,3平移,得到y =f (x 的圖象,則f (x = (A e x -3+2(B e x +3-2 (C e x -2+3 (D e x +2-3解

18、.把函數y =e x的圖象按向量a=(2,3平移,即向右平移2個單位,向上平移3個單位,平移后得到y =f (x 的圖象,f (x = 23x e -+,選C 。二、填空題1、(天津文理15 如圖,在ABC 中,120,2,1,B A C A B A C D =是邊B C 上一點,2,D C B D =則AD BC =_. 【答案】83-【分析】法一:由余弦定理得222222cos 22AB ACBCAB ADBDB AB ACAB BD+-+-=可得7BC =13,3A D =,又,AD BC夾角大小為ADB ,2223298cos 29413791BD AD AB ADB BD AD+-=

19、-=-,所以AD BC = 8cos 3AD BC AD B =-.法二:根據向量的加減法法則有:BC AC AB =-112(333A D A B B D A B A C A B A C A B =+=+-=+,此時2212122(33333A DBC A C A B A C A B A C A C A B A B =+-=+- ·· 18183333=-=-.2、(安徽文理13 在四面體O-ABC 中,O A a O B b O C c D =為BC 的中點,E為AD 的中點,則OE = (用a ,b ,c 表示解析:在四面體O -ABC 中,O A a O B b O

20、 C c D =為BC 的中點,E 為AD 的中點,則OE =11(22O A A E O A A D O A A O O D +=+=+=11111(24244O A O B O C a b c +=+ 。 3、(北京文11已知向量2411(,a =b =.若向量(b a +b ,則實數的值是.解析:已知向量2411a b ( ,=.向量(2,4a b +=+ ,(b a b +,則2+4+=0,實數=-3. 4、(上海文6若向量a b,的夾角為60,1a b =,則(a a b-=.【答案】21【解析】(2211cos 60122a ab a a b a a b -=-=-=-=。5、(江

21、西理15如圖,在A B C 中,點O 是B C 的中點,過點O 的直線分別交直線AB ,A C 于不同的兩點M N ,若A B m A M =,AC n AN =,則m n +的值為.解析:由MN 的任意性可用特殊位置法:當MN 與BC 重合時知m=1,n=1,故m+n=2,填2 6、(江西文13在平面直角坐標系中,正方形O A B C 的對角線O B 的AB D CBAONCM兩端點分別為(00O ,(11B ,則AB AC =.解析:(0,1(1,10(111 1.AB AC =-=-+=三、解答題:1、(寧夏,海南17(本小題滿分12分如圖,測量河對岸的塔高AB 時,可以選與塔底B 在同

22、一水平面內的兩個側點C 與D .現測得BCD BDC CD s =,并在點C 測得塔頂A 的仰角為,求塔高AB . 解:在B C D 中,CBD =-. 由正弦定理得sin sin B C C D B D CC B D=.所以sin sin sin sin(C D BDC s BC CBD=+·.在A B C R t 中,tan sin tan sin(s AB BC ACB =+·.2、(福建17(本小題滿分12分 在A B C 中,1tan 4A =,3tan 5B =.(求角C 的大小;(若A B C 最大邊的邊長為17,求最小邊的邊長.本小題主要考查兩角和差公式,用

23、同角三角函數關系等解斜三角形的基本知識以及推理和運算能力,滿分12分. 解:(C A B =-+ ,1345tan tan(113145C A B +=-+=-=-.又0C << ,34C =.(34C = ,A B 邊最大,即17AB =.又tan tan 0A B A B < 2,角A 最小,B C 邊為最小邊.由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A =+=,且02A ,得17sin 17A =.由sin sin A B B C CA=得:sin 2sin AB C A B C=.所以,最小邊2BC =.3、(廣東16(本小題滿分12分 已

24、知ABC 頂點的直角坐標分別為0,(0,0(4,3(c C B A 、. (1若5=c ,求sin A 的值;(2若A 是鈍角,求c 的取值范圍.解:(1 (3,4AB =-,(3,4A C c =-當c=5時,(2,4AC =-6161cos cos ,5255A AC AB -+=<>= 進而225sin 1cos 5A A =-=(2若A 為鈍角,則AB AC= -3(c -3+( -42<0 解得c>325顯然此時有AB 和AC 不共線,故當A 為鈍角時,c 的取值范圍為325,+4、(廣東文16(本小題滿分14分已知ABC 三個頂點的直角坐標分別為A(3,4、

25、B(0,0、C(c ,0.(1若0A B A C = ,求c 的值;(2若5c =,求sin A 的值解: (1 (3,4AB =- (3,4A C c =-由 3(316253A B A C c c =-+=-=得 253c = (2 (3,4AB =- (2,4AC =-6161c o s 5205A B A C A A B A C-+=225sin 1cos 5A A =-=5、(浙江18(本題14分已知A B C 的周長為21+,且s i n s i n 2s i n A B C +=. (I 求邊AB 的長; (II 若A B C 的面積為1sin 6C ,求角C 的度數.(18解:

26、(I 由題意及正弦定理,得21AB BC AC +=+,2BC AC AB +=,兩式相減,得1AB =. (II 由A B C 的面積11sin sin 26B C A C C C =,得13B C A C =,由余弦定理,得222cos 2AC BC ABC AC BC+-=22(2122AC BC AC BC ABAC BC+-=,所以60C =.6、(山東20(本小題滿分12分如圖,甲船以每小時302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當甲船位于1A 處時,乙船位于甲船的A A =,122A A B 是等邊三角形,1121056045B A B =-=,在121A B B 中,由余弦定理得22222B B A B A B A B A B =+-=+-=,1210 2.B B =因此乙船的速度的大小為1026030 2.20=答:乙船每小時航行302海里. 7、(山東文17(本小題滿分12分在A B C 中,角A B C ,的對邊分別為tan 37a b c C =,. (1求cos C ;(2若52C B C A = ,且9a b +=,求c .解:(1sin tan 3737cos C C C= ,又22sin cos 1C C += 解得1cos 8C =±.tan 0C > ,C 是銳角. 1