1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計模型錢益鋒 羅堅堅 董龍寅(2006年獲全國一等獎)摘 要：本文主要考慮當(dāng)容積一定時，如何設(shè)計易拉罐的形狀和尺寸，使得所用材料最省。首先對易拉罐進(jìn)行測量，對問題二、問題三、問題四建立數(shù)學(xué)模型，并利用LINGO軟件結(jié)合所測的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，得出最優(yōu)易拉罐模型的設(shè)計。模型一，對正圓柱體形狀的易拉罐，當(dāng)容積一定時，以材料體積最小為目標(biāo)，建立材料體積的函數(shù)關(guān)系式，并通過求二元函數(shù)條件極值得知，當(dāng)圓柱高為直徑兩倍時，最經(jīng)濟(jì)，并用容積為360 ml進(jìn)行驗算，算得，與市場上凈含量為355ml的測得的數(shù)據(jù)基本接近。模型二，對上面部分為正圓臺、下面部分為正圓柱的易拉罐同樣在容積量一定時，

2、考慮所用材料最省，建立優(yōu)化模型，并通過LINGO軟件仍用容積為360 ml進(jìn)行驗算，算得，高之和約為直徑的兩倍。模型三，考慮到罐底承受的壓力，根據(jù)力學(xué)上橫梁支點的受力與拱橋設(shè)計的原理，設(shè)計底部支架（環(huán)形）與一定弧度的拱面，同時利用黃金分割，將直徑與高之比設(shè)為0.618，建立容積量一定時材料最省的優(yōu)化模型，再將有關(guān)數(shù)據(jù)代入計算，得到結(jié)論，現(xiàn)行易拉罐的設(shè)計從某種意義上不乏是最優(yōu)設(shè)計。關(guān)鍵詞：優(yōu)化模型 易拉罐 非線性規(guī)劃 正圓柱 正圓臺一、問題重述銷量很大的飲料容器(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計，而不是偶然。當(dāng)然，對于單個的易拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)計可以節(jié)省的錢可

3、能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了?，F(xiàn)針對以下問題，研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計問題。問題一：取一個飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是測量得到的，那么必須注明出處。問題二：設(shè)易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理地說明所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。問題三：設(shè)易拉罐的中心縱斷面如圖1所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱。什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理地說明

4、你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。問題四：利用所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計。同時，以做本題以及以前學(xué)習(xí)和實踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗，寫一篇短文(不超過1000字，論文中必須包括這篇短文)，闡述什么 圖1是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟，以及難點。 二、問題分析在易拉罐設(shè)計的實際情況中，我們必須保證罐內(nèi)體積大于飲料的凈含量，同時考慮到飲料對罐體各部分的應(yīng)力，需確定罐蓋、罐底和罐壁的厚度，在此情況下的最優(yōu)是使得容積一定時，所用的材料最省。在問題一中對于各個部分的數(shù)據(jù)可以直接測量，利用千分卡對易拉罐進(jìn)行測量；問題二是對正圓柱體的易拉罐在容積一定時，以半徑和高之比為衡量最優(yōu)設(shè)計的

5、標(biāo)準(zhǔn)；問題三中，對比問題一中所測得的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)易拉罐罐蓋、罐底的厚度是罐壁的兩倍，因此我們在解決此問題時可以假設(shè)罐蓋、罐底的厚度是罐壁的兩倍，再利用規(guī)劃方法求解由圓臺和圓柱體組成的易拉罐的最優(yōu)設(shè)計。在問題四中根據(jù)問題二、三的模型所求得的數(shù)據(jù)與測量的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，以及觀察市場上正規(guī)廠家生產(chǎn)的碳酸和非碳酸飲料易拉罐的異同之處，作出關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)模型。三、模型假設(shè)1、根據(jù)薄壁圓筒的應(yīng)力分析，假設(shè)易拉罐罐蓋、罐底的厚度是罐壁的兩倍。2、易拉罐各接口處的材料忽略不計。3、易拉罐各部分所用的材料相同。4、單位體積材料的價格一定。5、相同類型易拉罐的容積相同。四、模型建立與求解目前市場上大部分的

6、易拉罐形狀可以分成兩類：一類主體部分是正圓柱體，正圓柱體上面部分是正圓臺（如圖2所示）；另一類主體部分是正圓柱體，正圓柱體上面部分與下面部分都是正圓臺（如圖3所示）。 如圖2 如圖3我們用千分卡尺對杭州中萃食品有限公司生產(chǎn)的可口可樂易拉罐進(jìn)行了測量，分別測量數(shù)據(jù)如下表。（單位；） 罐高123.7罐柱內(nèi)徑61.29上圓臺高13.5下圓臺高7.7罐蓋內(nèi)徑58.17罐底厚0.29罐蓋厚0.29罐底拱高10.11圓柱體高102.5罐壁厚0.135 由上表可知：罐底與罐蓋的厚度大約是柱壁厚度的2倍；高大約為正圓柱直徑的2倍。易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計就是確保盛放飲料時容器不變形、放置穩(wěn)定、運輸安全的前提

7、下，如何設(shè)計形狀與尺寸才能使一定容積量的易拉罐所用的材料最省，為此我們分別對問題二、問題三、問題四建立模型如下：模型一：正圓柱體模型假設(shè)易拉罐是一個正圓柱體，罐內(nèi)半徑為，罐內(nèi)高為，罐壁厚為，根據(jù)假設(shè)1可知，罐底與罐蓋厚為，所以制作材料的體積為：= 因為，故項可以忽略不計。因而于是，問題就是求目標(biāo)函數(shù)在條件下的最優(yōu)解。即min s.t. 利用Lagrange 乘子法求解，作函數(shù)令即消去得：，。唯一的駐點就是問題的極值點，也是此問題的最優(yōu)解。由上述可知，當(dāng)罐高為罐內(nèi)直徑的兩倍時，正圓柱體的易拉罐所用的材料最省。這與我們目前市場上的可口可樂易拉罐的形狀大致相同。若用代入計算得，這與我們所測凈含量為的

8、易拉罐高123.7與罐體半徑30.51還是比較接近的（飲料罐不能裝滿飲料，必須留有一定的空間余量）。但也看出兩組數(shù)據(jù)之間也存在一定差異，這是因為我們所測量的易拉罐下底并非是一個圓面，而是一個向上凸的拱面，接近上、下底部分是兩個正圓臺。模型二：主體為正圓柱體，上面部分為正圓臺模型當(dāng)易拉罐的上面部分是一個正圓臺，下面部分是正圓柱體時（如圖4），假設(shè)正圓柱體部分的罐內(nèi)半徑為，罐內(nèi)高為，罐壁厚為；正圓臺部分上底內(nèi)半徑為，正圓臺內(nèi)高為。根據(jù)假設(shè)1可知，易拉罐罐底與罐蓋的厚度均為，仍以制作易拉罐的材料最省作為最優(yōu)設(shè)計。由于考慮到易拉罐各部分材料的厚度不同，因此采用易拉罐所需的材料等于外徑體積減去內(nèi)徑體積進(jìn)

9、行計算。易拉罐正圓臺部分所用的材料體積： 圖4 因為，故可以忽略，則易拉罐正圓臺部分的材料體積為：易拉罐正圓柱部分的材料體積：因為，故可以忽略。則易拉罐正圓柱所用的材料體積：所以，易拉罐的總材料體積為：要使生產(chǎn)易拉罐的費用最省，同理可建立優(yōu)化模型： s.t利用LINGO軟件（附錄一）計算得出=30.6,mm，；顯然，易拉罐的形狀是正圓柱體。也就是說在容積相同的情況下，正圓柱體形的易拉罐要比上面部分是正圓臺、下面部分是正圓柱體的易拉罐省材，但是問題要求設(shè)計的上面部分是正圓臺的易拉罐，因此需要進(jìn)一步改進(jìn)。根據(jù)所測易拉罐的數(shù)據(jù)分析，假設(shè)易拉罐的正圓臺高為正圓柱高的8%，正圓臺的上內(nèi)徑為正圓柱內(nèi)徑95

10、%。 s.t利用LINGO軟件進(jìn)行求解（附錄二），分別得出：=30.87,=29.33, ，這與我們所測得數(shù)據(jù)比較接近。模型三：易拉罐的最優(yōu)設(shè)計模型對于盛裝碳酸飲料的容器，不僅要考慮省材，還要考慮盛放與搬運中的安全、方便、實用。如果把易拉罐設(shè)計成球體，在一定容量的情況下材料最省，但對于放置、儲存等會帶來諸多的不便（球與球之間的空隙大）。根據(jù)幾何原理，罐底為平面放置最穩(wěn)，主體為正圓柱體最優(yōu)。但考慮到碳酸飲料的壓力等因素，罐底與罐蓋要考慮牢固性，根據(jù)橫梁受力的原理：當(dāng)梁的支座從兩端往中間移時，其載荷將會提高。 根據(jù)此原理，我們在易拉罐的底部設(shè)計了一個底軌（環(huán)形），并使其向量移動0.2R，這樣既可以

11、提高易拉罐底的載荷，也可以使其擺放平衡。底軌的厚度為兩個底厚加上它們之間的空隙，約為6b。因此在罐底的底軌與正圓柱的連接處就形成了一個正圓臺，與此對應(yīng)，我們在正圓柱的上面也設(shè)計了一個正圓臺，進(jìn)而從美學(xué)的角度考慮，根據(jù)黃金分割點將將直徑與高的比設(shè)為0.618，同時在罐口設(shè)計了一個圓槽，使其內(nèi)徑略大于底軌外徑，當(dāng)兩罐飲料疊放時，上面一罐飲料的底部可以嵌入下面一罐飲料的罐蓋的圓槽，便于放置。在罐底部分，根據(jù)拱橋的原理：橋面設(shè)計成一定的拱形時，它的受力比一般平面橋要大得多。因此我們把罐底底軌內(nèi)的部分設(shè)計成具有一定弧度的拱面，使其能夠更好的承受罐內(nèi)液體的壓力。綜上所述，可將易拉罐罐體設(shè)計成三部分：上部為

12、正圓臺，高為，上圓臺罐口內(nèi)半徑為；中部為正圓柱，高為，罐體正圓柱內(nèi)半徑為；下部為正圓臺，高為，罐底內(nèi)半徑為，罐底拱高為（如圖5所示）。又設(shè)罐體壁厚為，罐底、罐蓋厚為，對各部分進(jìn)行材料體積計算。易拉罐上正圓臺部分的材料體積： 圖5 因為，故可以忽略，則易拉罐正圓臺部分的材料為： 易拉罐正圓柱部分的材料體積：因為，故可以忽略，則易拉罐正圓柱部分的材料體積：易拉罐下正圓臺側(cè)面部分的材料： = 易拉罐底部材料的體積：所以，易拉罐所用的總材料體積為： 當(dāng)易拉罐所需的總材料最少，則生產(chǎn)該易拉罐的費用最省，建立優(yōu)化模型如下： s.t當(dāng)，時，利用LINGO（附錄三）解得：，=11.23，這樣設(shè)計出來的易拉罐取

13、材省，外觀美麗。 五、模型評價與改進(jìn)此模型通過實際數(shù)據(jù),將理論分析和實際狀況進(jìn)行比較，有較強的現(xiàn)實意義。能兼顧安全、實用、方便、美觀、經(jīng)濟(jì)，理論引用可信度較高。但在模型中沒有考慮接口處的材料，由于時間關(guān)系，對罐底、罐蓋與罐壁的厚度等對比沒有作深入的研究。期望能在此方面加以改革，以達(dá)到最經(jīng)濟(jì)的效果。六、建模體會數(shù)學(xué)建模是一項以培養(yǎng)青年學(xué)生創(chuàng)新思維、團(tuán)結(jié)協(xié)作、綜合應(yīng)用能力、提高學(xué)生素質(zhì)為目的的活動、深受青年學(xué)生的青睞，我們是這項活動的喜愛者、參與者、受益者。通過數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)與實踐，我們懂得了數(shù)學(xué)建模就是把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉。用數(shù)學(xué)語言符號描述問題的內(nèi)在聯(lián)系，然后用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建立相應(yīng)

14、的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)軟件等求出模型的解，并驗證模型的合理性。用該數(shù)學(xué)模型解釋現(xiàn)實問題，甚至解決一些當(dāng)前生產(chǎn)、生活中的技術(shù)難關(guān)，并將部分模型應(yīng)用于實際生產(chǎn)中，給社會帶來巨大的經(jīng)濟(jì)效益。數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵步驟可以歸納為：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型檢驗及模型應(yīng)用等。對于我們來說，如何解讀實際問題，掌握各種信息與數(shù)據(jù)，抓住其本質(zhì)，再用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識建立模型是難點。就易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計而言，考慮了易拉罐罐底為何設(shè)計成呈弧形的拱面，這樣設(shè)計對易拉罐有何作用，如何設(shè)計易拉罐各部分材料的厚度以及形狀，并證明所需要的材料是最省的，即對產(chǎn)家而言所需的費用是最省的，然而在此基礎(chǔ)上

15、還需考慮到罐內(nèi)氣體對易拉罐各部分的應(yīng)力以及易拉罐的承受能力，并用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行表達(dá)和證明，說明我們所設(shè)計的易拉罐是合理的，這是問題的關(guān)鍵所在，也是本模型的最大難點，而數(shù)學(xué)建模的最大難點也在于如何建立數(shù)學(xué)模型將理論轉(zhuǎn)化為實際問題。通過數(shù)學(xué)建?；顒邮刮覀冋嬲昧藬?shù)學(xué)的魅力，它的應(yīng)用十分廣泛，可以滲透到工程、生物、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、能源等各個鄰域，也使我們學(xué)會了學(xué)習(xí)，學(xué)會了合作，學(xué)會了利用網(wǎng)絡(luò)及我們所學(xué)的知識去解決問題的思想。這對我們今后的學(xué)生時代及走上崗位后的職業(yè)生涯會終身受益。參考文獻(xiàn)1 劉鴻文，材料力學(xué)，人民教育出版社，1979.2. （第154頁）2 吳建國，數(shù)學(xué)建模案例精編，北京市三里河路6號

16、：中國水利水電出版社， 2005.1(第89頁)3 數(shù)學(xué)手冊編寫組，數(shù)學(xué)手冊，北京印刷二廠：人民教育出版社，1979 (第81頁)4 姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型第三版，北京市西城區(qū)德外大街4號：高等教育出版社， 2004.25admin，鋁制易拉罐成形工藝及模具， ，20069156劉代祥，飲料包裝研究，2006915附錄附錄一model:b=0.135;v=360000;min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b2*(R+r1)+2*3.14*b*(R2+R*r1+r12)/3+2*3.14*b*R2+3.14*b*2*R*h2+3.14*b2*(4*R+h2);3.

17、14*R2*(h2+h1/3)+3.14*h1*r12/3.0+3.14*h1*R*r1/3.0=v;R>=r1;end Local optimal solution found at iteration: 130 Objective value: 4785.179 Variable Value Reduced Cost B 0.1350000 0.000000 V 360000.0 0.000000 H1 118.9332 0.000000 R 30.60349 0.000000 R1 30.60349 -0.6001035E-07 H2 3.480709 -0.1719013E-06

18、 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -35601.72 2 0.000000 -0.8841982E-02 3 4785.179 -1.000000 4 0.000000 -0.8841982E-02 5 0.000000 -24.57812附錄二model:b=0.135;v=360000;min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b2*(R+r1)+2*3.14*b*(R2+R*r1+r12)/3+2*3.14*b*R2+3.14*b*2*R*h2+3.14*b2*(4*R+h2);3.14*R2*(h2+h1/3)+3

19、.14*h1*r12/3.0+3.14*h1*R*r1/3.0=v;R>r1;r1>=0.95*R;h1>=0.08*h2; Local optimal solution found at iteration: 131 Objective value: 4751.322 Variable Value Reduced Cost B 0.1350000 0.000000 V 360000.0 0.000000 H1 8.940641 0.000000 R 30.87646 -0.1512417E-06 R1 29.33264 0.000000 H2 111.7580 0.0000

20、00 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -35349.82 2 0.000000 -0.8779419E-02 3 4751.322 -1.000000 4 0.000000 -0.8779424E-02 5 1.543823 0.000000 6 0.000000 -21.85243 7 0.000000 -0.5905080附錄三model:b=0.135;v=360000;d=7;min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b2*(R+r1)+6.28*b/3*(R2+R*r1+r12)+6.28*b*R2+6.28*b*R*h2+3.14* (4*b2*R+b2*h2)+b*3.14*h3*(b+R+r2)+3.14*(d+2*r22);3.14*R2*h2+3.14*h1*(R2+r*r1+r1