1、【實驗八】 微分方程【實驗目的】 通過實驗，學習在Mathematica系統下求微分方程的通解和數值解；畫出由微分方程通解所決定的積分曲線族；掌握在Mathematica系統下利用微分方程解決有關實際問題的方法.【實驗準備】一、微分方程的通解在Mathematica系統下利用命令求微分方程的通解、特解以及解微分方程組，其調用格式如下：命令意義求微分方程的通解.求微分方程的特解.求微分方程組的通解.求微分方程組的特解.注：(1)在上面命令中，由于是的函數，因此函數以完整的形式表示. (2)在使用前要用命令清除變量以前的定義.例1 求微分方程的通解，并畫出由通解決定的積分曲線族.解 (1)求微分方

2、程的通解：In1:= Out1:= (2)畫出積分曲線族：由于Out1所輸出的微分方程的通解含有獨立的常數，因此在畫積分曲線時，首先用命令作出在指定的范圍后所得微分方程的一組特解的圖形，然后利用 ()命令將生成這組圖形，并在同一坐標系下顯示.In2:= Out2:= In3:= Out3:= 注：在In3中c，-6，6，1表示c從-6到6每增加1取一個值.例2 求方程的通解，并畫出由通解決定的積分曲線族.解 In1:= Out1:= In2:= Out2:= In3:= Out3:= 例3 求方程滿足初始條件，的特解，并畫出由該特解所決定的積分曲線.解 In1:= Out1:= In2:= O

3、ut2:= 例4 求微分方程組 ，當，時的特解.解 In1:= Out1:= 二、微分方程的數值解雖然許多微分方程無法求得其通解，但是，只要微分方程式含有初值問題，且屬于常微分方程式，則可以用命令求得該微分方程的數值解.由于的輸出微分方程的數值解是，是數值解的定義區間.因此，我們可以根據函數查詢某一點的函數值. 命令的調用格式如下：命令意義 求微分方程的數值解.求微分方程組的數值解.選擇項命令意義表示數值解的精確度為.最大步數.最大步長.注：用求出數值解后可用下面命令畫出積分曲線：例5 在區間0, 10上求微分方程在處的數值解，精確到，并作出數值解的積分曲線. In1:= Out1:= In2

4、:= Out2:= In3:= Out3:= 【實驗問題】牛頓加熱與冷卻定律：一塊熱的物體，溫度下降的速度與其自身溫度同外界溫度的差值成正比；一塊冷的物體，溫度上升的速度與其自身溫度同外界溫度的差值成正比.問題：當一謀殺案發生后，尸體的溫度從原來的 開始變涼，假設兩個小時后尸體溫度變為，并且設周圍空氣溫度保持不變. 1.求自謀殺發生后，尸體溫度是如何作為(小時)的函數而變化的； 2.畫出溫度時間曲線； 3.尸體最終的溫度將如何；4.若尸體被發現時的溫度是，時間是下午4時，則謀殺案何時發生.模型建立：設尸體在時刻的溫度為，則溫度的變化速度為，由于熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導，從而使得

5、尸體是隨時間的增加而逐漸冷卻的，因此恒為負值.在初始時刻時，尸體的溫度是，并且周圍空氣溫度保持 不變.由牛頓冷卻定律：其中：是比例常數. 計算過程：(1)求In1:= Out1:= 將，代入，求出比例常數的數值解.In2:= Out2:= 因而得到 (2)作出溫度時間曲線圖In3:= ;In4:= Out4:= (3)考察100小時、1000小時、10000小時、后尸體的溫度In5:= Out5:= In6:= Out6:= In7:= Out7:= 結論：尸體的最終溫度為.(4)將溫度代入求時刻：In8:= Out8:= 謀殺案大約發生在發現尸體8.5小時以前，即在上午7:30左右.【實驗任務】一、求下列微分方程的通解.1.； 2.； 3. .二、求下列微分方程滿足初始條件的特解1.，；2. ，.三、放射性廢料的處理問題美國原子能委員會以往處理濃縮的放射性廢料的方法是：把這些廢料裝入密封的圓桶里，然后扔到水深為90多米的海底.生態學家和科學家們擔心圓桶下沉到海底時與海底碰撞而發生破裂，從而造成核污染. 原子能委員會認為這種說法是不可能的.為此工程師們進行了碰撞試驗，發現當圓桶下沉速度超過12.2m/s與海底碰撞時，圓桶就有可能發生破裂.為了避免圓桶被碰裂，需要計算圓桶沉到海底時的速度是多少？這時已知圓桶重量是