1、第一節(jié) 定積分概念與性質(zhì)教學(xué)目的：使學(xué)生了解定積分概念，掌握定積分的性質(zhì)。 一、定積分問題舉例 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形: 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上非負(fù)、連續(xù). 由直線x=a、x=b、y=0及曲線y=f (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱為曲邊. 求曲邊梯形的面積的近似值: 將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形, 每個(gè)小曲邊梯形都用一個(gè)等寬的小矩形代替, 每個(gè)小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積, 則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值. 具體方法是: 在區(qū)間a, b中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a=x0 x1 x2 xn-1 xn =b, 把a(bǔ), b分成n個(gè)小區(qū)間x0,

2、 x1, x1, x2, x2, x3, , xn-1, xn , 它們的長度依次為Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , , Dxn = xn -xn-1 . 經(jīng)過每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y 軸的直線段, 把曲邊梯形分成n個(gè)窄曲邊梯形. 在每個(gè)小區(qū)間xi-1, xi 上任取一點(diǎn)x i , 以xi-1, xi 為底、f (x i)為高的窄矩形近似替代第i個(gè)窄曲邊梯形(i=1, 2, , n) , 把這樣得到的n個(gè)窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值, 即Af (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+ + f (x n )Dxn. 求曲邊梯形的面積的精確值: 顯然, 分點(diǎn)越多、

3、每個(gè)小曲邊梯形越窄, 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯形面積A的精確值, 因此, 要求曲邊梯形面積A的精確值, 只需無限地增加分點(diǎn), 使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零. 記l=maxDx1, Dx2, , Dxn , 于是, 上述增加分點(diǎn), 使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零, 相當(dāng)于令l0. 所以曲邊梯形的面積為. 2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng), 已知速度v=v(t)是時(shí)間間隔T 1, T 2上t的連續(xù)函數(shù), 且v(t)0, 計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S . 求近似路程: 我們把時(shí)間間隔T 1, T 2分成n 個(gè)小的時(shí)間間隔Dti , 在每個(gè)小的時(shí)間間隔Dti內(nèi), 物體

4、運(yùn)動(dòng)看成是均速的, 其速度近似為物體在時(shí)間間隔Dti內(nèi)某點(diǎn)x i的速度v(t i), 物體在時(shí)間間隔Dti內(nèi) 運(yùn)動(dòng)的距離近似為DSi= v(t i) Dti . 把物體在每一小的時(shí)間間隔Dti內(nèi) 運(yùn)動(dòng)的距離加起來作為物體在時(shí)間間隔T 1 , T 2內(nèi)所經(jīng)過的路程S 的近似值. 具體做法是: 在時(shí)間間隔T 1 , T 2內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)T 1=t 0 t 1 t 2 t n-1 t n=T 2, 把T 1 , T 2分成n個(gè)小段t 0, t 1, t 1, t 2, , t n-1, t n , 各小段時(shí)間的長依次為Dt 1=t 1-t 0, Dt 2=t 2-t 1, , Dt n =t

5、n -t n-1. 相應(yīng)地, 在各段時(shí)間內(nèi)物體經(jīng)過的路程依次為DS 1, DS 2, , DS n. 在時(shí)間間隔t i-1, t i上任取一個(gè)時(shí)刻t i (t i-1t i t i), 以t i時(shí)刻的速度v(t i)來代替t i-1, t i上各個(gè)時(shí)刻的速度, 得到部分路程DS i的近似值, 即 DS i= v(t i) Dt i (i=1, 2, , n). 于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運(yùn)動(dòng)路程S 的近似值, 即; 求精確值: 記l = maxDt 1, Dt 2, , Dt n, 當(dāng)l0時(shí), 取上述和式的極限, 即得變速直線運(yùn)動(dòng)的路程. 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上

6、非負(fù)、連續(xù). 求直線x=a、x=b、y=0及曲線y=f (x)所圍成的曲邊梯形的面積. (1)用分點(diǎn)a=x0x1x2 xn-1xn =b把區(qū)間a, b分成n個(gè)小區(qū)間: x0, x1, x1, x2, x2, x3, , xn-1, xn , 記Dxi=xi-xi-1 (i=1, 2, , n). (2)任取x ixi-1, xi, 以xi-1, xi為底的小曲邊梯形的面積可近似為 (i=1, 2, , n); 所求曲邊梯形面積A的近似值為 . (3)記l=maxDx1, Dx2, , Dxn , 所以曲邊梯形面積的精確值為 . 設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng), 已知速度v=v(t)是時(shí)間間隔T 1, T 2

7、上t的連續(xù)函數(shù), 且v(t)0, 計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S . (1)用分點(diǎn)T1=t0t1t2 t n-1tn=T2把時(shí)間間隔T 1 , T 2分成n個(gè)小時(shí)間段: t0, t1, t1, t2, , tn-1, tn , 記Dti =ti-ti-1 (i=1, 2, , n). (2)任取titi-1, ti, 在時(shí)間段ti-1, ti內(nèi)物體所經(jīng)過的路程可近似為v(ti)Dti (i=1, 2, , n); 所求路程S 的近似值為 . (3)記l=maxDt1, Dt2, , Dtn, 所求路程的精確值為 . 二、定積分定義 拋開上述問題的具體意義, 抓住它們在數(shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與

8、特性加以概括, 就抽象出下述定積分的定義. 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在a, b上有界, 在a, b中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a =x0 x1 x2 xn-1 xn=b, 把區(qū)間a, b分成n個(gè)小區(qū)間x0, x1, x1, x2, , xn-1, xn , 各小段區(qū)間的長依次為Dx1=x1-x0, Dx2=x2-x1, , Dxn =xn -xn-1. 在每個(gè)小區(qū)間xi-1, xi上任取一個(gè)點(diǎn)x i (xi-1 x i xi), 作函數(shù)值f (x i)與小區(qū)間長度Dxi的乘積f (x i) Dxi (i=1, 2, , n) , 并作出和. 記l = maxDx1, Dx2, , Dxn, 如果不論對a,

9、 b怎樣分法, 也不論在小區(qū)間xi-1, xi上點(diǎn)x i 怎樣取法, 只要當(dāng)l0時(shí), 和S 總趨于確定的極限I, 這時(shí)我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上的定積分, 記作, 即 .其中f (x)叫做被積函數(shù), f (x)dx叫做被積表達(dá)式, x叫做積分變量, a 叫做積分下限, b 叫做積分上限, a, b叫做積分區(qū)間. 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在a, b上有界, 用分點(diǎn)a=x0x1x2 xn-1b時(shí), . 性質(zhì)1 函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差) 即 . 證明: . 性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面 即 . 這是因?yàn)? 性質(zhì)3 如果將積分區(qū)間分成兩部分 則

10、在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和 即 . 這個(gè)性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性. 值得注意的是不論a ,b ,c的相對位置如何總有等式 成立. 例如, 當(dāng)abc時(shí), 由于 , 于是有 . 性質(zhì)4 如果在區(qū)間a b上f (x)1 則 . 性質(zhì)5 如果在區(qū)間a, b上 f (x)0, 則 (ab). 推論1 如果在區(qū)間a, b上 f (x) g(x) 則 (ab). 這是因?yàn)間 (x)-f (x)0, 從而 , 所以 . 推論2 (ab). 這是因?yàn)?|f (x)| f (x) |f (x)|, 所以 , 即 | . 性質(zhì)6 設(shè)M 及m 分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的最大

11、值及最小值, 則 (ab). 證明 因?yàn)?m f (x) M , 所以 , 從而 . 性質(zhì)7 (定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則在積分區(qū)間a, b上至少存在一個(gè)點(diǎn)x , 使下式成立: . 這個(gè)公式叫做積分中值公式. 證明 由性質(zhì)6 ,各項(xiàng)除以b-a 得 ,再由連續(xù)函數(shù)的介值定理, 在a, b上至少存在一點(diǎn)x , 使 ,于是兩端乘以b-a得中值公式 . 積分中值公式的幾何解釋: 應(yīng)注意: 不論ab, 積分中值公式都成立. 第二節(jié) 微積分基本定理教學(xué)目的：使學(xué)生掌握變上限積分及其導(dǎo)數(shù)； 使學(xué)生掌握牛頓萊布尼茲公式（微積分基本定理，基本公式）一、變上限積分及其導(dǎo)數(shù) 設(shè)函

12、數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 并且設(shè)x為a, b上的一點(diǎn). 我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間a, x上的定積分 稱為積分上限的函數(shù). 它是區(qū)間a, b上的函數(shù), 記為F(x), 或F(x)=. 定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù) F(x)在a, b上具有導(dǎo)數(shù), 并且它的導(dǎo)數(shù)為 F(x)(ax0, 則同理可證F+(x)= f(a); 若x=b , 取Dx0. 證明函數(shù)在(0, +)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù). 證明: , . 故.按假設(shè), 當(dāng)0t0, (x-t)f (t) 0 , 所以, , 從而F (x)0 (x0), 這就證明了F (x) 在(0, +)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù). 第三節(jié)定

13、積分換元積分法與分部積分法教學(xué)目的：使學(xué)生熟練掌握定積分換元積分法與分部積分法教學(xué)重點(diǎn)：定積分換元積分法一、換元積分法 定理 假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 函數(shù)x=j(t)滿足條件: (1)j(a )=a , j(b)=b; (2)j(t)在a, b(或b, a)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且其值域不越出a, b, 則有. 這個(gè)公式叫做定積分的換元公式. 證明 由假設(shè)知, f(x)在區(qū)間a, b上是連續(xù), 因而是可積的; f j(t)j(t)在區(qū)間a, b(或b, a)上也是連續(xù)的, 因而是可積的. 假設(shè)F(x)是f (x)的一個(gè)原函數(shù), 則=F(b)-F(a). 另一方面, 因?yàn)镕j(t)=

14、F j(t)j(t)= f j(t)j(t), 所以Fj(t)是f j(t)j(t)的一個(gè)原函數(shù), 從而=Fj(b )-Fj(a )=F(b)-F(a). 因此 . 例1 計(jì)算(a0). 解 . 提示: , dx=a cos t . 當(dāng)x=0時(shí)t=0, 當(dāng)x=a時(shí). 例2 計(jì)算. 解 令t=cos x, 則 . 提示: 當(dāng)x=0時(shí)t=1, 當(dāng)時(shí)t=0. 或 . 例3 計(jì)算. 解 . 提示: . 在上|cos x|=cos x, 在上|cos x|=-cos x. 例4 計(jì)算. 解 . 提示: , dx=tdt; 當(dāng)x=0時(shí)t=1, 當(dāng)x=4時(shí)t=3. 例5 證明: 若f (x)在-a, a上連

15、續(xù)且為偶函數(shù), 則 . 證明 因?yàn)?而 , 所以 . 討論: 若f(x)在-a, a上連續(xù)且為奇函數(shù), 問？ 提示: 若f (x)為奇函數(shù), 則f (-x)+f (x) =0, 從而 . 例6 若f (x)在0, 1上連續(xù), 證明 (1); (2). 證明 (1)令, 則 . (2)令x=p-t, 則 , 所以 . 例7 設(shè)函數(shù), 計(jì)算. 解 設(shè)x-2=t, 則 . 提示: 設(shè)x-2=t, 則dx=dt; 當(dāng)x=1時(shí)t=-1, 當(dāng)x=4時(shí)t=2. 二、分部積分法 設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間a, b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u(x)、v(x), 由(uv)=uv +u v得u v=u v-uv , 等式

16、兩端在區(qū)間a, b上積分得, 或.這就是定積分的分部積分公式.分部積分過程: . 例1 計(jì)算. 解 . 例2 計(jì)算. 解 令, 則 . 例3 設(shè), 證明 (1)當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí), ; (2)當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時(shí), . 證明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , , 而, , 因此 , . 例3 設(shè)(n為正整數(shù)), 證明 , . 證明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , .特別地 , .因此 , .課堂練習(xí)：1求2設(shè)，求。 第四節(jié) 廣義積分教學(xué)目的：使學(xué)生熟練掌握無窮區(qū)間上的廣義積分及無界函數(shù)的廣義積分教學(xué)重點(diǎn)：無窮區(qū)間上的廣義積分教學(xué)過程：

17、一、無窮區(qū)間上的廣義積分 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, +)上連續(xù), 取ba . 如果極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a, +)上的廣義積分, 記作, 即. 這時(shí)也稱廣義積分收斂. 如果上述極限不存在, 函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a, +)上的廣義積分就沒有意義, 此時(shí)稱廣義積分發(fā)散. 類似地, 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-, b 上連續(xù), 如果極限(a0). 解 . 提示: . 例3 討論廣義積分(a0)的斂散性. 解 當(dāng)p=1時(shí), . 當(dāng)p1時(shí), . 因此, 當(dāng)p1時(shí), 此廣義積分收斂, 其值為; 當(dāng)p1時(shí), 此廣義積分發(fā)散. 二、無界函數(shù)的廣義積分 定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)

18、間(a, b上連續(xù), 而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無界. 取e0, 如果極限存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a, b上的廣義積分, 仍然記作, 即. 這時(shí)也稱廣義積分收斂. 如果上述極限不存在, 就稱廣義積分發(fā)散. 類似地, 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b)上連續(xù), 而在點(diǎn)b 的左鄰域內(nèi)無界. 取e0, 如果極限存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在a, b)上的廣義積分, 仍然記作, 即. 這時(shí)也稱廣義積分收斂. 如果上述極限不存在, 就稱廣義積分發(fā)散. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上除點(diǎn)c(acb)外連續(xù), 而在點(diǎn)c的鄰域內(nèi)無界. 如果兩個(gè)廣義積分與都收斂, 則定義. 否則, 就稱廣義積分發(fā)散. 瑕點(diǎn)

19、: 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無界, 那么點(diǎn)a稱為函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn), 也稱為無界 定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b上連續(xù), 點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn). 函數(shù)f(x)在(a, b上的廣義積分定義為. 在廣義積分的定義式中, 如果極限存在, 則稱此廣義積分收斂; 否則稱此廣義積分發(fā)散. 類似地,函數(shù)f(x)在a, b)(b為瑕點(diǎn))上的廣義積分定義為. 函數(shù)f(x)在a, c)(c, b (c為瑕點(diǎn))上的廣義積分定義為 . 廣義積分的計(jì)算: 如果F(x)為f(x)的原函數(shù), 則有 .可采用如下簡記形式: . 類似地, 有 , 當(dāng)a為瑕點(diǎn)時(shí),; 當(dāng)b為瑕點(diǎn)時(shí),. 當(dāng)c (ac1時(shí), .

20、當(dāng)q1時(shí), . 因此, 當(dāng)q0)上相應(yīng)于q從0變到2p 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積. 解: . 例5. 計(jì)算心形線r=a(1+cosq ) (a0) 所圍成的圖形的面積. 解: . 二、體 積 1旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸. 常見的旋轉(zhuǎn)體: 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體. 旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y=f (x)、直線x=a 、a=b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 設(shè)過區(qū)間a, b內(nèi)點(diǎn)x 且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V (x), 當(dāng)平面左右平移dx后, 體積的增量近似為DV=pf (x)2dx , 于是體積元素為 dV = pf (x)2dx , 旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 例1 連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h, r)的直線、直線x=h 及x 軸圍成一個(gè)直角三角形. 將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體. 計(jì)算這圓錐體的體積. 解: 直角三角形斜邊的直線方程為. 所求圓錐體的體積為 . 例2. 計(jì)算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成