1、整式乘除與因式分解一、重點難點：重點是整式的乘法運算，因式分解運算難點是乘法公式的靈活運用和分解因式的方法。二、知識要點【知識點一】冪的運算（1）同底數冪的乘法:同底數冪相乘,底數不變,指數相加.即 (,都是正整數)（2）冪的乘方:冪的乘方:底數不變, 指數相乘.即 (,都是正整數)（3）積的乘方:先把積中的每一個因式分別乘方,再把所得的結果相乘.即(是正整數)（4）同底數冪的除法:同底數冪相除,底數不變,指數相減.（這個也可以看做分式的運算）即(0, ,都是正整數，且) 零指數冪:不等于零的數的零次冪等于1. 即1(0).推導過程： （這里面注意：a0，因為分母中有a）負整數指數冪: 不等于

2、零的數的負整數次冪等于這個數的正整數次冪的倒數.即 (0,是正整數).例1. 計算解:=點評:在整式運算中同樣應遵循有括號先算括號（先小括號，再中括號，后大括號，），然后算乘方、再算乘除、最后算加減的原則.例2：0. 252009×420098100×0. 5300解： 0. 252009×420098100×0. 5300（0. 25×4）2009（23）100×0. 530012009（2×0. 5）300113000【知識點二】整式乘法(1) 單項式乘單項式單項式與單項式相乘,把它們的系數、相同字母的冪分別相乘,對于只

3、在一個單項式里含有的字母,則連同它的指數作為積的一個因數.即：3a2b4c×2x3bc6=(3×2)(b4×b)(c×c6)×a2×x3=6a2x3b5c7(2)單項式乘多項式單項式與多項式相乘,就是根據乘法對加法的分配律,用單項式乘多項式的每一項,再把所得的積相加.即：a(m+n)=am+an（單項式計算部分與上面原理相同）(3)多項式乘多項式多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項,再把所得的積相加.（就是反復多用幾次乘法分配律）。即：（a+b）(m+n)=am+an+bm+bn。（單項式計算部分與上面原理

4、相同）例3.計算：(1)； (2) （2a3-3a+5）（3-a2）；解:(1)=(2)（2a3-3a+5）（3-a2）=點評：為防止“漏項”，應注意將一個多項式的每一項“遍乘”另一個多項式的每一項；要正確確定積中每項的符號；如有同類項，則應合并同類項，得出最簡結果；通常情況下，最后結果應按某一字母的降冪排列.【知識點三】：乘法公式(1)平方差公式:兩個數的和與這兩個數的積,等于這兩個數的平方差. 即.(2)完全平方公式:兩數和(或差)的平方,等于它們的平方和,加(或減)它們的積的2倍.即:, 例4.利用乘法公式計算:解:=點評:巧妙的將看作一個整體是解決本題的關鍵.【知識點四】：整式除法（了

5、解即可，這幾年幾乎不從這部分里出題）(1) 單項式除以單項式:單項式相除,把系數、同底數冪分別相除后,作為商的因式;對于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數一起作為商的一個因式.(2)多項式除以單項式:多項式除以單項式,先把這個多項式的每一項分別除以單項式,再把所得的商相加.【知識點五】因式分解1. 因式分解：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解；注意：因式分解與乘法是相反的兩個轉化. 2因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分組分解法”、“十字相乘法”.（前三個較常考，第四個較難理解，而且大綱里不作要求，近幾年不常考，但是用好了會簡化許多計算）一、提公

6、因式法. am+an=a(m+n)二、運用公式法. a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2；三、分組分解法. 把需要分解的式子改變順序，對其中某部分提公因式或運用公式，然后再進行下一步的因式分解（一）分組后能直接提公因式例5、分解因式：分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有a，后兩項都含有b，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯系。解：原式= = 每組之間還有公因式！ =【注】分組的選擇是不唯一的，這道題還可以選擇其他的分組方式，試試看

7、。（二）分組后能直接運用公式 例6、分解因式：分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就不能繼續分解，所以只能另外分組。 解：原式= = =例7、分解因式： 解：原式= = =四、十字相乘法.（這是因式分解的最精華部分，但是大綱里不做要求，是課本中的思考題部分，所以了解即可，但是如果學會了，解題會快很多）（一）二次項系數為1的二次三項式直接利用公式進行分解。特點：（1）二次項系數是1； （2）常數項是兩個數的乘積；（3）一次項系數是常數項的兩因數的和。 例8、分解因式：分析：將6分成兩個數相乘，且這兩個數的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)&#

8、215;(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發現只有2×3的分解適合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 =例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7（二）二次項系數不為1的二次三項式條件：（1） （2） （3） 分解結果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=（三）二次項系數為1的齊次多項式例8、分解因式：分析：將看成常數，把原多項式看成關于的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =（四）二次項系數不為1的齊次多

9、項式例9、 例10、 1 -2y 把看作一個整體 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=【典型題】例1. 設m2m20，求m33m22000的值分析：由m2m20無法求m，所以要把m33m22000及m2m20變形解：由m2m20，得m22m，m2m2，原式m2·m3m22000（2m）·m3m220002mm23m220002（m2m）20002×220002004 評析：要多探索方法，尋求新穎簡捷的方法例2. 化簡求值：5（mn）（mn）2（mn）23（mn）2，其中m2，n分析：先

10、應用乘法公式化簡，再代入求值解：5（mn）（mn）2（mn）23（mn）25（m2n2）2（m22mnn2）3（m22mnn2）5m25n22m24mn2n23m26mn3n210n22mn當m2，n時，原式10n22mn2n（5nm）2××（5×2）×（3）評析：本題用到平方差及完全平方公式，注意應用公式要準確【注】這類習題一定要先化簡，在代數求值，以后的分式部分也要這樣做例3. 已知（ab）211，（ab）25，求（1）a2b2；（2）ab分析：利用完全平方公式變形即可解：由（ab）211，得a22abb211由（ab）25，得a22abb25，得2

11、a22b216故a2b28，得4ab6故ab例4 abc的三邊a、b、c有如下關系式：c2a22ab2bc0，求證這個三角形是等腰三角形。 分析：此題實質上是對關系式的等號左邊的多項式進行因式分解（還有些題是對某部分因式分解）。 證明：c2a22ab2bc0，（ac）（ac）2b（ac）0，（ac）（a2bc）0 又a、b、c是abc的三條邊，a2bc0，ac0， 即ac，abc為等腰三角形。 例5 簡便計算2001×19992001×1999=（2000+1）（2000-1） =20002-1×2000+1×2000+1×（-1） =2000

12、2-1 （用平方差公式也可以直接得到這一步） =4000000-1 =3999999例6計算am+5bn+1·a-m+6bn-1 解：am+5bn+1·a-m+6bn-1 分析：無論指數多繁雜同底數冪結合是關鍵。=(am+5·a-m+6)(bn+1·bn-1) =am+5-m+6 bn+1+n-1 =a11b2n 例7計算(-1)2k+1·(- )2k 解：(-1)2k+1·(- )2k 分析：(-1)的奇次冪是-1 =(-1)·(- )2k （-1）的偶次冪是+1 =-1·( )k利用amn (am)n將(- )

13、2k =-( )k = 變形(- )2k=(- )2k=( )k例8用簡便方法計算：(1) (-9)3·(- )3·( )3分析：本題逆用積的乘方公式，即同指數的若干個冪的積等于它們底數乘積之冪。ambmcm=(abc)m 解：(1) (-9)3·(- )3·( )3 =(-9)( - )( )3 =(9× × )3=23=8例9 如果2·8n·16n=222, 求n的值分析：依據相等的2個冪，如其底數相同，則其指數相等的原理解方程。 解： 2·8n·16n=222 又 左邊=2·8n

14、·16n=2·(23)n·(24)n=2·23n·24n=21+3n+4n =21+7n 21+7n=222, 1+7n=22 n=3 例10 已知 求的值解：（）2=x2-2x·+()2= x2-2+()2=4 =4+2=6例11 如果ab2a 4b 50 ，求a、b的值解：ab2a 4b 5（a-1）2+（b+2）2=0 所以 a-1=0 b+2=0 所以 a=1 b=-2例12 兩個連續整數的平方差必是奇數 解：設這兩個連續整數是n和n+1 則 這兩個數的平方差是 （n+1）2-n2=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1 因為

15、 n是整數 所以2n+1 是奇數 則結論成立。分式一、重點難點：重點是提高分式部分化簡求值的運算能力，注意分式什么時候無意義，什么時候值為0；會解分式方程，會用分式方程解決實際問題。難點是計算要快速準確，解方程記得檢驗是否是增根。二、知識要點【知識點一】分式的基礎知識1. 分式：整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有字母，那么稱 為分式若B0，則 有意義；若B=0，則 無意義；若A=0，B0，則 0. 2分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變用式子表示為, (C0).3. 約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約

16、分4通分：根據分式的基本性質，把異分母的分式化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分.【注】通分的關鍵是確定n個分式的最簡公分母，約分的關鍵是確定分式的分子與分母中的最大公因式例1 下列各式，哪些是整式，哪些是分式？例2 分別求出使下列式子有意義的x的值。解:分式有意義，只要分母不為0就可以 第一個：x-30 x3 第二個：-30 x3 第三個：x20 x0例3 如果分式的值為零，那么 等于 解：依題意得3x-90 x3 -3=0 x=3 綜合起來，x=-3（x=3的時候分式分母為0，無意義）例4 例5不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中的各項系數化為整數。  

17、0;  【知識點二】 分式的運算【注：這部分中考必有一道題，計算一定要大量練習，要保證準的基礎上，提高速度。】   （1）分式乘除法：概括：與分數乘除法的法則類似，分式的乘除法的法則是：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母；兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，再與被除式相乘。經觀察、類比不難發現例6解：原式= 例7. 先化簡，再求值。【中考題型，一定要先化簡，再代數，切記。】    （2）分時加減法同分母的分式加減法與同分母分數加減法的法則類似，同分母的分式加減法的法則是：同

18、分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。 異分母的分式加減法與異分母分數加減法的法則類似，異分母的分式加減法的法則是：異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進行計算。例8例9【知識點三】 分式方程 概念：含有分式的等式（方程）叫分式方程。【注】對于分式方程，當分式中分母的值為零時沒有意義，所以分式方程不允許未知數取那些分母為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件。當把分式方程轉化為整式方程以后，這種限制取消了。換言之，方程中未知數允許取值的范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值，那么就會出現增根。因為解分式方程可能

19、會出現增根，所以解分式方程時，驗根是必要步驟。（驗跟是只有分式方程中才特有的，但是必須的）驗根的方法有兩種，一種是把求得的未知數的值代入原方程進行檢驗，這種方法道理簡單，而且可以檢查解方程時有無計算錯誤；另一種是把求得未知數的值代入分式的分母，看分母的值只否為零，這種方法不能檢查解方程過程中出現的計算錯誤。 例10 解：方程兩邊同時乘以得整理，得 解這個方程，得 經檢驗，是原方程的增根，應舍去.所以原方程的根是例11 年1月1日起調整居民用水價格，每立方米水費上漲1/3。小麗家去年12月份的水費是15元，而今年7月份的水費則是30元。已知小麗家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，

20、求該市今年居民用水的價格。主要的等量關系是： 小麗家今年7月份的用水量小麗家去年12月份的用水量=5m3 所以，首先要表示出小麗家這兩個月的用水量，而用水量可以用水費除以水的單價得出。解：設該市去年居民用水的價格x元/ m3 ，則今年的水價為（1+1/3）x元/ m3，根據題意，得        解這個方程，得x=1.5經檢驗，x=1.5是所列方程的根。1.5×（1+1/3）=2（元）所以，該市今年居民用水的價格2元/ m3。 例12 解：原方程變為（）2+（）-2=0 所以=-2 x1=x2=-1或=1

21、 這個方程無解經檢驗，x1=x2=-1是這個方程的跟。 例13 如果方程有增根,則k=_ 解：解這種題，不要先帶x的值，因為帶進去分母為0，分式無意義，所以，先通分，在通分時，等式兩邊乘以0，對等式是沒有影響的，所以，原方程可化為：（x+k）-x(x+1)=2(x2-1) 整理3x2-k-2=0 此時，帶入x=1， 求k的值， k=1例14 若 ，求的值.解：因為 所以 y-x=3xy=【鞏固練習】【整式部分】1、計算：（1）（3a）·（2a）； （2）3xyz·（xy）（3）21ab÷7ab； （4）7a5bc÷（3ab）；（5）÷x （6）

22、（）（）2、若5n2，4n3，則20n的值是 ；若2n+116，則x_.3、已知求m、n的值4、（提示：用平方差公式）5、已知，求的值6、在長為m，寬為m的一塊草坪上修了一條1m寬的筆直小路，則余下草坪的面積可表示為 ；現為了增加美感，把這條小路改為寬恒為1m的彎曲小路（如圖6），則此時余下草坪的面積為 7、若a、b、c為ABC的三邊，且滿足a2b2c2abacbc，試判斷ABC的形狀。8、已知，求：（1）（2）（3）的值。9、利用因式分解說明：能被140整除10、因式分解（1） （2）（3）； （4） （5） （6）（7） （8）(9)2x2-7x3； (10)6x2-7x-5；(11)-3x27x-2； (12)5x26xy-8y2【注】后四個是用十字相乘法因式分解，盡量做11、已知，求的值。12、已知：a、b、c為的三邊，并且滿足求證：是等腰三角形。【