1、、緒論1. 思考題1 .何為約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題?什么是無(wú)約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題?試各舉一例說(shuō)明。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題多屬哪一類(lèi)？2 .一般優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型包括哪些部分?寫(xiě)出一般形式的數(shù)學(xué)模型。3 .機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的過(guò)程是怎樣的?它與常規(guī)的機(jī)械設(shè)計(jì)有什么不同?4 .怎樣判斷所求得的最優(yōu)解是不是全局最優(yōu)解？5 .試簡(jiǎn)述優(yōu)化算法的迭代過(guò)程。6 .何為可行域？為什么說(shuō)當(dāng)存在等式約束則可行域?qū)⒋鬄榭s小?當(dāng)優(yōu)化問(wèn)題中有個(gè)等式約束時(shí)可行域是什么?當(dāng)優(yōu)化問(wèn)題中有兩個(gè)等式約束時(shí)可行域是什么?當(dāng)n維優(yōu)化問(wèn)題中有n個(gè)等式約束時(shí)可行域是什么？7 .什么是內(nèi)點(diǎn)、什么是外點(diǎn)?在優(yōu)化設(shè)計(jì)中內(nèi)點(diǎn)和外點(diǎn)都可以作為設(shè)計(jì)方案嗎?為什么?8 .

2、試寫(xiě)出第一節(jié)中第三個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。9 .目標(biāo)函數(shù)及其等值線（等值面）的意義和特性是什么？2. 習(xí)題1 .設(shè)計(jì)一容積為V的平底、無(wú)蓋圓柱形容器，要求消耗原材料最少，試建立其優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并指出屬于哪一類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題。2 .當(dāng)一個(gè)矩形無(wú)蓋油箱的外部總面積限定為S時(shí)，怎樣設(shè)計(jì)可使油箱的容量最大？試列出這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并回答：屬于幾維的優(yōu)化問(wèn)題？是線性規(guī)劃還是非線性規(guī)劃？3 .欲造容積為V的長(zhǎng)方形無(wú)蓋水箱，問(wèn)應(yīng)如何選定其長(zhǎng)、寬、高尺寸，才能使用料消耗最少？試寫(xiě)出其數(shù)學(xué)模型。4 .試求直徑為D的圓內(nèi)所有內(nèi)接三角形面積中的最大值。5 .在曲面fl（Xl,X2,X3）=0上找一點(diǎn)P1,在曲面f2

3、（Xl,X2,X3）=0上找一點(diǎn)P2,使得P1與P2的距離為最短，試建立優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。6 .有一薄鐵皮，寬b=14cm,長(zhǎng)L=24cm,制成如圖2-9所示的梯形槽，求邊長(zhǎng)X和傾斜角a為多大時(shí)，槽的容積最大？試寫(xiě)出此問(wèn)題的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型并指出該問(wèn)題屬于哪一類(lèi)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。7 .欲制一批如圖2-12所示的包裝紙箱，其頂和底由四邊延伸的折紙板組成。要求紙箱的容積為2m3,問(wèn)如何確定a、b和c的尺寸，使所用的紙板最省。試寫(xiě)出該優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。8 .一根長(zhǎng)l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形。問(wèn)應(yīng)以怎樣的比例截?cái)嚆U絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫(xiě)出這一優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。9

4、 .某廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品：A每桶需用煤90kN、電4度、勞動(dòng)日3個(gè)，獲利潤(rùn)700元；B每桶需用煤40kN、電5度、勞動(dòng)日10個(gè)，獲利潤(rùn)1200元。但計(jì)劃規(guī)定可用煤3600kN、電200度、勞動(dòng)日300個(gè)，試問(wèn)A、B各生產(chǎn)多少桶時(shí)利潤(rùn)最大？列出其教學(xué)模型，并說(shuō)明屬于何種數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題?10 .某廠生產(chǎn)兩種機(jī)器，兩種產(chǎn)品生產(chǎn)每臺(tái)所需鋼材分別為2噸和3噸，所需工時(shí)數(shù)分別為4千小時(shí)和8千小時(shí)，而產(chǎn)值分別為4萬(wàn)元和6萬(wàn)元。如果每月工廠能獲得的原材料為100噸，總工時(shí)數(shù)為120千小時(shí)。現(xiàn)應(yīng)如何安排兩種機(jī)器的月產(chǎn)臺(tái)數(shù)，才能使月產(chǎn)值最高。試寫(xiě)出這一優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。11 .要將10米長(zhǎng)的鋼管截成3米和4米長(zhǎng)

5、的各100根，要求設(shè)計(jì)出用料最省的下料方法。試寫(xiě)出其數(shù)學(xué)模型。12 .設(shè)計(jì)一個(gè)二級(jí)展開(kāi)式漸開(kāi)線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪減速器，已知總傳動(dòng)比i=20,高速級(jí)齒輪模數(shù)mi,2=,低速級(jí)齒輪模數(shù)m3,4=3mm，要求減速器高速軸與低速軸間中心距a最小，試建立其優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并指出屬于哪一類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題。13 .設(shè)計(jì)一個(gè)展開(kāi)式二級(jí)圓柱齒輪減速器，要求其高、低速軸間的中心距最小。已知總傳動(dòng)比i=iiXi2=4,齒輪齒數(shù)Z1=Z3,模數(shù)均為，試建立其數(shù)學(xué)模型，并說(shuō)明屬于何種數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題。14 .自行提出一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題，并建立其數(shù)學(xué)模型。15 .如圖2-13所示，已知跨距為1、截面為矩形的簡(jiǎn)支架，其材料密度為p

6、,許用彎曲應(yīng)力為的,允許撓度為f,在梁的中點(diǎn)作用一集中載荷P,梁的截面寬度b不得小于bmin,現(xiàn)要求設(shè)計(jì)此梁，使其質(zhì)量最輕.試寫(xiě)出其優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。16 .矩形截面簡(jiǎn)支梁，在跨距1的全部長(zhǎng)度內(nèi)受到均布載荷q,其材料密度為p,許用彎曲應(yīng)力為的。要求梁的寬度不小于bmin,最大撓度不大于ao試寫(xiě)出此梁重量最輕優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。17 .有一圓形等截面的銷(xiāo)軸，一端固定在機(jī)架上，另一端作用著集中載荷P和扭矩M,其簡(jiǎn)化模型如圖2-14所示。由于結(jié)構(gòu)的需要，軸的長(zhǎng)度1不得小于1mino已知銷(xiāo)軸材料的許用彎曲應(yīng)力附和許用扭剪應(yīng)力上允許撓度為f;設(shè)計(jì)材料的密度為P和彈性模量為E。現(xiàn)要求設(shè)計(jì)這根銷(xiāo)軸，在滿(mǎn)足使

7、用要求下使其質(zhì)量為最輕，試寫(xiě)出其優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。18 .試按質(zhì)量最輕的原則選擇平均半徑R和壁厚t,設(shè)計(jì)圖2-25所示的薄壁圓柱形容器，要求容積不小于，容器內(nèi)壓力p為，切向應(yīng)力(e不超過(guò)210Mpa,應(yīng)變量不超過(guò)。要求：(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型；(2)用圖解法求出最優(yōu)解。19 .三桿懸掛結(jié)構(gòu)(圖1-5)的材料已經(jīng)選定，其比重為p,彈性卞K量為E,許用拉應(yīng)力為小此結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)載荷為2p。試寫(xiě)出其重量最輕優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。20 .平面桿J架(圖1-6)由鋼管組成，承受載荷2p。鋼管的壁厚為t,桁架的跨度為2B。鋼管的直徑d和桁架高度H可以選擇。桁架應(yīng)滿(mǎn)足強(qiáng)度和剛度的要求。試寫(xiě)出其重量最輕優(yōu)化設(shè)

8、計(jì)的數(shù)學(xué)模型。21 .當(dāng)某試驗(yàn)參數(shù)a為1,2,3,4,5時(shí)，其對(duì)應(yīng)結(jié)果f(a)為3,5,4,2,1。試用一個(gè)二項(xiàng)式p(a尸a2x1+ax2+x3,去逼近f(a),求不，x2,x3為多大時(shí)，使得當(dāng)a=2,3,4,5時(shí)各點(diǎn)誤差平方和為最小，且要求a=1時(shí)，p(a)=f(a)。試寫(xiě)出該問(wèn)題的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。22 .己知兩個(gè)物理量x和y之間的依賴(lài)關(guān)系為其中a1a5為待定參數(shù)。為了確定這些參數(shù)的值，對(duì)x和y測(cè)得m個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)：(xi,y1)，(x2,y2),，(xm,ym)。試將確定參數(shù)的問(wèn)題表示成最優(yōu)化問(wèn)題。23 .有一個(gè)初始的設(shè)計(jì)電路，內(nèi)有m個(gè)可調(diào)整的電阻。如圖1-4所示。要求的響應(yīng)是電路內(nèi)m個(gè)節(jié)點(diǎn)電

9、壓為給定的一組數(shù)，即V1=Vd1,V2=Vd2,，Vn=VDn,而實(shí)際的響應(yīng)里每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓都依賴(lài)于這m個(gè)可調(diào)的電阻，示為Vi=Ui(R1,R2,Rm),i=1n試建立優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。24 .某現(xiàn)象的理論公式為：F(t)Xx2ex3t。透過(guò)實(shí)驗(yàn)已測(cè)得m個(gè)F(t)對(duì)應(yīng)于t的值。要求確定xi、x2和x3三個(gè)參數(shù)，其中x3>0,使理論公式與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差平方和為最小。試寫(xiě)出這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。25 .熱敏電阻R=x1exptx2，今測(cè)得溫度t與R的15組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。要求確定參數(shù)Xi、x2和x3使電阻R的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的均方差最小。試建立其數(shù)學(xué)模型。26 .已知一圓形截面懸臂梁，在其懸臂端作用一

10、集中載荷P和一扭矩M,要求懸伸長(zhǎng)度L=ab,截面直徑d=d0d1o問(wèn)在滿(mǎn)足強(qiáng)度和剛度要求的條件下使所需材料最少，應(yīng)如何建立該優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型？并示出。27 .試畫(huà)出下列約束條件下，x=xix2T的可行域：(1)g1(x)=X12+(X2-1)2-1<0g2(x)=(Xl-1)2+X22-1<0g3(x)=X1+X2-1<0(2)g1(x)=2X1+X2-6<0g2(x)=-Xl<0g3(x)=-X2<0g4(x)=X12+X22-16<028 .試畫(huà)出下列約束條件下X=xi,X2t的可行域，并說(shuō)明哪個(gè)是不起作用的約束。2(1)g1(x)=-X1+

11、X2>0g2(x)=Xl-X2+3>0g3(x)=-X1-X2+8>0(2)g1(x)=X1+X2/2-3>0g2(x)=Xl>0g3(x)=X2>0h(x)=-X12-X22+16>029 .已知約束條件為g1(x)=-X+X2-3>0g2(x)=-X12-X22+9>0試問(wèn)Xi=2,-2T,X2=3,3T,X3=-3,0T,X4=-1,1T等四點(diǎn)中有幾個(gè)可行點(diǎn)？并寫(xiě)出可行點(diǎn)。30 .畫(huà)出滿(mǎn)足下列約束的可行域。g1(X)=48-3X1-2X20g2(X)=18-Xl-X2>0g3(X)=Xl>0g4(X)=X2>031

12、.試將優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)等值線和約束邊界曲線勾畫(huà)出來(lái)，并回答下列問(wèn)題：(a)X=1,1T是不是可行點(diǎn)？(b)X=5/2,1/2T是不是可行點(diǎn)？可行域D是否為凸集，用陰影線描繪出可行域的范圍。32 .已知某約束優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為(1)該問(wèn)題是線性規(guī)劃問(wèn)題還是非線性規(guī)劃問(wèn)題？按一定比例畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)F(X)的值分別等于1,2,3時(shí)的三條等值錢(qián)，并在圖上劃出可行域。(3)在圖上確定無(wú)約束最優(yōu)解和約束最優(yōu)解。(4)若在該問(wèn)題中又加入等式約束h(X)=X1-X2=0，其約束最優(yōu)解X*、F(X*)又為多少?33 .畫(huà)出下列目標(biāo)函數(shù)的等值線，并指出函數(shù)值為正和負(fù)的區(qū)域；它有沒(méi)有極小值點(diǎn)？1)F(X1,X2)

13、=X1X2；2)F(X1,X2)=X12-X22；3)F(X1,X2)=X12+3X1X2+4X22+634 .用圖解法求解下列優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)點(diǎn)。minF(X)(X13)2(X23)21)s.t.2X1X20;X1,X20minF(X)(X12)2(X22)22)s.t.X12X24;X1,X20X21 X1, X2 022minF(X)(X13)2(X23)2s.t.X1/2X24;3X1X215X135) 如圖所示，設(shè)有一箱形蓋板，已知長(zhǎng)度l=600cm，寬度b=60cm，側(cè)板厚度ts=，翼板厚度為tf(cm)，高度為h(cm),承受最大的單位載荷q=10000N/cm,蓋板的許用彎曲應(yīng)力

14、d=70MPa,許用剪切應(yīng)力產(chǎn)45MPa,單位長(zhǎng)度允許撓度巧=,彈性模量E=7X104MPa,泊松比(=,要求在滿(mǎn)足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性等條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)質(zhì)量最小的結(jié)構(gòu)方案。5-17搪瓷廠要生產(chǎn)一種容積為785cm3的圓柱形茶杯，試用拉格朗日乘子法設(shè)計(jì)茶杯的尺寸使所用的原材料最省。1. 設(shè)計(jì)一曲柄搖桿機(jī)構(gòu)(見(jiàn)圖7-16)，已知：桿1的長(zhǎng)度l1=1，桿4的長(zhǎng)度l4=5(均為相對(duì)長(zhǎng)度)。要求曲柄由4。轉(zhuǎn)到4。十90。時(shí)，搖桿的輸出角實(shí)現(xiàn)如下給定的函數(shù)關(guān)免Vy,十方(440),式中4。和貝。分別為對(duì)應(yīng)于搖桿在右極限位置時(shí)曲柄和搖桿的位置角.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小傳動(dòng)角不小于45。，即7m,.>7=45

15、c試建立上述問(wèn)題的數(shù)學(xué)模利，并選擇優(yōu)化方法，有條件的同學(xué)可2. =4.1286,z:=2.3325)。2 .如圖為一批量生產(chǎn)的壓力容器，其結(jié)構(gòu)方案和有關(guān)尺寸已定。內(nèi)部氣壓為p=,容器內(nèi)徑A=120mm,安裝螺栓的中心圓直徑D=200mm，壁厚E=H=20mm，用襯墊密封，為保證拆裝時(shí)具有足夠的扳手空間，螺栓間的周向間隔不應(yīng)小于5d(d為螺栓直徑)，同時(shí)為保證螺栓間的密封壓力均勻，不致有局部漏氣，螺栓間的周向間距不應(yīng)大于10d。螺栓樹(shù)料選用35號(hào)鋼，長(zhǎng)度為50mm，型式為六角頭半精制螺栓，其單價(jià)見(jiàn)下表：要求合理地選擇緊固螺栓的直徑d和螺栓的數(shù)量n,使壓力容器的螺栓總成本最低。試建立上述優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)

16、題的數(shù)學(xué)模型，并選擇優(yōu)化方法，有條件的同學(xué)可上機(jī)計(jì)算。(答案為d=25，n=3)。3 .設(shè)有一重量P=10000N的物體懸掛在兩根鋼絲繩上，如圖7-18所示。已知鋼絲繩長(zhǎng)l1=，l2=，許用應(yīng)力d=100Mpa,彈性模量E=2X105MPa。為保證此裝置正常工作，除鋼絲繩的工作應(yīng)力不應(yīng)大于許用應(yīng)力外，還規(guī)定懸掛點(diǎn)的鉛垂位移不應(yīng)越過(guò)f4=5mm，現(xiàn)在要求得出鋼絲繩的橫截而積A1和A2，使承受該載荷的結(jié)構(gòu)重量為最輕。試建立上述優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并選擇優(yōu)化方法，有條件的同學(xué)可上機(jī)計(jì)算。(答案為Al=，A2=15.如圖所示的二級(jí)斜齒圓柱齒輪減速器，高速軸輸入功率Ni=,高速軸轉(zhuǎn)速ni=1450r/min，總傳動(dòng)比i=,齒輪的齒寬系數(shù)產(chǎn)；大齒輪材料為45鋼正火HBS=18720