1、.萬有引力理論的成就【學習目的】1理解萬有引力定律在天文學上的重要應用2會用萬有引力定律計算天體的質量3理解并運用萬有引力定律處理天體問題的思路、方法【要點梳理】要點一、萬有引力與重力要點詮釋：地球對物體的引力是物體受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力這是因為地球在不停地自轉，地球上的一切物體都隨著地球的自轉而繞地軸做勻速圓周運動，這就需要向心力這個向心力的方向是垂直指向地軸的，它的大小是，式中的r是物體與地軸的間隔 ，是地球自轉的角速度這個向心力來自哪里?只能來自地球對物體的引力F，它是引力F的一個分力，如下圖，引力F的另一個分力才是物體的重力mg 在不同緯度的地方，物體做勻速圓周運動

2、的角速度一樣，而圓周的半徑r不同，這個半徑在赤道處最大，在兩極最小等于零緯度為處的物體隨地球自轉所需的向心力R為地球半徑由公式可見，隨著緯度的升高，向心力將減小，作為引力的另一個分量，重力那么隨緯度的升高而增大，在兩極處rRcos90°0，所以在兩極，引力等于重力在赤道上，物體的重力、引力和向心力在一條直線上，方向一樣，此時重力等于引力與向心力之差，即此時重力最小從圖中還可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北兩極和赤道上重力mg才指向地心 1重力是由萬有引力產生的，重力實際上是萬有引力的一個分力，物體的重力隨其緯度的增大而增大，并且除兩極和赤道上外，重力并不指向地心 2物體隨地

3、球自轉所需的向心力一般很小，物體的重力隨緯度的變化很小，因此在一般粗略計算中，可以認為物體所受的重力等于物體所受地球的萬有引力，即要點二、天體質量計算的幾種方法要點詮釋： 萬有引力定律從動力學角度解決了天體運動問題天體運動遵循與地面上物體一樣的動力學規律行星或衛星的運動可視為勻速圓周運動，由恒星對其行星或行星對其衛星的萬有引力提供向心力 運用萬有引力定律，不僅可以計算太陽的質量，還可以計算其他天體的質量下面以地球質量的計算為例，介紹幾種計算天體質量的方法 1假設月球繞地球做勻速圓周運動的周期為T，半徑為r，根據萬有引力等于向心力，即，可求得地球的質量 2假設月球繞地球做勻速圓周運動的半徑r和月

4、球運行的線速度v，由于地球對月球的引力等于月球做勻速圓周運動的向心力，得 可得地球的質量為 3假設月球運行的線速度v和運行周期T，由于地球對月球的引力等于月球做勻速圓周運動的向心力，得 以上兩式消去r，解得 4假設地球的半徑R和地球外表的重力加速度g，根據物體的重力近似等于地球對物體的引力，得 ，解得地球的質量為要點三、天體密度的計算要點詮釋： 1利用天體外表的重力加速度來求天體的自身密度 由和， 得 其中g為天體外表的重力加速度，R為天體半徑 2利用天體的衛星來求天體的密度 設衛星繞天體運動的軌道半徑為r，周期為T，天體半徑為R，那么可列出方程： 得 當天體的衛星環繞天體外表運動時，其軌道半

5、徑r等于天體半徑R，那么天體密度為要點四、發現未知天體要點詮釋： 發現海王星 天王星的“出軌現象，激發了法國青年天文學家勒維耶和英國劍橋大學學生亞當斯的濃重興趣勒維耶經常到巴黎天文臺去查閱天王星觀察資料，并把這些資料跟自己理論計算的結果比照亞當斯也不斷到劍橋大學天文臺去，他還得到一份英國皇家格林尼治天文臺的資料，這使他的理論計算能及時跟觀察資料比較他們兩人根據自己的計算結果，各自獨立地得出結論：在天王星的附近，還有一顆新的行星！ 1846年9月23日晚，德國的伽勒在勒維耶預言的位置附近發現了這顆行星，人們稱其為“筆尖下發現的行星這就是海王星 憑借著萬有引力定律，通過計算，在筆尖下發現了新的天體

6、，這充分地顯示了科學理論的威力要點五、解決天體運動問題的根本思路要點詮釋： 1將行星繞恒星的運動、衛星繞行星的運動均視為勻速圓周運動，所需向心力是由萬有引力提供的根據圓周運動的知識和牛頓第二定律列式求解有關天體運動的一些物理量，有如下關系： 假設環繞中心天體運動的行星或衛星繞恒星或行星做勻速圓周運動的周期為T，半徑為r，根據萬有引力提供向心力可知：，得恒星或行星的質量 此種方法只能求解中心天體的質量，而不能求出做圓周運動的行星或衛星的質量 2假設星球外表的重力加速度g和星球的半徑，忽略星球自轉的影響，那么星球對物體的萬有引力等于物體的重力，有，所以 其中是在有關計算中常用到的一個交換關系，被稱

7、為“黃金代換【典型例題】類型一、萬有引力的計算例1、地球的質量大約是M6.0×1024kg，地球的平均半徑為R6370 km，地球外表的重力加速度g取9.8 m/s2求： 1地球外表一質量為10 kg的物體受到的萬有引力； 2該物體受到的重力； 3比較說明為什么通常情況下重力可以認為等于萬有引力【思路點撥】明白重力與萬有引力的關系是解決問題的關鍵。【解析】1由萬有引力定律得：，代入數據得：F98.6 N 2該物體受到的重力為mg98N 3比較結果萬有引力比重力大原因是在地球外表上的物體所受萬有引力可分解為重力和隨地球自轉所需的向心力但計算結果說明物體隨地球自轉所需向心力遠小于它受到的

8、萬有引力，所以通常情況下可認為重力等于萬有引力 【點評】重力是由萬有引力產生的，它與萬有引力能不能視為相等，關鍵要看題目的條件舉一反三【變式】要使可視為質點的兩物體間萬有引力減小到原來的，可采取的方法是 A兩物體間間隔 保持不變，兩物體的質量均減為原來的 B兩物體間間隔 保持不變，僅一個物體的質量減為原來的 C兩物體質量均不變，兩物體間的間隔 變為原來的 D兩物體質量均不變，兩物體間的間隔 變為原來的2倍【答案】B【解析】根據知，兩物體間間隔 保持不變，兩物體的質量均減為原來的，那么萬有引力減為原來的，故A錯誤；兩物體間間隔 保持不變，僅一個物體的質量減為原來的 ，那么萬有引力減為原來的，故B

9、正確；兩物體質量均不變，兩物體間的間隔 變為原來的 ，那么萬有引力變為原來的4倍，故C錯誤；兩物體質量均不變，兩物體間的間隔 變為原來的2倍，那么那么萬有引力減為原來的，故D錯誤。類型二、補償法計算萬有引力例2、如下圖，一個質量為M的勻質實心球，半徑為R假如從球上挖去一個直徑為R的球，放在相距為d的地方求以下兩種情況下，兩球之間的引力分別是多大? 1從球的正中心挖去； 2從與球面相切處挖去； 并指出在什么條件下，兩種計算結果一樣?【思路點撥】所求萬有引力可由均質實心球與m間的萬有引力減去所挖去的小球與m間萬有引力求得。【解析】根據勻質球的質量與其半徑的關系，兩部分的質量分別為 1如圖甲所示，根

10、據萬有引力定律，這時兩球之間的引力為 2如圖乙所示，在這種情況下，不能直接用萬有引力公式計算為此，可利用等效割補法，先將M轉化為理想模型，即用同樣的材料將其填補為實心球M，這時，兩者之間的引力為 由于填補空心球而增加的引力為 所以，這時M與m之間的引力為 當時，M可以視為質點這時，引力變為即這時兩種計算結果一樣 【點評】萬有引力定律表達式只適用于計算質點間變力，在高中階段常見的質點模型是質量分布均勻的球體，因此利用“割補法構成質點模型，再利用萬有引力定律與力的合成知識可求“缺失球間的引力類型三、天體外表重力加速度問題例3、宇航員在地球外表以一定初速度豎直上拋一小球，經過時間t小球落回原處；假設

11、他在某星球外表以一樣的初速度豎直上拋同一小球，需經過時間5t小球落回原處取地球外表重力加速度g10m/s2，空氣阻力不計 1求該星球外表附近的重力加速度g； 2該星球的半徑與地球半徑之比:1:4，求該星球的質量與地球質量之比:【思路點撥】此題是平拋運動與萬有引力知識的綜合題目。【解析】1根據豎直上拋運動規律可知，地面上豎直上拋物體落回原地經歷的時間為：， 在該星球外表上豎直上拋的物體落回原地所用時間為： ，所以 2星球外表物體所受的重力等于其所受星球的萬有引力，那么有， 所以，可解得:1:80 【點評】此題主要考察學生的類比遷移才能、對物理過程的分析才能以及運用所學知識處理問題的理論應用才能把

12、豎直上拋運動的規律遷移到星球上運用舉一反三【變式1】假如地球外表的重力加速度為g，物體在距地面3倍的地球半徑時的重力加速度為g'。那么二者加速度之比是 。A1：91 B9：1 C1：16 D16：1【答案】D【解析】距地面的高度為3R，那么距地心為4R，根據萬有引力公式有：解上述方程得類型四、天體質量、密度的計算例5、1976年10月，劍橋大學研究生貝爾偶爾發現一個奇怪的放射電源，它每隔1.337s發出一個脈沖訊號貝爾和他的導師曾認為他們和外星人接上了頭，后來大家認識到，事情沒有這么浪漫，這類天體被定名為“脈沖星，“脈沖星的特點是脈沖周期短，且周期高度穩定，這意味著脈沖星一定進展準確的

13、周期運動，自轉就是一種很準確的周期運動 1蟹狀星云的中心星PSO53l是一顆脈沖星，其周期為0.331 s，PSO531的脈沖現象來自自轉，設阻止該星離心瓦解的力是萬有引力，試估算PSO531的最小密度 2假如PSO531的質量等于太陽的質量，該星的可能半徑最大是多少?太陽的質量是M2×1030 kg【思路點撥】此題中，脈沖星脈沖周期即為其自轉周期，星體上質點隨其高速自轉的向心力是萬有引力，星體不離散的條件是萬有引力大于或等于向心力，這是關鍵信息在此根底上可取星體外表一物體為研究對象，建立勻速圓周運動模型，列出方程，再與一些輔助方程聯立即可求解【解析】脈沖星周期即為自轉周期脈沖星高速

14、自轉不瓦解的臨界條件為：該星球外表的某物體m所受星體的萬有引力恰等于向心力 1設PSO531脈沖星的質量為M，半徑為R，最小密度為，體積為V， 那么 ， 又 ， 而 ， 解得 1.3×1012 kg/m3 2由 ， 得 7.16×105 m 【點評】對于信息題，不少學生解題時往往大致看一下題目后，覺得這種題從沒見過就喪失信心，自動放棄，不愿仔細閱讀、認真分析，或者在沒有明確題意的情況下，草率完成題目其實這類題完全是“大帽子嚇人帽子底下仍是同學們熟悉的老面孔解答信息題的正確方法是：仔細閱讀，明確題意，弄清原理，擅長提取題中的有用信息 舉一反三【變式1】一宇航員為了估測一星球的

15、質量，他在該星球的外表做自由落體實驗：讓小球在離地面h高處自由下落，他測出經時間t小球落地，又該星球的半徑為R，試估算該星球的質量。【答案】【變式2】設地球繞太陽做勻速圓周運動，半徑為R，速率為v，那么太陽的質量可用v、R和引力常量G表示為_太陽圍繞銀河系中心的運動可視為勻速圓周運動，其運動速率約為地球公轉速率的7倍，軌道半徑約為地球公轉軌道半徑的2×109倍為了粗略估算銀河系中恒星的數目，可認為銀河系中所有恒星的質量都集中在銀河系中心，且銀河系中恒星的平均質量約等于太陽的質量，那么銀河系中恒星的數目約為_ 【答案】 1011 【解析】地球圍繞太陽運動，而兩者間的萬有引力是其做勻速圓

16、廚運動的向心力，那么由，可得設太陽的運動速率為v，那么v7v軌道半徑r2×109 R，那么，所以，又因為，故個 類型五、雙星問題 例6、天文學家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統在銀河系中很普遍利用雙星系統中兩顆恒星的運動特征可推算出它們的總質量某雙星系統中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均為T，兩顆恒星之間的間隔 為r，試推算這個雙星系統的總質量引力常量為G【思路點撥】 雙星之間的作用力是兩星之間的萬有引力，要做穩定的勻速圓周運動，只有依靠萬有引力提供向心力，又因以兩者連線上某點為圓心，所以半徑之和不變，故運動過程中角速度不變

17、，再由萬有引力定律可以解得。【解析】設兩顆恒星的質量分別為m1、m2，做勻速圓周運動的半徑分別為r1、r2，角速度分別為1、2根據題意有 12 r1+r2r 根據萬有引力定律和牛頓第二定律，有 聯立式解得 根據角速度與周期的關系知 聯立式解得【點評】由于雙星做勻速圓周運動的角速度相等，其軌道半徑和線速度均與雙星的質量成反比舉一反三【變式1】神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律。天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發現了LMCX-3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成。兩星視為質點，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周

18、運動，它們之間的間隔 保持不變，如下圖。引力常量為G，由觀測可以得到可見星A的速率和運行周期T。1可見星A所受暗星B的引力可等效為位于O點處質量為的星體視為質點對它的引力，設A和B的質量分別為，試求用表示2求暗星B的質量與可見星A的速率、運行周期T、和質量之間的關系式。【解析】1設A、B的圓軌道半徑分別為，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度一樣，設其為。由牛頓運動定律，有，設A、B之間的間隔 為r,又，由上述各式得由萬有引力定律，有令 比較可得2由牛頓第二定律，有又可見星A的軌道半徑綜上可得【變式2】所謂“雙星，就是太空中有兩顆質量分別為M1和 M2的恒星，保持它們之間的間隔 不變，以它們連線上的某一位置為圓心，各自作勻速圓周運動, 如下圖不計其它星球對它們的作用力。那么 A它們運行的周期之比T1:T2M2:M1 B它們的回轉半徑之比r1:r2=M2:M1 C它們的線速度大小之比v