1、第四章常微分方程數值解課時安排 6學時教學課型 理論課教學目的和要求了解常微分方程初值問題數值解法的一些基本概念，如單步法和多步法，顯式和隱式，方法的階數，整體截斷誤差和局部截斷誤差的區別和關系等；掌握一階常微分方程初值問題的一些常用的數值計算方法，例如歐拉（Euler）方法、改進的歐拉方法、龍貝庫塔（Runge-Kutta）方法、阿達姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特點及有關的理論分析；掌握構造常微分方程數值解的數值積分的構造方法和泰勒展開的構造方法的基本思想，并能具體應用它們導出一些常用的數值計算公式及評估截斷誤差；熟練掌握龍格庫塔（）方法的基本思想，公式的推導，公式中系數的確定，

2、特別是能應用“標準四階公式”解題；掌握數值方法的收斂性和穩定性的概念，并能確定給定方法的絕對穩定性區域。教學重點與難點重點：歐拉方法，改進的歐拉方法，龍貝庫塔方法。難點：RK方法，預估-校正公式。教學內容與過程4.1引言本章討論常微分方程初值問題 (4.1.1)的數值解法，這也是科學與工程計算經常遇到的問題，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用計算機求解常微分方程的初值問題都要采用數值方法.通常我們假定(4.1.1)中f(x,y)對y滿足Lipschitz條件，即存在常數L0，使對，有 (4.1.2)則初值問題(4.1.1)的解存在唯一.假定(4.1.1)的精確解為，求它的數值解就是要在

3、區間上的一組離散點上求的近似.通常取，h稱為步長，求(4.1.1)的數值解是按節點的順序逐步推進求得.首先，要對方程做離散逼近，求出數值解的公式，再研究公式的局部截斷誤差，計算穩定性以及數值解的收斂性與整體誤差等問題.4.2簡單的單步法及基本概念4.2.1Euler法、后退Euler法與梯形法求初值問題(4.1.1)的一種最簡單方法是將節點的導數用差商代替，于是(4.1.1)的方程可近似寫成 (4.2.1)從出發，由(4.2.1)求得再將代入(4.2.1)右端，得到的近似，一般寫成 (4.2.2)稱為解初值問題的Euler法.Euler法的幾何意義如圖4-1所示.初值問題(4.1.1)的解曲線

4、y=y(x)過點，從出發，以為斜率作一段直線，與直線交點于，顯然有，再從出發，以為斜率作直線推進到上一點，其余類推，這樣得到解曲線的一條近似曲線，它就是折線.Euler法也可利用的Taylor展開式得到，由(4.2.3)略去余項，以，就得到近似計算公式(4.2.2).另外，還可對(4.1.1)的方程兩端由到積分得 (4.2.4)若右端積分用左矩形公式，用，則得(4.2.2).如果在(4.2.4)的積分中用右矩形公式，則得 (4.2.5)稱為后退(隱式)Euler法.若在(4.2.4)的積分中用梯形公式，則得(4.2.6)稱為梯形方法.上述三個公式(4.2.2)，(4.2.5)及(4.2.6)都

5、是由計算，這種只用前一步即可算出的公式稱為單步法，其中(4.2.2)可由逐次求出的值，稱為顯式方法，而(4.2.5)及(4.2.6)右端含有當f對y非線性時它不能直接求出，此時應把它看作一個方程，求解，這類方法稱為穩式方法.此時可將(4.2.5)或(4.2.6)寫成不動點形式的方程這里對式(4.2.5)有，對(4.2.6)則，g與無關，可構造迭代法(4.2.7)由于對y滿足條件(4.1.2)，故有當或，迭代法(4.2.4)收斂到，因此只要步長h足夠小，就可保證迭代(4.2.4)收斂.對后退Euler法(4.2.5)，當時迭代收斂，對梯形法(4.2.6)，當時迭代序列收斂.例4.1 用Euler

6、法、隱式Euler法、梯形法解取h=0.1，計算到x=0.5，并與精確解比較.解 本題可直接用給出公式計算.由于，Euler法的計算公式為n=0時，.其余n=1,2,3,4的計算結果見表4-1.對隱式Euler法，計算公式為解出當n=0時，.其余n=1,2,3,4的計算結果見表4-1.表4-1 例4.1的三種方法及精確解的計算結果對梯形法，計算公式為解得當n=0時，.其余n=1,2,3,4的計算結果見表4-1.本題的精確解為，表4-1列出三種方法及精確解的計算結果.4.2.2 單步法的局部截斷誤差解初值問題(4.1.1)的單步法可表示為(4.2.8)其中與有關，稱為增量函數，當含有時，是隱式單

7、步法，如(4.2.5)及(4.2.6)均為隱式單步法，而當不含時，則為顯式單步法，它表示為(4.2.9)如Euler法(4.2.2)，.為討論方便，我們只對顯式單步法(4.2.9)給出局部截斷誤差概念.定義2.1 設y(x)是初值問題(4.1.1)的精確解，記 (4.2.10)稱為顯式單步法(4.2.9)在的局部截斷誤差.之所以稱為局部截斷誤差，可理解為用公式(4.2.9)計算時，前面各步都沒有誤差，即，只考慮由計算到這一步的誤差，此時由(4.2.10)有局部截斷誤差(4.2.10)實際上是將精確解代入(4.2.9)產生的公式誤差，利用Taylor展開式可得到.例如對Euler法(4.2.2)

8、有，故它表明Euler法(4.2.2)的局部截斷誤差為，稱為局部截斷誤差主項.定義2.2 設是初值問題(4.1.1)的精確解，若顯式單步法(4.2.9)的局部截斷誤差，是展開式的最大整數，稱為單步法(4.2.9)的階，含的項稱為局部截斷誤差主項.根據定義，Euler法(4.2.2)中的=1故此方法為一階方法.對隱式單步法(4.2.8)也可類似求其局部截斷誤差和階，如對后退Euler法(4.2.5)有局部截斷誤差故此方法的局部截斷誤差主項為，也是一階方法.對梯形法(4.2.6)同樣有它的局部誤差主項為，方法是二階的.4.2.3 改進Euler法上述三種簡單的單步法中，梯形法(4.2.6)為二階方

9、法，且局部截斷誤差最小，但方法是隱式的，計算要用迭代法.為避免迭代，可先用Euler法計算出的近似，將(4.2.6)改為(4.2.11)稱為改進Euler法，它實際上是顯式方法.即(4.2.12)右端已不含.可以證明，=2,故方法仍為二階的，與梯形法一樣，但用(4.2.11)計算不用迭代.例4.2 用改進Euler法求例4.1的初值問題并與Euler法和梯形法比較誤差的大小.解 將改進Euler法用于例4.1的計算公式當n=0時，.其余結果見表4-2.表4-2 改進Euler法及三種方法的誤差比較從表4-2中看到改進Euler法的誤差數量級與梯形法大致相同，而比Euler法小得多，它優于Eul

10、er法.講解： 求初值問題（4.1.1）的數值解就是在假定初值問題解存在唯一的前提下在給定區間上的一組離散點上求解析解的一組近似為此先要建立求數值解的計算公式，通常稱為差分公式，簡單的單步法就是由計算下一步，構造差分公式有三種方法，一是用均差（即差商）近似，二是用等價的積分方程（4.2.4）用數值積分方法，三是用函數的Taylor展開，其中Taylor展開最有普遍性，可以得到任何數值解的計算公式及其局部截斷誤差。計算公式是微分方程的一種近似，局部截斷誤差的概念就是刻劃這種逼迫的好壞。當為微分方程的解，即，而用，定義局部截斷誤差，它表示用精確解代入計算公式（4.2.9）產生的公式誤差為越大表明公

11、式逼近微分方程的精度越高，因此就定義為公式的階，通常的公式才能用于計算初值問題（4.1.1）的數值解。利用Taylor展開時，只要將 的表達式在處展開成Taylor公式就可得到不同公式的局部截斷誤差。如4.2.2所給出的Euler法。后退Euler法和梯形法，它們只需用一元函數的Taylor展開，與后面4.5節的多步法完全一致，而通常單步法（4.2.9）的一般情況則需要用二元函數的Taylor展開，才能得到公式的具體形式和局部截斷誤差。例如對改進Euler法，其局部截斷誤差由（4.2.12）可得 要求出它的結果就要用到二元函數的Taylor展開，將在4.3節再作介紹。4.3 Runge-Kut

12、ta方法4.3.1 顯式 Runge-Kutta法的一般形式 上節已給出與初值問題(4.1.1)等價的積分形式 (4.3.1)只要對右端積分用不同的數值求積公式近似就可得到不同的求解初值問題(4.1.1)的數值方法，若用顯式單步法 (4.3.2)當，即數值求積用左矩形公式，它就是Euler法(4.2.2)，方法只有一階，若取 (4.3.3)就是改進Euler法，這時數值求積公式是梯形公式的一種近似，計算時要用二個右端函數f的值，但方法是二階的.若要得到更高階的公式，則求積分時必須用更多的f值，根據數值積分公式，可將(4.3.1)右端積分表示為注意，右端f中還不能直接得到，需要像改進Euler法

13、(4.2.11)一樣，用前面已算得的f值表示為(4.3.3)，一般情況可將(4.3.2)的表示為 (4.3.4)其中這里均為待定常數，公式(4.3.2)，(4.3.4)稱為r級的顯式Runge-Kutta法，簡稱R-K方法.它每步計算r個f值(即)，而ki由前面(i-1)個已算出的表示，故公式是顯式的.例如當r=2時，公式可表示為 (4.3.5)其中.改進Euler法(4.2.11)就是一個二級顯式R-K方法.參數取不同的值，可得到不同公式.4.3.2 二、三級顯式R-K方法對r=2的顯式R-K方法(4.3.5)，要求選擇參數，使公式的階p盡量高，由局部截斷誤差定義(4.3.6)令，對(4.3

14、.6)式在處按Taylor公式展開，由于 將上述結果代入(4.3.6)得要使公式(4.3.5)具有的階p=2,即，必須 (4.3.4)即由此三式求的解不唯一.因r=2，故，于是有解 (4.3.8)它表明使(4.3.5)具有二階的方法很多，只要都可得到二階R-K方法.若取，則，則得改進Euler法(4.2.11)，若取，則得，此時(4.3.5)為(4.3.9)其中稱為中點公式.后退Euler法(4.2.11)及中點公式(4.3.9)是兩個常用的二級R-K方法，注意二級R-K方法只能達到二階，而不可能達到三階.因為r=2只有4個參數，要達到p=3則在(4.3.6)的展開式中要增加3項，即增加三個方

15、程.加上(4.3.4)的三個方程求4個待定參數是無解的.當然r=2,p=2的R-K方法(4.3.5)當取其他數時，也可得到其他公式，但系數較復雜，一般不再給出.對r=3的情形，要計算三個k值，即其中將按二元函數在處按Taylor公式展開，然后代入局部截斷誤差表達式，可得可得三階方法，其系數應滿足方程 (4.3.10)這是8個未知數6個方程的方程組，解也是不唯一的，通常.一種常見的三級三階R-K方法是下面的Kutta三階方法： (4.3.11)4.3.3 四階R-K方法及步長的自動選擇利用二元函數Taylor展開式可以確定(4.3.4)中r=4,p=4的R-K方法，經典的四階R-K方法是： (4

16、.3.12)它的局部截斷誤差，故p=4,這是最常用的四階R-K方法，數學庫中都有用此方法求解初值問題的軟件.這種方法的優點是精度較高，缺點是每步要算4個右端函數值，計算量較大.例4.3 用經典四階R-K方法解例4.1的初值問題，仍取h=0.1，計算到，并與改進Euler法、梯形法在處比較其誤差大小.解 用四階R-K方法公式(4.3.12)，此處，于是當n=0時于是，按公式(4.3.12)可算出此方法誤差：改進Euler法誤差：梯形法誤差：可見四階R-K方法的精度比二階方法高得多.用四階R-K方法求解初值問題(4.1.1)精度較高，但要從理論上給出誤差的估計式則比較困難.那么應如何判斷計算結果的

17、精度以及如何選擇合適的步長h?通常是通過不同步長在計算機上的計算結果近似估計.設在處的值,當時，的近似為，于是由四階R-K方法有若以為步長，計算兩步到，則有 于是得 即或 (4.3.13)它給出了誤差的近似估計.如果(為給定精度)，則認為以為步長的計算結果滿足精度要求，若，則還可放大步長.因此(4.3.13)提供了自動選擇步長的方法.講解：求初值問題（4.1.1）的單步法主要是指Runge-Kutta法，本節主要討論顯式RK方法，建立具體的計算公式使用的是Taylor展開，形如（4.3.4）的顯式RK方法，當r1時就是Euler法，因此只要討論的計算公式，在r確定后如何推導公式都是一樣的，只是

18、r越大計算越復雜，為了掌握了解公式來源，只要以r2為例推導計算公式即可。因此本節重點就是用Taylor展開求出r2的顯式R-K方法的計算公式，由于方法的局部截斷誤差為（4.3.6），的右端有的項，要對它做Taylor展開，就要用到二元函數的Taylor展開，按照二元函數Taylor級數（4.3.14）將它用到（4.3.6）的的展開式中，即可得到按升冪整理出的結果，對r2的公式只能得到2階的公式，即，于是2級R-K方法（4.3.5）的系數必須滿足（4.3.4）給出的方程，它的解由（4.3.8）給出，只要，求出的公式都是r=2的2階R-K方法。而常用的就是得到的改進Euler法（4.2.11）和得

19、到的中點公式（4.3.9）。4.4 單步法的收斂性與絕對穩定性4.4.1 單步法的收斂性定義4.1 設y(x)是初值問題(4.1.1)的精確解，是單步法(4.3.2)在處產生的近似解，若則稱方法(4.3.2)產生的數值解收斂于.實際上，定義中是一固定點，當h0時n，n不是固定的.因顯然方法收斂，則在固定點處的整體誤差，當p1時.下面定理給出方法(4.3.2)收斂的條件.定理4.1設初值問題(4.1.1)的單步法(4.3.2)是p階方法(p1)，且函數對y滿足Lipschitz條件，即存在常數L0,使對,均有 則方法(4.3.2)收斂，且.定理證明略.可見3.4.4.2 絕對穩定性用單步法(4.

20、3.2)求數值解，由于原始數據及計算過程舍入誤差影響，實際得到的不是而是，其中是誤差，再計算下一步得到以Euler法為例，若令,則(4.4.1)如果，則從計算到誤差不增長，它是穩定的.但如果條件不滿足就不穩定.例4.4 y=-100y,y(0)=1,精確解為，用Euler法求解得若取h=0.025，則,當，而，顯然計算是不穩定的.如果用后退Euler法(4.2.5)解此例，仍取h=0.025,則,即顯然當，計算是穩定的.由此看到穩定性與方法有關，也與有關，在此例中.在研究方法的穩定性時，通常不必對一般的f(x,y)進行討論，而只針對模型方程 (4.4.2)這里可能為復數.規定是因為時微分方程(

21、4.4.2)本身是不穩定的，而討論數值方法(4.3.2)的穩定性，必須在微分方程本身穩定的前提下進行.另一方面，對初值問題(4.1.1)，若將f(x,y)在處線性展開，可得于是方程(4.1.1)可近似表示為它表明用模型方程(4.4.2)是合理的，至于模型方程(4.4.2)中所以用復數是因為初值問題(4.1.1)如果是方程組，即，則是(m×m)階矩陣，其特征值可能是復數.當然對單個方程，就是實數，此時只要規定0即可.用單步法(4.3.2)解模型方程(4.4.2)可得到 (4.4.3)其中依賴所選方法，如用Euler法則(4.4.4)此時由(4.4.1)看到誤差方程也為，與(4.4.4)

22、是一樣的.因此對一般單步法(4.3.2)誤差方程也與(4.4.3)一致.下面再考慮二階R-K方法有對四階R-K方法，可得定義4.2將單步法(4.3.2)用于解模型方程(4.4.2)，若得到(4.4.3)中的 則稱方法是絕對穩定的.在復平面上復變量滿足 的區域，稱為方法(4.3.2)的絕對穩定域，它與實軸的交點稱為絕對穩定區間.例如對Euler法， 在復平面上是以(-1，0)為圓心，以1為半徑的單位圓域內部，當為實數時，則得絕對穩定區間為，因0，故有.在例4.4中 時方法穩定，而例中取h=0.025故不穩定.對后退Euler法(4.2.5)，因0，故，其絕對穩定域是以(1，0)為圓心的單位圓外部

23、，絕對穩定區間為，即對任何h0方法都是絕對穩定的.二階R-K方法的絕對穩定區間為.三階R-K方法的絕對穩定區間為.四階R-K方法的絕對穩定區間為.例4.5 用經典四階R-K方法計算初值問題 步長取h=0.1及0.2,給出計算誤差并分析其穩定性.解 本題直接按R-K方法(4.3.12)的公式計算.因精確解為，其計算誤差如表所示.從計算結果看到，h=0.2時誤差很大，這是由于在=-20,h=0.2時h=-4，而四階R-K方法的絕對穩定區間為-2.485,0,故h=0.2時計算不穩定，誤差很大.而h=0.1時=-2，其值在絕對穩定區間-2.485,0內，計算穩定，故結果是可靠的.講解：由于微分方程初

24、值問題數值解公式求出的解是一個逐次遞推的過程，因此原始數據誤差及計算過程舍入誤差對解的影響就是數值方法絕對穩定性研究的問題，如果由計算誤差不增長，方法就是絕對穩定的。為使問題得到簡化通常就是將方法用于解模型方程（4.4.2），對于單步法得到的差分方程為，由于模型方程的，代入Euler法，得，對二階R-K方法，例如，用改進Euler法于是對三階R-K方法有對四階R-K方法有 只要方法，就是絕對穩定的，這時的值當n增大式是減少的，故計算穩定。這時舍入誤差影響可忽略不計，而當，則增大，方法不穩定，計算結果是不可靠的。因此用顯式單步法必須使，也就是步長選擇要滿足這一要求。對于隱式的梯形公式將模型方程，

25、即代入得于是注意，于是有，對成立。這就表明對任意步長h，梯形法都是絕對穩定的。4.5 線性多步法4.5.1 線性多步法的一般公式前面給出了求解初值問題(4.1.1)的單步法，其特點是計算 時只用到 的值，此時 的值均已算出.如果在計算 時除用 的值外，還用到 的值，這就是多步法.若記,h為步長，則線性多步法可表示為(4.5.1)其中為常數，若，稱(4.5.1)為線性k步法.計算時用到前面已算出的k個值.當時，(4.5.1)為顯式方法，當則稱(4.5.1)為隱式多步法.隱式方法與梯形方法一樣，計算時要用迭代法求.多步法(4.5.1)的局部截斷誤差定義也與單步法類似.定義5.1設y(x)是初值問題

26、(4.1.1)的精確解，線性多步法(4.5.1)在處的局部截斷誤差定義為(4.5.2)若，則稱線性多步法(4.5.1)是p階的.如果我們希望得到的多步法是p階的，則可利用Taylor公式展開，將在處展開到階，它可表示為(4.5.3)注意，(4.5.2)式按Taylor展開可得經整理比較系數可得(4.5.4)若線性多步法(4.5.1)為p階，則可令于是得局部截斷誤差 (4.5.5)右端第一項稱為局部截斷誤差主項.稱為誤差常數.要使多步法(4.5.1)逼近初值問題(4.1.1),方法的階p1,當p=1時，則，由(4.5.4)得稱為相容性條件.公式(4.5.1)當k=1時即為單步法，若,由(4.5.

27、6)則得式(4.5.1)就是，即為Euler法.此時，方法為p=1階.若，由得,為確定及，必須令,由(4.5.4)得及此時(4.5.1)就是,即為梯形法.由故p=2,方法是二階的，與4.1節中給出的結果相同.實際上，當k給定后，則可利用(4.5.4)求出公式(4.5.1)中的系數及，并求得的表達式(4.5.5).4.5.2 Adams顯式與隱式方法形如(4.5.7)的k步法稱為 Adams 方法，當 時為 Adams 顯式方法，當時，稱為Adams隱式方法.對初值問題(4.1.1)的方程兩端從到積分得顯然只要對右端的積分用插值求積公式，求積節點取為即可推出形如(4.5.4)的多步法，但這里我們

28、仍采用Taylor展開的方法直接確定(4.5.4)的系數.對比(4.5.1)可知，此時，只要確定即可.現在若k=4且，即為4步的Adams顯式方法其中為待定參數，若直接用(4.5.4)，可知此時自然成立，再令可得解此方程組得.由此得到于是得到四階Adams顯式方法及其余項為 (4.5.8) (4.5.9)若，則可得到p=4的Adams隱式公式，則k=3并令，由(4.5.4)可得解得，而，于是得到四階Adams隱式方法及余項為(4.5.10) (4.5.11)一般情形，k步Adams顯式方法是k階的，k=1即為Euler法，k=2為k=3時，.k步隱式方法是(k+1)階公式，k=1為梯形法，k=

29、2為三階隱式Adams公式k步的Adams方法計算時必須先用其他方法求出前面k個初值才能按給定公式算出后面各點的值，它每步只需計算一個新的f值，計算量少，但改變步長時前面的也要跟著重算，不如單步法簡便.例4.6 用四階顯式Adams方法及四階隱式Adams方法解初值問題,步長h=0.1用到的初始值由精確解計算得到.解 本題直接由公式(4.5.8)及(4.5.10)計算得到.對于顯式方法，將直接代入式(4.5.8)得到其中.對于隱式方法，由式(4.5.10)可得到直接求出，而不用迭代，得到計算結果如表所示. 4.5.3 Adams預測-校正方法上述給出的Adams顯式方法計算簡單，但精度比隱式方

30、法差，而隱式方法由于每步要做迭代，計算不方便.為了避免迭代，通常可將同階的顯式Adams方法與隱式Adams方法結合，組成預測-校正方法.以四階方法為例，可用顯式方法(4.5.8)計算初始近似，這個步驟稱為預測(Predictor)，以P表示，接著計算f值(Evaluation),，這個步驟用E表示，然后用隱式公式(4.5.10)計算，稱為校正(Corrector)，以C表示，最后再計算，為下一步計算做準備.整個算法如下：(4.5.12)公式(4.5.12)稱為四階Adams預測-校正方法(PECE).利用(4.5.8)和(4.5.10)的局部截斷誤差(4.5.9)和(4.5.11)可對預測-

31、校正方法(4.5.12)進行修改，在(4.5.12)中的步驟P有對于步驟C有兩式相減可得于是有若用代替上式,并令顯然比更好，但注意到的表達式中是未知的，因此改為下面給出修正的預測-校正格式(PMECME). (4.5.13)經過修正后的PMECME格式比原來PECE格式提高一階.4.5.4 Milne方法與 Hamming方法 與Adams顯式方法不同的另一類四階顯式方法的計算公式形如 (4.5.14)這里為待定常數，此公式也是k=4步方法，即計算時要用到4個值.為了確定，當然可以利用公式(4.5.4)直接算出，但下面我們直接利用Taylor展開式確定,使它的階盡量高.方法(4.5.14)的局

32、部截斷誤差為將它在點展成Taylor級數，得要使公式的階盡量高，要令前3項系數為0.即解得,代入公式，的系數為0，故(4.5.15)于是得四階方法(4.5.16)稱為Milne公式，它的局部截斷誤差為(4.5.15).與(4.5.16)配對的隱式方法為k=3的多步法，它的一般形式可表示為要求公式的階p=4，可直接用(4.5.4)，并令,可得 (4.5.17)若令，可解出，于是得到下列四階方法(4.5.18)稱為Simpson公式，它的局部截斷誤差為 (4.5.19)用Simpson公式與Milne公式(4.5.16)相匹配，用(4.5.16)做預測，(4.5.18)做校正，由于(4.5.18)

33、的穩定性較差，因此通常較少使用.為了改善穩定性，可重新選擇四階的隱式公式，Hamming通過試驗，發現在(4.5.14)中若令,得到的公式穩定性較好，此時(4.5.14)的解為,于是得四階多步法(4.5.20)稱為Hamming公式，它的局部截斷誤差為 (4.5.21)用Milne公式(4.5.16)與Hamming公式(4.5.20)相匹配，并利用截斷誤差公式(4.5.15)與(4.5.21)改進計算結果.類似Adams預測-校正格式(4.5.13)，可得以下的預測-校正格式(PMECME)： (4.5.22)例4.4 用四步四階顯式Milne公式及三步四階隱式Hamming公式解初值問題,

34、步長h=0.1初值仍由精確解給出，要求計算到為止，給出計算結果及誤差，并與例4.6結果比較.解 直接用公式(4.5.16)及(4.5.20)計算.用Milne法計算公式為其中誤差用Hamming方法(4.5.20)計算公式為可解得 ，n=2,3,4 誤差從所得結果可見Milne方法誤差比顯式Adams方法誤差略小，而Hamming方法與隱式Adams方法誤差相當.例4.8 將例4.4的初值問題用修正的Milne-Hamming預測-校正公式計算及，初值，仍用已算出的精確解，即，給出計算結果及誤差.解根據修正的Milne-Hamming預測-校正公式(4.5.22)得 從結果看，此方法誤差比四階

35、Adams隱式法和四階Hamming方法小，這與理論分析一致.講解：線性多步法（4.5.1）的局部截斷誤差定義為與單步法相似，可表示為（4.5.2），即只要直接將右端各項在處展成Taylor公式，根據公式階數為階，即按的冪整理，令各項系數為0，則可求得相應的線性多步法及其局部截斷誤差，這里只用到一元函數的Taylor展開。因此不必記系數滿足的公式（4.5.4），只要直接展開即可，它不但可以求出Adams顯式與隱式公式以及Milne公式，Hamming公式等，還可以求出任何需要的多步法公式，下面再給出兩個例題，說明如何直接用Taylor展開的方法。例4.9解初值問題用顯式二步法，其中.試確定參數使方法除數盡可提高。并求局部截斷誤差。解 本題仍根據截斷誤差定義，用Taylor展開確定參數滿足的方程，由于為求參數使就地介數盡量高，可令及得方程組解得此時公式為三階，而且即