1、 土木工程專業有限元第二次作業姓 名：班 級：學 號：指導教師：二 一 五年 6月12日習 題：平面應力問題的八節點等參元，已給定8個節點的坐標。試查資料并論述： 1、單元中位移函數u（，），v（，）和單元節點位移e 的關系式；2、 B 矩陣的計算步驟和計算式；3、單元剛度矩陣 k e 的一般計算方法和計算步驟；4、論述相鄰單元間公共邊界上位移的連續性；5、如果給定母單元中點A，（，），怎樣求實際單元中與A，相對應的點A（x，y）；反之，如果給定實際單元中的點A（x，y），怎樣求其在母單元中對應點A，（，）？6、如果已經求解得到單元8個節點的位移值e 怎樣求單元中某一點B（x，y）的應力？解：

2、圖1：在總坐標系中具有二次曲邊的四邊形單元1、此題分兩步進行：Ø 單元位移場的表達：圖2：在自然坐標系中的曲邊四邊形的基本單元如圖1所示,在任意四邊形的每邊中間設一附加節點，則單元邊界就變成二次曲線的了。如果直接在整體坐標系下，像八節點矩形元那樣，構造雙二次多項式的位移插值函數，則因曲邊四邊形單元邊界是二次曲線，故邊界上的位移是的五次多項式，它不能由曲邊上三個節點的位移分量唯一地決定，從而不能保證相鄰兩個單元在公共邊上位移的協調條件，所以在整體坐標系下構造完全協調的位移插值函數是很困難的，利用坐標變換，可將曲邊四邊形單元變換成基本單元，如圖2所示的在自然坐標下具有邊長為2的八節點正方

3、形單元，自然坐標系是外節點坐標值為±1的局部坐標系。在自然坐標系的單元上構造協調的位移插值函數，其形狀函數是較普通的，取位移分量為的雙二次多項式, 即： （1-1）利用8 個節點的16 個位移分量可唯一確定16 個待定常數，若代入8個節點的局部坐標值，得： （1-2） （1-3）將解出的16 個待定常數代入式（1-1）即得: （1-4a）也即： （1-4b）其中為二階單元矩陣，為等參元節點位移列陣，為形狀函數矩陣。Ø 形狀函數的建立：按等參元思想，在整體坐標系下, 任何形狀歪斜四邊形單元都將變換到局部坐標系下的正方形單元。 對8節點等參元, 其移模式為： （1-5）式中,

4、為歪斜單元8節點的位移，為形狀函數。查閱相關資料，得形函數公式公式為： （1-6）又由形狀函數的性質可具體地求出的表達式為： （1-7）2、根據平面問題的幾何方程，單元應變可用節點位移表示如下： （2-1）其中： （2-2）即要求出矩陣中的元素，。另根據符合函數求導法則，可知： （2-3）其中，為二維坐標變化下的Jacobi矩陣，即： （2-4）其元素計算式為：， ， （2-5）又根據式（2-3），有 （2-6）根據公式（2-2）即可得出矩陣，其中可由問題1方法求出。3、單元剛度矩陣按普遍公式計算，公式如下： （3-1）其中為單元體積域，為16×16的方陣（具體形式見下文），為材料的

5、彈性系數矩陣，各向同性材料的彈性系數矩陣為： （3-2）上述積分應在局部坐標系內進行，因此面積元素需表示成.如圖3所示為子單元內任一點處的微小正方形，它是由局部坐標系中點處的微元體變換而成的。以表示軸的單位基矢量，分別由變換而成，則： （3-3）圖3：子單元內任一點處的微小正方形上述2個矢量的叉積表示它們所構成的平行四邊形面積，故： （3-4）其中，為矩陣的行列式，即 將上式帶入式（3-1），并寫成分塊形式： （3-5）其中子矩陣的計算公式為： （3-6）其中是板的厚度。由于被積函數極為復雜,很難得到明顯的解析式,必須利用數值積分。程序中采用高斯求積法,對于二維問題的等參元,高斯求積公式為:

6、（3-7）式中，為一維求積點的積分系數，為沿一維編號的求積積分點的橫坐標。對于8節點等參元取三個積分點，即n=3已足夠精確。4、證明：局部坐標系下的單元是規則的正方形，單元邊界上的三個節點按線性變化的位移形式，單元變形后這三個節點確定了位移的單元直線邊界。所以，局部坐標系下單元是協調的。又由位移插值函數在局部坐標系下的協調性，即可推知坐標變換的協調性（即兩個相鄰曲邊四邊形在公共邊界上經坐標變換后仍保持連續，不會出現重疊和破缺現象），這也就保證了位移插值函數在整體坐標系下的協調性。即在相鄰單元公共邊界上位移是連續的。5、這里，是的函數，在下面的計算中還需知道和的關系，因此必須寫出和之間的坐標變換式，這個坐標變換并不難，因為在單元的8個節點上應取值，而單元四條邊應為二次曲線，這與的要求完全類同，因此可沿用和位移插值函數完全相同的式子作為坐標變換式，即： （5-1）式中為節點坐標，形狀函數與前面相同。由上可見，在整體坐標系下的曲邊四邊形單元和自然坐標系下的正方形單元存在著一一對應的映射關系，只要已知后，由（5-1）式，利用自然坐標系下的形狀函數，即可完全確定。即：如果給定母單元中點，通過求出形狀函數，利用式（5-1），可求出實際單元中與相對應的點；同理，如果給定實際單元中的點，利用式（5-1