1、智浪教育普惠英才文庫“角動量守恒”及其應用 在研究“質點或質點系繞某一定點或軸線運動”這類問題時，我們常利用“角動量守恒定律”來處理此類問題。“角動量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，應用該定律來處理力學問題在近幾年的全國中學生物理競賽中屢屢出現。從反饋情況來看，能否靈活應用“角動量守恒”成為解題的“瓶頸”。幫助學生認清該定律的內容及其規律并能夠適當地變式處理此類問題，無疑對參加全國中學物理競賽有很大的幫助。下面就“角動量守恒”及其應用作一些簡單探討。OmP圖1r1 角動量守恒定律11質點對參考點的角動量守恒定律如圖1所示，質點m的動量為P，相對于參考點O的角動量為L，其值，其中是質點

2、的動量與質點相對參考點0的位置矢量r的夾角。其角動量的變化量等于外力的沖量矩（M為外力對參考點O的力矩），即。若M=0，得=0，即質點對參考點O的角動量守恒。12質點系對參考點的角動量守恒定律由n個質點組成的質點系，且處于慣性系中，可以推導出作用于各質點諸力對參考點的外力矩的沖量，仍等于質點系對該參考點的角動量的變化量，即。同樣當時，質點系對該參考點的角動量守恒。如果n個質點組成的質點系，處于非慣性系中，只要把質點系的質心取作參考點，上述結論仍成立。13角動量守恒的判斷mmmMDBCAV0圖2當外力對參考點的力矩為零，即時，質點或質點系對該參考點的角動量守恒。有四種情況可判斷角動量守恒：質點或

3、質點系不受外力。所有外力通過參考點。每個外力的力矩不為零，但外力矩的矢量和為零。甚至某一方向上的外力矩為零，則在這一方向上滿足角動量守恒。內力對參考點的力矩遠大于外力對參考點的合力矩，即內力矩對質點系內各質點運動的影響遠超過外力矩的影響，角動量近似守恒。2 角動量守恒定律的應用例題1 （第23屆物理競賽復賽第2題）如圖2所示，一根質量可以忽略的細桿，長為2l，兩端和中心處分別固連著質量為m的小球B、D和C，開始時靜止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一質量為M的小球A，以一給定速度v0沿垂直于桿DB的方向與右端小球B作彈性碰撞。求剛碰后小球A、B、C、D的速度，并詳細討論以后可能發生的運動情況。本

4、題粗看是一類彈性碰撞類問題，利用動量守恒、能量守恒及桿子牽連速度來求解。但本題涉及4個物體組成的質點系，未知量多，利用上述關系還不能求解。挖掘題中的守恒規律成為本題的難點，且守恒規律不易挖掘。解析 小球A、B碰撞瞬間，球A擠壓B，其作用力方向垂直于桿，使球B獲得沿方向的速度。從而在碰撞瞬間使小球C、D的速度也沿方向。對質點組B、C、D與A組成的系統，碰撞前后動量守恒。由于小球C位于由B、C、D三球組成的質點組的質心處，所以小球C的速度也就是質點組的質心速度。可得： （1）質點組B、C、D與A是彈性碰撞，碰撞前后質點組的動能相等。碰撞后A、B、C、D的速度分別為、，得 （2）對質點組B、C、D在

5、碰撞瞬間，在B處受到A球的作用力，若取B（與B球重合的空間固定點）為參考點，則質點組B、C、D在碰撞前后，外力矩等于零，所以質點組角動量守恒。可得： （3）由桿的剛性條件有： （4）由（1）、（2）、（3）、（4）式，可得 （5） （6） （7） （8）碰撞后各小球的運動碰撞后，質點組B、C、D不受外力作用，其質心作勻速運動，即，碰撞后，B、D兩小球將繞小球C作勻角速度轉動，角速度的大小為方向為逆時針方向。由（6）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向與M、m的大小有關，由于M、m取值不同而導致運動情形比較復雜，即可以使；且；情景的出現，在此不作詳細討論。圖3例題2 （第20屆物理競賽復賽第1題

6、）如圖3所示，a為一固定放置的半徑為R的均勻帶電球體，O為其球心己知取無限遠處的電勢為零時，球表面處的電勢為U=1000 V在離球心O很遠的O點附近有一質子b，它以 Ek2000 eV 的動能沿與O¢O平行的方向射向a以l表示b與O¢O線之間的垂直距離，要使質子b能夠與帶電球體a的表面相碰，試求l的最大值把質子換成電子，再求l的最大值解析 質子在運動過程中受到a球對它的庫侖力作用，且庫侖力總是通過a球的球心。類似這樣的力我們稱之為有心力。如取球心O為參考點，則其作用力對O的力矩始終為零，即質子在運動過程中對參考點的角動量守恒。即在有心力作用下角動量守恒。圖4v如圖4所示，令

7、表示質子的質量，和分別表示質子的初速度和到達a球球面處的速度，表示元電荷。質子在b處的角動量為；到達球a表面時的角動量為所以得： （1） 質子從b運動到a，能量守恒，由于無窮遠處電勢能為零，故得： （2） 由式（1）、（2）可得 代入數據，可得 若把質子換成電子，此時式（2）中改為。同理可求得 圖5mMO例題3 如圖5所示，滑輪兩邊懸掛的重物與盤的質量相同，均為M，處于靜止。現有距盤底高為h質量為m的膠泥自由下落，求膠泥粘在盤上時盤獲得的初速度。不計滑輪與繩質量，及軸承摩擦和繩的伸長。解析 對盤、重物、膠泥組成的質點系，在膠泥下落過程中，質點系對軸心O的外力矩為膠泥的重力矩。當膠泥與盤碰撞時，碰撞內力對O的內力矩遠大于膠