1、第6卷第3期2008年9月1672-6553/2008/06(3)43-6動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)JOURNALOFDYNAMICSANDCONTROLVol.6No.3Sep.2008變流速輸液管的周期和混沌振動(dòng)2008-04-21收到第1稿,2008-05-15收到修改稿.國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10732020,10425209)席紅敏張偉姚明輝(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京100022)摘要研究了參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下輸流管道的非線性振動(dòng)問題.只考慮管道變形的幾何非線性因素，利用Hamilton原理得到單側(cè)受簡(jiǎn)諧均布載荷作用下輸液管的非線性動(dòng)力學(xué)方程,對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)偏微分方程綜合運(yùn)用多尺度法和

2、Galerkin離散方法，得到了主參數(shù)共振-1/2亞諧共振和1：2內(nèi)共振情況下的平均方程.數(shù)值模擬結(jié)果表明參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下的懸臂輸液管呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)、多倍周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律.關(guān)鍵詞輸液管，變流速，非線性振動(dòng)，混沌運(yùn)動(dòng)引言輸液管道在眾多工業(yè)領(lǐng)域內(nèi)具有廣泛的應(yīng)用,關(guān)于液體流動(dòng)引起輸液管振動(dòng)的研究有著廣闊的工程應(yīng)用背景，它的研究成果可以直接應(yīng)用于航空航天工程、核工業(yè)、海底輸油管道工程、動(dòng)力工程、生物工程等領(lǐng)域.眾所周知，管道系統(tǒng)工作過程中不可避免的會(huì)由于擾動(dòng)而產(chǎn)生非定常流動(dòng)，從而引起管道振動(dòng)，而較長(zhǎng)輸液管道由于柔性的影響，易發(fā)生較大振幅的振動(dòng)，需要用非線性動(dòng)力學(xué)的理論來進(jìn)行研究，近

3、年來,輸液管系統(tǒng)非線性振動(dòng)問題已引起越來越多的關(guān)注，逐漸成為非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)1994年,Semeler等人研究了小阻尼對(duì)懸臂輸液管的動(dòng)力穩(wěn)定性的影響，并得出不同坐標(biāo)的相位角是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要原因.1996年，Semeler等人研究了流速具有諧波增量項(xiàng)的豎直懸臂輸液管參數(shù)激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).1997年，金基鐸等人對(duì)具有彈性約束的懸臂輸液管的顫振和混沌運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)流速較大、支承剛度很小時(shí)，管道可能發(fā)生顫振而動(dòng)態(tài)失穩(wěn)，混沌運(yùn)動(dòng)可能發(fā)生，混沌區(qū)域隨著剛度值增大而逐漸變窄.1998年,Paidoussis和Semler對(duì)自由端帶質(zhì)量塊的豎直懸臂輸液管的非線性動(dòng)力學(xué)特性分別進(jìn)行了理

4、論分析和實(shí)驗(yàn)研究.1998年，Paidoussis將其對(duì)各類輸液管道振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)問題的研究成果整理成文，出版了Fluid-StructureInteractions(SlenderStructuresandAxialFlow),VOL1).2000年,徐鑒和黃玉盈研究了自由端帶噴嘴的懸臂梁的動(dòng)力特性，得到分別與線性剛度、噴嘴參數(shù)和流速相關(guān)的三個(gè)臨界值.2002年，張立翔和黃文虎:將弱約束輸液管道非定常液流固耦合運(yùn)動(dòng)按波-流-振動(dòng)系統(tǒng)建模成由4個(gè)非線性微分方程組成的分析模型，研究系統(tǒng)在多種耦合狀態(tài)下具有的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定特性.2003年，金基鐸和鄒光勝進(jìn)一步研究了帶有彈性約束的變流速懸臂輸液管局部

5、分叉，并將分析結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較.2004年,Sarkar和Paidoussis14研究比較了自由端有質(zhì)量塊的豎直懸臂輸液管與懸臂梁的固有模態(tài).2004年，王琳和倪樵把微分求積法應(yīng)用到輸液管道的非線性動(dòng)力學(xué)分析.2006年，王琳等人口們研究了考慮內(nèi)流壓力時(shí)輸流曲管的混沌運(yùn)動(dòng).2007年，包日東和聞邦椿分析了兩端扭轉(zhuǎn)彈簧約束下簡(jiǎn)支輸流管的非線性動(dòng)力學(xué).研究了參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下的輸流管道的非線性振動(dòng)問題.僅考慮管道變形的幾何非線性因素，不考慮管道材料的本構(gòu)非線性因素,建立了單側(cè)受簡(jiǎn)諧均布載荷作用的脈動(dòng)流輸液管豎直懸臂梁的動(dòng)力學(xué)控制方程，綜合運(yùn)用多尺度法和Galerkin離散方法,

6、研究了該系統(tǒng)的周期和混沌振動(dòng).1懸臂輸液管的運(yùn)動(dòng)控制方程根據(jù)文獻(xiàn)，建立了脈動(dòng)流作用下，單側(cè)受簡(jiǎn)諧均布載荷作用的豎直懸臂輸液管道的非線性運(yùn)動(dòng)方程，具體模型如圖1所示.圖1豎直懸臂Euler-Bemoulli型輸液管模型Fig.1Fluid-converyingpipesmodelofhangingEuler-Bernoullicantilever在該模型中，我們作了如下假設(shè):管道內(nèi)為不可壓縮流體;管道平面運(yùn)動(dòng)大變形;忽略管道的旋轉(zhuǎn)和剪切;且對(duì)于懸臂梁模型，假設(shè)軸向無伸長(zhǎng).并引入沿中線S的曲線坐標(biāo)系(SJ),如圖2所示.圖2曲線坐標(biāo)系下的輸液管模型Fig.2Fluid-conveyingpipes

7、modelincurvilinearcoordinatesystem基于Hamilton原理，可以得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制方程如下(m+M)y+2MUy(1+尸)+(m+M)gy(1+yy,2)+/Af(/2(l+y2)+(4f£/-(m+Af)g)(L-s)(l+yy"2)+El(y'+4y/+y3+yy1)-y,jTf(+M)(J+yy)dsch+23f/zy+MU2yy)ds(1)+yy)ds+/=0其中,m為單位長(zhǎng)度的管道質(zhì)最,M為單位長(zhǎng)度流體質(zhì)量，為管內(nèi)流體的流速,E為管道材料的彈性模量，/為管道截面慣性矩,y為管道橫向位移,表示對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù),變量上方的“-”代

8、表對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù).令”十頃=千，T=(F.=(針3=咿%,0=志/=4將式(2)代入方程(1)中，為了書寫方便，去掉號(hào),得到無量綱方程如下rj+布+2血分(1+/)+7?'1+7?2)+(U-y)(l-f)(l+r)2)+yr)(1+土/)7?2+r)VTj"(泛+1?力)堅(jiān)+£(辱72+2際門7)+y2r)V+叮f(術(shù)+可分)+/=0(3)攝動(dòng)分析和Galerkin離散引入質(zhì)量、陀螺和線性剛度算子m=i,g=25=oxK=Ul-y(l_£)擊土+親(4)在該系統(tǒng)中，我們考慮管道內(nèi)為變流速流體V=Uo+-COS3,外載荷/是簡(jiǎn)諧載荷卜h+he。歡.為了進(jìn)行攝

9、動(dòng)分析,引入如下變換UiUo+eUlCosQj(5)忽略因引入U(xiǎn)Uq+sUiCo&flyt后所出現(xiàn)的四次及以上非線性項(xiàng)，并去掉無量綱的*號(hào)，于是方程(3)可以寫作My+Gi/+Krj=eF(rj)-eN(r)-leUyjB*cos。-2叨UqUcosQ-£7/Q"i北(1-QsinQz(6)其中F（t）-fo-/1cosier（7）N（tj）=2U。屈jrf2*tj"U%-1-f）+yy3+yv2+vvy+V3-/f（亍+7/3,）d列-嘰（2,0而+"初3”）堅(jiān)+吁（3+痂）堅(jiān)（8）對(duì)方程（6）運(yùn)用多尺度方法n幻進(jìn)行攝動(dòng)分析,設(shè)一致漸近解的形式

10、為v（lte）=S（7o,7|）+£0（To，i）（9）其中T。=£,4=或?qū)ⅲ?）式代入方程（6）中，比較方程兩端e次慕的系數(shù)，得到如枷況+G（Z）oS）+Krj°=0（10）湛：MDqT）+GDor）i+Km=-fQ-fcosQt-2幽繇（制祭（制xM-剝1）*（割-rVo/dVnX24god2rj0d3r)0lax4dx)aFaFn2aVo麝即（繇）'噲繇瞄+f（2"景矗或警景園-抓/（a%。現(xiàn)機(jī)axJo電T°axaxaRax淄n2月22"idTXC°1云孔2UoUiCosQt-QS匝（1-f）sinj?）t-

11、IMDqDtjq-GDxr）Q（11）引進(jìn)模態(tài)函數(shù)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行二階Galerkin離散，方程（10）的通解可用復(fù)數(shù)形式表示為W（L，E=0iGW）e5>+代3）42（7；）。*。+8（12）這里cc是前一項(xiàng)的復(fù)共粒.式（12）中蟲j=1,2）為懸臂梁的模態(tài)函數(shù),用它近似代替相同邊界條件下輸流管道的模態(tài)函數(shù)，則有甲哥）=cosh（/3產(chǎn)）-cos（明）-Msinh（/3產(chǎn)）-sin（B產(chǎn)）其中(13)(13)sinh(但)-sin(Q,)cosh(昌)-cos(角)=1.875,ft=4.694考慮1:2內(nèi)共振和主參數(shù)共振的情形S=Z2,+eg,刃2=2+e2,0=Q(14)這里/和仁是兩

12、個(gè)諧調(diào)參數(shù).將（13）和（14）式代入方程（11）,得到MD冰+GDoV+K771=八必血5）+八必。ss項(xiàng)/麗+傳以刷me-亦-函）-據(jù)必。血f+cc+NST（15）這里NST代表不產(chǎn)生長(zhǎng)期項(xiàng)的所有項(xiàng)，并且有Fj=if2AA2U0+2i/241I42|422t/0vn2+4匕42（3&m3ym43m5+m6）+Ai&M/橋叫-，雨8+rrh+/ml0）-?41機(jī)）（16a）f2=21220+4iZ241j412Aj|£/q'/p2+4；1。22（3牛幾3一暨4-3幾5+3/%）+AnA12421（t/on7-yng+n9+/n10）-2說1A2iM（p2-A

13、2iC<p2（166）當(dāng)非齊次方程（15）滿足可解性條件時(shí)，方程（15）有解.因此，可解性條件要求方程（15）的右端與其對(duì)應(yīng)的齊次伴隨方程的解正交，所以有f（r】（m+（加屁23；-嫵-卸;）-oi4g：）e*E）°&=o（17a）f（廠-乂廣必）啊&=0（176）令XI（Tl）=x1（7I）-詢2（a）e"g-S,&（a）="4）-均（a）LS-s（18）將（18）式代入方程（17）,經(jīng)過化簡(jiǎn)，并分離實(shí)部和虛部，可以得到系統(tǒng)的平均方程如下，I=S屈"1-磨I-b”2+,0佃的（蚌+K）+20匝"i（x；+

14、3;）-（3U*p3-yp4-3p5+j/?P6）%2（好+妨）-（oP7-yPt+P9+醇2）%2（妨+*J）（19a）*2=-U"2-廣2一UoSp*+Uo'/Px2（%l+%；）+2U。vT?P2%2（%；+，：）+a（3如-7Pa-3ps+/p6）x,（x?+*；）+（U：P?-yp8+p9+OlplQ）xl（xl+£）（196）與=-/juc3-a2x4+o®如3（x：+M）+4Uo函。2以奸+姥）-（3媚-yq4-q5+3貝6）%4（妨+/）-（豚7-yg8+%+9io）«4（«5+»；）（I%）*4=-/i-妙4

15、+s%3-Uo®Oq栗4（蠟+4）-400Jpflq2xx+%：）+（3l/$g3-yq4-9s+3。樞）%3（%；+必）+（U加7-Yh+qg+R9io）x3（xi+射）（19d）3數(shù)值模擬利用四階Runge-Kutta法對(duì)所得到的平均方程(19)進(jìn)行數(shù)值模擬.通過相圖和波形圖可以反映系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為.系統(tǒng)所選取的參數(shù)和初值分別為：匕=30mm=7850kg/m3,p2=1000kg/m3,E=200xl09,</=15xl0_3m,5=2.5xlO_3m,/)=lN/m,=277x50,(7!=12.1,(r2=9.8,/x=0.02,xl0=0.0233=0.075

16、3撰為=0.0325-O.O663,t/o：L為5：1.只改變管內(nèi)流速，當(dāng)管內(nèi)流速為17m/8時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)為單倍周期運(yùn)動(dòng)，如圖3所示,其中圖3(a)為3叫)平面相圖，圖3(b)為(行上)平面相圖，圖3(c)為三維相圖，圖3(d)和圖3(e)為波形圖，圖3(f)為頻譜圖.圖4表明當(dāng)管內(nèi)流速為27.5m/s時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生多倍周期運(yùn)動(dòng).當(dāng)流速增大到30m/s時(shí)，系統(tǒng)由多倍周期運(yùn)動(dòng)演化為混沌運(yùn)動(dòng)，如圖5所示.圖4多倍周期運(yùn)動(dòng)Fig.4Periodic-nmotionofthefluid-conveyingpipe圖5混沌運(yùn)動(dòng)Fig.5Chaoticmotionofthefluid-conveyingp

17、ipe當(dāng)流速增大至31.5m/s時(shí),系統(tǒng)又回到多倍周期運(yùn)動(dòng)，如圖6所示.圖6多倍周期運(yùn)動(dòng)Fig,6Periodic-nmotionofthefluid-conveyingpipe圖7表明流速增加到34m/s時(shí),系統(tǒng)又由多倍周期運(yùn)動(dòng)演化為混沌運(yùn)動(dòng).從前面的數(shù)值結(jié)果和圖8可以看出，在圖3至圖7中，所取流速值情況下系統(tǒng)的響應(yīng)與圖8所示的分叉圖可以很好的吻合.根據(jù)上述數(shù)值模擬結(jié)果，并結(jié)合圖8所示以流速U。為控制參數(shù)的分叉圖(作圖時(shí)選取x,=0時(shí)X,的對(duì)應(yīng)值)，可以發(fā)現(xiàn),隨著管道流速的增加，系統(tǒng)通過倍周期分叉進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域，之后系統(tǒng)出現(xiàn)一段周期窗口，然后又進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域.圖7混沌運(yùn)動(dòng)Fig.7Cha

18、oticmotionofthefluid-conveyingpipe圖8分叉圖Fig.8Bifurcationdiagramofthefluid-conveyingpipe4結(jié)論本文在考慮管道變形的幾何非線性情況下，建立了豎直懸臂輸液管道在脈動(dòng)流和外激勵(lì)共同作用下的非線性動(dòng)力學(xué)控制方程，綜合應(yīng)用多尺度法和Galerkin離散方法對(duì)系統(tǒng)在1：2內(nèi)共振和主參數(shù)共振情況下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了分析.數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)共同作用下的懸臂輸液管道存在周期和混沌運(yùn)動(dòng).當(dāng)系統(tǒng)其它參數(shù)固定不變,只改變管內(nèi)流體速度及管內(nèi)流體脈動(dòng)項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出由周期運(yùn)動(dòng)一多倍周期運(yùn)動(dòng)-混沌運(yùn)動(dòng)多倍周期運(yùn)動(dòng)周期運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律

19、.可以通過改變流速及脈動(dòng)項(xiàng)來控制輸液管道的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，使得系統(tǒng)從不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)入穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài).該研究為實(shí)際工程提供了理論依據(jù).參考文獻(xiàn)1 CSemler.GXLiandMPPaidoussis.Thenon-linearequationsofmotionofpipesconveyingfluid.Journal(/Soundand肋湖1994,5：577-599M.P.PaidoussisandG.X.Li.Pipesconveyingfluid:amodeldynamicalproblem.JournalofFluidsandStructures,1993,7：1372043徐鑒,楊

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