1、應用數學MATHEMATICAAPPLICATA2021,34(4):847-854變指數二階差分系統的非平凡周期解張申貴(西北民族大學數學與計算機科學學院，甘肅蘭州730030)摘要：該文研究一類變指數二階差分系統周期解的存在性.當非線性項超線性增長時，運用臨界點理論中的環繞定理獲得了非平凡周期解存在的充分條件.關鍵詞：周期解;離散p(k)-Laplace算子；變指數差分系統;基爾霍夫問題;臨界點理論中圖分類號：0175.12AMS(2OOO)主題分類：34A34；34心3文獻標識碼：A文章編號：1001-9847(2021)04-0847-081.引言變指數的非線性問題是當今的一個熱點的研

2、究課題，此類模型可以刻畫“逐點異性"物理現象.在研究非線性彈性力學的過程中，Zhikov在文1中研究了具有變指數增K條件的積分問題.在文2中，Ruzicka討論了變指數函數空間在電流變學中的應用，并建立了刻畫電磁場與流體的相互作用模型.在文3中，作者研究了一類帶有變指數微分算子的數學模型，應用此模型研究了圖像恢復問題,此類模型可以更好地去掉邊界上的噪聲.在信息科學、金融學、人工智能及自動化理論等學科中都會涉及到大量的差分方程模型4映界點理論是甘錢性泛南分析的爪斐分支，許多臨殊.點理論的分析力讓己成為州咒只有變分飴構的。子方程可郵性的仃故工只，知概小概大方法，卜降流不受柴站合象調送代的

3、力法，穢動T【砌.，Nehari潦形力法和折標理論答.學砒舊開舶姑叫臨界點理論討論始分力程邊的存在性5-16.意大利數學家Anibrosetti和美國數學家Rabinowitz給出了著名的超線性條件(AR),即設存在>2,L>0,使得O<蝦(k,x)<(VF(k,x),x),對所有居Z1,T和xERN,|x|2L成立，其中VF(,x)=VF(,x)=.Ox】dx2dxn特別當(AR)超線性條件成立時，文6-7得到了差分系統周期解的存在性定理.條件(AR)可以保證非線性項VF(k,x)關于變量x在無窮遠處是超線性的.條件(AR)被廣泛的用于微分方程邊值問題可解性的研究中，

4、但是很多超線性函數并不滿足條件(AR).設p(k):Z0,7T2,+8)滿足p(o)=P(T),及p=minp(k)wp+=maxp(k),kezo,TkeZo,T2020-09-13基金項目：國家自然科學基金(11401473);甘甫省自然科學基金資助(I7JR5RA284);中央高校基本科研業務費專項資助(31920190057)作者簡介：張申貴，男，漢族.甘肅人.副教授，研究方向：非線性泛函分析和偏微分分方程.其中Za,d:=Zna,h,a,heZ,a<b.記離散p(k)-Laplace算子為：p(a)x(k):=(|Ax(k)|心MAx(k),k£Z,其中Z表示整數集，

5、T為正整數,Ax(k)=x(k+1)-x(幻表示向前差分算子.離散p(k)-Laplace算子具有更強的非線性性質，如離散p(k)-Laplace算子是非齊次的.文1引討論了變指數差分系統<一(婦i)x(k-1)=VxF(k,x(k),GZl,T,x(o)-x(T+1)=Ax(o)-Ax(T)=o,T-周期解的存在性.當具有次線性非線性項和部分周期位勢時，利用臨界點理論中的廣義鞍點定理得到了此系統多重周期解存在的充分條件.文16建立了一類變指數差分系統至少一個或無窮多個同宿軌存在的充分條件.本文中，研究Kirchhoff型變指數二階差分系統MEx(k-1)=VxFk,x(«),

6、AceZ1,T,k=ix(o)-x(T+1)=Ax(o)-Ax(T)=0,T-周期解的存在性，其中M(s):o,+8)t(o,+8)為連續函數，為正整數.設對所有keZ,F：ZxRN-R關于x連續可微，且對所有xiRN,F關于k是T-周期的.()對比文5-16中的研究，問題(1.1)中的方程帶有非局部系數，即M:心"偵普V,這個系數依賴于運動的能量在定義區域內的平均值，此類問題常被稱為Kirchhoff型方程.基爾霍夫型方程可以刻畫物理學和生物學中出現的許多數學模型切在文5-16中研究的問題對應的能量泛函是本文中問題(1.1)對應的能量泛函p(k)=2或M(t)=1的特殊情形.本文將

7、利用變分原理和臨界點理論研究問題(1.1)多重周期解的存在性.具體計劃為將問題(1.1)的周期解轉化為定義在變指數離散Sobolev空間上一個泛函的臨界點，在一類不同于(AR)條件的超線性條件下，我們將利用臨界點理論中的環繞定理1冏得到問題(1.1)非平凡周期解存在的充分條件.2.準備知識設p(k):Zo,T->(1,+oo)滿足p(o)=p(T).記小+】W(k)=乂(幻:zo,T+1-RN'|x|以幻v+8.k=i定義2.仆5】具有范數定義2.2冒"+1),及XP(幻A-1*定義離散變指數Sobolev空間E=(xG/)|Ax(fc-1)GZx(o)Xxp(k)=i

8、nfA>ok=ii22>E=xeEx:=x(Zc)=o.對xGE,記llxll=M+llxll為丘的等價范數，茸苗或觀姬=歡)一晉P(k)'Tk=iE.易見,E和丘為有限維空間，且咬II=llxllp(jt),則E=RjV®K引理2.ii引記p=minp(k),p+=maxp(k),對于文E亙和x£E,有kGfo.Tkeo,Tr(i) llxllv1=|文|P式:|Ax(k-i)F(Dw|&|p；K=ln-區p(Ac-l)+(ii) llxll>1=HxTI'w|Ax(k-1)|llx|p;k=iTVi(iii) llxll=1=&

9、#39;|Ax(k-i)|Pd)=i.k=i引理2.2演1對于xGE,存在常數C。>O,有IIXIR：=max|x(k)|wCollxll.A;GOf7"+l引理2.3冏設E為Banach空間，令E=E®&,dim&<+8.設中eC】(E,R)滿足以下條件：(i) 設$>o,Bg：=u6E|u|v5有Ao:=sup<P(x)<Bo:=sup0(x);xeEindBf；xeEz(ii) 若對任何點列(XnUE,當72+8時，有0(X)->C,Bo<C<+8,(14-IIX|)|0'(Xn)|->O,

10、則可推得X“有收斂子列.則泛函勿至少有1個非平凡臨界點.3-主要結果在空間E上定義能量泛耍:EtR如下：0(x)=曰空性y+在空間E上定義能量泛耍:EtR如下：0(x)=曰空性y+其中k=i.7F(k,x(k),VxGE,k=i則連續可微，且(計3攻=-51些攵ZP(k-1)Ss£(s):=M(f)dtoS(|Ax(k-i)|P(D-2Ax(k-i),g(k-1)k=iX+(V(k,x(k),g(k),Vx,yEE.k=i則x6E是問題(1.1)的T-周期解等價于x是泛函的臨界點.假設以下條件成立：(Ml)設存在常數7”o>o,使得M(s)>mo,對所有seo,+8)成立

11、.(M2)設存在常數21,使得7/7&(s)2M(s)s,對所有seo,+8)成立.(F,)設存在單調遞減函數九6C(R+,R+),常數乙>O,使得(叩+人(|x|)F(k,x)<(VxF(k,x),x),對所有keZi,T和xeRN,|x|>乙成立，其中函數人滿足：(i) lims/?(s)=+8,Vs6R+;(ii) limH(s)=+oo,其中H(s)=exp,VsGR+.S+8L°(F)設k為正常數，使得liminf>k>o,對所有kGZi,T成立.(F：設limsupI竺絲I出匕地凹L：期僑宥k£Zi,T成立，其中m為條件(M

12、)中給出的3閔*閔"2“。1正常數'(F；)設F(k,x)>o,對所有k6Z1,T和x6RN成立.本文的主要結果如卜.:定理31設條件(MJ,(M2),(FO,(F2),(F3)和(F4)成立，則系統(1.1)至少有1個非平證記丘='x(k)6E滅,.=*_x(k)=0),E=RNe再則Tx=，H*)6RN,雙k):=x(k)xEE.步1證明泛函滿足引理2.3市條件(i).由條件(F3),存在兩個正常數。和p滿足<(3.1)(3.2)(3.1)(3.2)o<p<£<minc,使得使得02p+TC&F(k,x(k)III+

13、ehr(k)p+,2p+TC&對所有keZo,T和xGRN,|x|wp成立.令5:=p/Co,則6<1.若llxll=8,有|x(k)|<llxllco<Collxll=p.T+F(k,乏(k)k=iP(kT)由條件(Ml)和式(3.2/利用引理2.1和2.2,對*6瓦監|=SV1,有響=項*(_)件k=if儂2心)M(t)dt+)Ek=iCm+£0J也心(g明Dw_LM(t)dt+2d+TCpc)0(廠)嚴*10mo/<Pni0k=iniQpmo2p+nX£tc0iixiio.=+0TCff+ellxllp+=-器+TC8、由式(3.2),

14、可得0<£<mo,則有A:=洲腕雙x)<另一方面,由條件隅GRN,|饑=|圳<&,有(g)='r(k,g)2O.k=i這表明OWBo：=sup0(x).xeR*v步2證明泛函勿滿足引理2.3中條件(ii).設序列以uE,當“T+8|時，有0(Xn)tC,BOC<+8,(1+|X“|)|敏(Xn)|O,則存在常數G>o,使得(3.3)(3.3)(3.4)(3.5)|0(X)|<Ci,(1+|Xnll)H0，(Xn)|<Ci,(3-6)首先證明乂曲在E有界.采用反證法，設X”在E中無界，則當77+8時，有llXnll+8.意

15、至虹督"(%由條件件)，有)X|Ax(k_1)1嵌T)1X|Ax(k_1)|P(J)X|Ax(k_1)|P(J)心點-】)W伊PS】)罕咐-】)時k=】P*1)k=】由條件(&),存在常數r>o,有F代x)nk|x|妒H(|x|)>o,(3.8)對所有A6Z1,T和|x|>r,xGRN成立.記K：=winf/i(|x|)>o,>maxLrEln:=keZl,T|xn(fc)|>max(L,r,及E2n：=keZi,T|x“(k)|<max(L,r).由式(3.8)及條件(FJ,可得WvxF(k,x),x“(k)-(7)p+K)F(k,

16、x)'*五=(Va-F(k,Xn(k),Xn(k)-(叩+K)F(k,x“(k)keEl,rX+(VxF(k,(比),Xn(fc)-(77P*+fQF(k,xn(k)滅國'(VxF(k,x“(k),x)-(叩+人(|x“|)F(k,x)keEm+(VxF(k,x),Xn(fc)-(7?p+K)F(k,x(fc)j'(VxF(k,x(k),Xn(k)-(叩+K)F(k,x"k)J>-C2,(3-9)keEtn其中C2=max(L,r.max|V.F(k,x(k)|k6Zi,T,x(k)wmax(L,r)<+(p+K)maxF(k,x(k)|kGZi,

17、T,|x(幻|<max(L,r).由式(3.7),(3.9)和條件(MJ,有c3>eg)|+叩+火(i+1101)1103)11E(x“)+福土澎<x“),由心Pd)g+對jPd)l7+"+QV(k，X伙),X舊)-F(k,x依)p(k_l)p(k_l)k=mo"|Ax(k-i)|P(4D-C4,k=iMV-古七*ISgiP門以«-】)葉)-Q7p+71P+K)11>rjp+rjp+K則有（3-10）(3.11)-i)|"(*t)<C5.k=i由引理2.1和式(3.io),對玄eE，有G+i)幸llXnll<Y阡T)+

18、1<C6.k=i結合式（3.6）和（3.11）,有lim坦=。.“T+8|Xn|（3-12）a)n=2-+X=(On+Wn,llXnlll|X|llXnll則S在E中有界，且|御|=1.因此,s在E中弱收斂于co,且仇在C（Zo,T;RN）中強收斂于利用式（3.12）,有lim|0n|=0.n-+oo則cd=7bGRM及co/=o.由式(3.6),可得limx,i(Zc)=+00."一+8由式(3.14),及limH(s)=+8,有S+8limH(|x,】(k)|)=+00.n4-00由式(3-15),條件(F)并注意到鈕=o,有脾承IIX.IIE乙/剖Jf崎|叩+lim|0n

19、|=0.n-+oo則cd=7bGRM及co/=o.由式(3.6),可得limx,i(Zc)=+00."一+8由式(3.14),及limH(s)=+8,有S+8limH(|x,】(k)|)=+00.n4-00由式(3-15),條件(F)并注意到鈕=o,有脾承IIX.IIE乙/剖Jf崎|叩+（3-13）（3-14）（3-15）M(s)77<份即s對所有s6s“+8)成立，其中2I,盼(s)=:M(t)dt.從而有IM(s)Js也£o)$丑(s>In=d<7<da=In-盼(Si)%sioSi£.fF(k,Xn(k叩*H(|X(k)|)一心段期由

20、(k)"p+H(|x“(k)|)"T(3>liminfK(onpH(|xn(/c)|)=+00."一+8k=i令SCO,利用條件(M2),有對所有sGSlf+8)成立.則有對所有SeS1,+8)成立.從而存在常數77?1>O和7772>o,使得id(S)<+7722,對所有S>0成立，其中7771:=福冒D,77M：=maxsco,sJ財(s).另一方面，若llXnll>1,利用新理2.1和若(3.17),有-0(Xn)+芝F(k,X&)=/"-1)件)Ar=i)=1<m,77xk=iP(k-1)J刀|5

21、(人-1)葉)+m2V(履，nil113II仲+m2fpC)TCN).+llx叫i”，對所有SeS1,+8)成立.從而存在常數77?1>O和7772>o,使得id(S)<+7722,對所有S>0成立，其中7771:=福冒D,77M：=maxsco,sJ財(s).另一方面，若llXnll>1,利用新理2.1和若(3.17),有-0(Xn)+芝F(k,X&)=/"-1)件)Ar=i)=1<m,77xk=iP(k-1)J刀|5(人-1)葉)+m2V(履，nil113II仲+m2fpC)TCN).+llx叫i”，-1)一>+m2即有一臨11&

22、quot;L=i"列|叩+從而,結合式(3.5),(3.6)和(3.12),可得hmsup_<o.nT+8上=忡+(3-17)(3-18)若I監IIw1,利用引理2.1和式(3.17),同理可證式(3.18)成立.易見，式(3.18)與(3.16)矛盾，故辦在E中有界.由于E為有限維空間，昂在E中有收斂子列，故泛函中滿足引理2.3中條件(ii).綜上，泛函中滿足引理2.3中所有條件，根據引理2.3,泛函中至少有1個非平凡臨界點，從而問題(1.1)至少有1個非平凡"周期解.注3.1令非局部系數肱(S)=1+泠取=1,7710=1,則函數M(S)滿足條件(M】)和(M2)

23、.比較(AR)條件,本文中的條件(F.),(F2)是一類不同的超線性條件.W(s)=i,p(k)=2,令F(k,x)=F(x)=|x2ln(i-hat),可得1F111T2(i+|x|)ln(i+|x|)LIxl(VF(k,x),x)=2+ln(i+M).(1+|x|)】n(i+|x|)則F滿足本文條件(FO,(F2),(F3)和(F4),但不滿足條件(AR),及文5-16中定理的條件.參考文獻：|11ZHIKOVV.OnsomevariationalproblemsfJ.RussianJournalofMathematicalPhysics,1997.5(1):105-116.2RUZICK

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