1、06平面向量的數量積及其應用突破點(一)平面向量的數量積1向量的夾角；2平面向量的數量積；3平面向量數量積的運算律平面向量數量積的運算1.利用坐標計算數量積的步驟第一步，根據共線、垂直等條件計算出這兩個向量的坐標，求解過程要注意方程思想的應用；第二步，根據數量積的坐標公式進行運算即可2根據定義計算數量積的兩種思路(1)若兩個向量共起點，則兩向量的夾角直接可得，根據定義即可求得數量積；若兩向量的起點不同，需要通過平移使它們的起點重合，然后再計算(2)根據圖形之間的關系，用長度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出要求數量積的兩個向量，然后再根據平面向量數量積的定義和性質進行計算求解典例(1)設向

2、量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b與2ab平行，那么a與b的數量積等于()AB C. D.(2)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60°.點E和F分別在線段BC和DC上，且，則·的值為_解析(1)a2b(1,2)2(m,1)(12m,4)，2ab2(1,2)(m,1)(2m,3)，由題意得3(12m)4(2m)0，則m，所以b，所以a·b1×2×1.(2)取，為一組基底，則，··|2·|2×4×2×1×. 答案(1)D(2)易錯提醒(1)解決

3、涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時，一定要注意向量的夾角與已知平面角的關系是相等還是互補(2)兩向量a，b的數量積a·b與代數中a，b的乘積寫法不同，不能漏掉其中的“·”突破點(二)平面向量數量積的應用平面向量數量積的性質及其坐標表示：模、夾角、ab|、a·b|與|a|b|的關系平面向量的垂直問題1.利用坐標運算證明或判斷兩個向量的垂直問題第一，計算出這兩個向量的坐標；第二，根據數量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數量積為0即可2已知兩個向量的垂直關系，求解相關參數的值根據兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數例1(1)ABC是邊長為2的等邊三

4、角形，已知向量a，b滿足2a，2ab，則下列結論正確的是()A|b|1 Bab Ca·b1 D(4ab)(2)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實數k()A B0 C3 D.解析(1)在ABC中，由2ab2ab，得|b|2，A錯誤又2a且|2，所以|a|1，所以a·b|a|b|cos 120°1，B，C錯誤所以(4ab)·(4ab)·b4a·b|b|24×(1)40，所以(4ab)，D正確，故選D.(2)(2a3b)c，(2a3b)·c0.a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)

5、，2a3b(2k3，6)(2k3，6)·(2,1)0，即(2k3)×260.k3.答案(1)D(2)C易錯提醒x1y2x2y10與x1x2y1y20不同，前者是兩向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的充要條件平面向量模的相關問題利用數量積求解長度問題是數量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方法：(1)a2a·a|a|2； (2)|a±b|.例2(1)(2017·衡水模擬)已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為，那么|4ab|()A2 B6 C2 D12(2)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2.若

6、平面向量b滿足b·e1b·e21，則|b|_.解析(1)|4ab|216a2b28a·b16×148×1×2×cos12.|4ab|2.(2)e1·e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260°.又b·e1b·e210，b，e1b，e230°.由b·e11，得|b|e1|cos 30°1，|b|.答案(1)C(2)方法技巧求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐標形式出現的，求向量a的模可直接利用公式|a|.(2)若向量a，b是以非坐標形式出現的，求

7、向量a的模可應用公式|a|2a2a·a，或|a±b|2(a±b)2a2±2a·bb2，先求向量模的平方，再通過向量數量積的運算求解平面向量的夾角問題求解兩個非零向量之間的夾角的步驟第一步由坐標運算或定義計算出這兩個向量的數量積第二步分別求出這兩個向量的模第三步根據公式cosa，b求解出這兩個向量夾角的余弦值第四步根據兩個向量夾角的范圍是0，及其夾角的余弦值，求出這兩個向量的夾角例3(1)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B. C. D(2)已知單位向量e1與e2的夾角為，且cos ，向量a3e12

8、e2與b3e1e2的夾角為，則cos _.解析(1)由(ab)(3a2b)，得(ab)·(3a2b)0，即3a2a·b2b20.又|a|b|，設a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2·cos 2|b|20.cos .又0，.(2)a2(3e12e2)2942×3×2×9，b2(3e1e2)2912×3×1×8，a·b(3e12e2)·(3e1e2)929×1×1×8，cos .易錯提醒(1)向量a，b的夾角為銳角a·

9、b>0且向量a，b不共線(2)向量a，b的夾角為鈍角a·b<0且向量a，b不共線突破點(三)平面向量與其他知識的綜合問題平面向量集數與形于一體，是溝通代數、幾何與三角函數的一種非常重要的工具.在高考中，常將它與三角函數問題、解三角形問題、幾何問題等結合起來考查.平面向量與三角函數的綜合問題例1已知函數f(x)a·b，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)，xR.(1)求函數yf(x)的單調遞減區間；(2)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)與n(2，sin C)共線，求邊長b和c的值解(

10、1)f(x)a·b2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以f(x)的單調遞減區間為(kZ)(2)f(A)12cos1，cos1.又0<A<，故<2A，2A，即A.a，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc7.向量m(3，sin B)與n(2，sin C)共線，所以2sin B3sin C由正弦定理得2b3c，由，可得b3，c2.方法技巧平面向量與三角函數綜合問題的類型及求解思路(1)向量平行(共線)、垂直與三角函數的綜合：此類題型的解答一般是利用向量平行(共線)、垂直關系得到三角

11、函數式，再利用三角恒等變換對三角函數式進行化簡，結合三角函數的圖象與性質進行求解(2)向量的模與三角函數綜合：此類題型主要是利用向量模的性質|a|2a2，如果涉及向量的坐標，解答時可利用兩種方法：一是先進行向量的運算，再代入向量的坐標進行求解；二是先將向量的坐標代入，再利用向量的坐標運算求解此類題型主要表現為兩種形式：利用三角函數與向量的數量積直接聯系；利用三角函數與向量的夾角交匯，達到與數量積的綜合平面向量與幾何的綜合問題例2(1)在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60°，E為CD的中點若·1, 則AB的長為_(2)已知菱形ABCD的邊長為2，BAD120°

12、，點E，F 分別在邊BC，DC上，BC3BE，DCDF.若·1，則 的值為_解析(1)設|x，x0，則·x.又·()·()1x2x1，解得x，即AB的長為.(2)由題意可得·|·|cos 120°2×2×2，在菱形ABCD中，易知，所以，··21，解得2.答案(1)(2)2方法技巧平面向量與幾何綜合問題的求解方法(1)坐標法：把幾何圖形放在適當的坐標系中，則有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決(2)基向量法：適當選取一組基底，溝通向量之

13、間的聯系，利用向量間的關系構造關于未知量的方程來進行求解 檢驗高考能力一、選擇題1已知向量a(，1)，b(0,1)，c(k，)，若a2b與c垂直，則k()A3 B2 C1 D1解析：選A因為a2b與c垂直，所以(a2b)·c0，即a·c2b·c0，所以k20，解得k3.2在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，(1，2)，(2,1)，則·()A5 B4 C3 D2解析：選A由四邊形ABCD是平行四邊形，知(1，2)(2,1)(3，1)，故·(2,1)·(3，1)2×31×(1)5.3若平面向量a(

14、1,2)與b的夾角是180°，且|b|3，則b的坐標為()A(3，6) B(3,6) C(6，3) D(6,3)解析：選A由題意設ba(，2)(0)，而|b|3，則3，所以3，b(3，6)，故選A.4(2016·山東高考)已知非零向量m，n滿足4|m|3|n|，cosm，n，若n(t mn)，則實數t的值為()A4 B4 C. D解析：選Bn(t mn)，n·(t mn)0，即t m·n|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20.又4|m|3|n|，t×|n|2×|n|20，解得t4.故選B.5(2016·天津高考)已知

15、ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE2EF，則·的值為()A B. C. D.解析：選B如圖所示，.又D，E分別為AB，BC的中點，且DE2EF，所以，所以.又，則· ·()·22·22·.又|1，BAC60°，故·×1×1×.故選B.6已知ABC為等邊三角形，AB2，設點P，Q滿足，(1)，R，若·，則()A. B. C. D.解析：選A(1)，又·，|2，A60°，·|·|c

16、os 60°2，(1)·()，即|2(21)·(1)|2，所以42(21)4(1)，解得.二、填空題7已知平面向量a(2,4)，b(1，2)，若ca(a·b)·b，則|c|_.解析：由題意可得a·b2×14×(2)6，ca(a·b)·ba6b(2,4)6(1，2)(8，8)，|c|8.答案：88已知向量a，b滿足(2ab)·(ab)6，且|a|2，|b|1，則a與b的夾角為_解析：(2ab)·(ab)6，2a2a·bb26，又|a|2，|b|1，a·b1，

17、cosa，b，又a，b0，a與b的夾角為.答案：9已知a(，2)，b(3，2)，如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是_解析：a與b的夾角為銳角，則a·b>0且a與b不共線，則解得<或0<<或>，所以的取值范圍是.答案：10.如圖，菱形ABCD的邊長為2，BAD60°，M為DC的中點，若N為菱形內任意一點(含邊界)，則·的最大值為_解析：設，因為N在菱形ABCD內，所以01,01.所以··()2·2×4×2×2×445.所以0·9，所以當1時，·

18、有最大值9，此時，N位于C點答案：9三、解答題11在平面直角坐標系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解：(1)若mn，則m·n0.由向量數量積的坐標公式得sin xcos x0，tan x1.(2)m與n的夾角為，m·n|m|n|cos1×1×，即sin xcos x，sin.又x，x，x，即x.12已知在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，m·nsin 2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差數列，且·