函數的凹凸性與拐點_第1頁
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文檔簡介

1、精選優質文檔-傾情為你奉上 高等數學I 教案標題： 函數的凹凸性與拐點教學目標： 會判斷曲線的凹凸性及拐點 教學重點及難點： 曲線的凹凸性與拐點教 學 內 容 （教 學 時 數：2 ）第14講 函數的凹凸性與拐點一、復習舊知 1、函數的單調性的判斷 2、函數的極值的求法； 3、函數的最值的求法二、內容精講 為了進一步研究函數的特性并正確地作出函數的圖形，需要研究曲線的彎曲方向。在幾何上，曲線的彎曲方向是用曲線的“凹凸性”來描述的。1、曲線的凹凸性從圖1（a），（b）直觀上可以觀察到：oxyAB（a）BAoxy（b）圖1如果在某區間內的連續且光滑曲線弧總是位于其任一點切線的上方，則稱此曲線弧在該

2、區間內是凹的；如果在某區間內的曲線弧總是位于其任一點切線的下方，則稱此曲線弧在該區間內是凸的，相應的區間分別稱為凹區間與凸區間。 2、曲線的凹凸性的定義定義1 設在區間上連續，如果對于上任意的兩點，恒有那么稱在上的圖形是（向上）凹的（凹弧）； 如果恒有 ， （a） （b） 圖2 那么稱在上的圖形是（向上）凸的（凸弧）。 從圖1還可以看到如下事實：對于凹的曲線弧，其切線的斜率隨著的增大而增大，即單調增加；對于凸的曲線弧，其切線的斜率隨著的增大而減少，即單調減少.而函數的單調性又可用它的導數，即的二階導數的符號來判定，故曲線的凹凸性與的符號有關。3、曲線凹凸性的判定定理1 若在上連續，內具有一階和

3、二階導數，那么(1)若在內，那么在上的圖形是凹的；(2)若在內，那么在上的圖形是凸的。例1.判定曲線的凹凸性.解 函數的定義域，而, 因此曲線在內是凸的.例2.討論曲線的凹凸區間.解 函數的定義域為，。顯然，當時，；當時，.因此為曲線的凸區間，為曲線的凹區間。4、拐點的定義定義2 連續曲線上的凹弧和凸弧的分界點成為這條曲線的拐點。如，在內為凹的，在內為凸的，則即為其拐點。注：拐點是二階導數發生變號的點，因此拐點通常出現在二階導數為0的點以及二階導數不存在的點5、確定的凹凸區間和拐點的步驟如下：(1) 確定函數的定義域；(2) 求出二階導； (3) 求使二階導數為0的點和使二階導數不存在的點；(4) 判斷或列表判斷，根據二階導數的符號確定出曲線凹凸區間和拐點。例3. 求曲線的凹凸區間和拐點.解：，令，得.當時，曲線在內為凸的；當時，曲線在內為凹的.點是曲線的拐點.例4. 討論曲線的凹凸性及拐點.解: 函數在定義域內連續.，當時，都不存在；當時，.故可列表如下：0-0+不存在+凸拐點凹非拐點凹例5. 求曲線的拐點.解 定義域為，因為令時，方程 無解.而當時，；當時，即曲線在區間內是凸的，在區間內是凹的，又曲線在點處是連續的

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