1、常微分方程讀書筆記數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）2班 李霞 200902114078 本課程作為一門的專業(yè)課程，綜合性強、內(nèi)容多、難度大，學(xué)者在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注意，學(xué)習(xí)前，應(yīng)仔細(xì)閱讀課程大綱，熟悉課程的基本要求，使以后的學(xué)習(xí)緊緊圍繞課程的基本要求。在閱讀某一章教材內(nèi)容前，應(yīng)先認(rèn)真閱讀大綱中該章的考核知識點，注意對各知識點的能力層次要求，認(rèn)真學(xué)習(xí)各章節(jié)例題，熟悉各種類型習(xí)題解法。學(xué)完教材的每一章節(jié)內(nèi)容后，應(yīng)完成教材的習(xí)題，進一步理解和鞏固所學(xué)的知識，增強解題能力。在學(xué)習(xí)常微分方程時，還需要掌握高等代數(shù)，近世代數(shù)，數(shù)學(xué)分析，線性代數(shù)，數(shù)值積分等基礎(chǔ)知識。微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐

2、普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利、歐拉、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。一、一階微分方程的初等解法1.1 變量可分離的微分方程形如的方程，稱為變量分離方程，分別是，的連續(xù)函數(shù).這是一類最簡單的一階函數(shù)如果

3、，我們可將()改寫成，這樣變量就分離開來了.兩邊積分，得到，為任意常數(shù)由該式所確定的函數(shù)關(guān)系式就是常微分方程的解例1：求解的通解。解：通解：1.2 齊次型微分方程 （變量代換的思想）一階微分方程可以化成的形式。求解：，（可分離變量）通解例2：解方程 1.3 一階線性微分方程若 ，稱為一階齊次線性微分方程。若（），稱為一階非齊次線性微分方程。一階非齊次微分方程的通解等于對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。解的通解如下：可分離變量的一階微分方程（齊次方程通解）采用積分因子法求的一個特解如下 （）的通解為：2.2 一階微分方程的應(yīng)用舉例例 細(xì)菌的增長率與總數(shù)成正比。如果培養(yǎng)的細(xì)菌總數(shù)在2

4、4h內(nèi)由100增長為400、那么前12h后總數(shù)是多少?分析： 二、n階齊次線性微分方程與非齊次線性微分方程1n階常系數(shù)齊次線性微分方程概念：定義 形如：(1)稱為n階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中都是常數(shù)有時我們用記號D(叫微分算子)表示對x求導(dǎo)的運算把記作Dy記作Dy把方程(1)記作：()y0 (2)記L(D)= L(D)叫微分算子D的n次多項式(2)可記作：L(D)y0如同討論二階常系數(shù)齊次線性微分方程那樣：令y 那么： 或?qū)憺椋?這里：，因此把代入()得，由此可見，若選r為n次代數(shù)方程，即： (3)的根，那麼作出的函數(shù)就是(2)的一個解(3)叫(2)的特征方程由特征根的不同情形，可以寫出其

5、對應(yīng)的微分方程的解，見下表：表1特征方程的根單實根r(4)的通解中的對應(yīng)項，給出一項：一對單復(fù)根：r給出兩項：)K重實根r給出k項：一對k重復(fù)根：r給出2k項：cos從代數(shù)學(xué)知道，n次代數(shù)方程有n個根(重根按重數(shù)計算)，而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項，而且每項各含一個任意常數(shù)這樣，就得到n階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解:. 可見，n階常系數(shù)齊次線性方程的通解應(yīng)含有n個獨立的任意常數(shù)這個結(jié)論具有普遍性例 求方程：通解，其中：>0解 寫出特征方程： ，為便于左邊因式分解，用加、減項的方法：(+2-2=()-2=(=0于 -= +=原方程的通結(jié)為： (+(2、n階常系數(shù)非齊次線性微分

6、方程概念：2.1 n階常系數(shù)非齊次線性方程的初等解法 常數(shù)變易法 在求解一階非齊線性方程的通解時，我們使用了常數(shù)變易法，這一方法同樣適用于求解非齊線性方程（1.1）。其具體方法與步驟如下：1）寫出方程（1.2）的通解：2）常數(shù)變易，即令 （1.1）3）把（1.1）及其一階到n階導(dǎo)數(shù)（在附加了n-1個條件 ）代入方程（1.1）,可得個確定的方程組（A）：（A）解方程組（A）得,4）逐個積分，得5）寫出方程（1.1）的通解： =, 為任意常數(shù)例 . 求方程于域的通解解：對應(yīng)齊線性方程 解之得 ，A，B為任意常數(shù)易知基本解組為 1，原方程可改寫為 (*)則運用常數(shù)變易法，令代入上式(*)得 解得 故

7、原方程的通解為 為任意常數(shù)三、n階線性微分方程與線性微分方程組的關(guān)系1、定義：n 階線性齊次微分方程的一般理論由引理4.1，齊次方程(4.1)等價于下面的一階線性齊次微分方程組                 (4.1)這里和Y相同.于是由第三章的定理3.2可知，齊次方程(4.1)的所有解也構(gòu)成一個線性空間.為了研究這個線性空間的性質(zhì)，進而搞清楚(4.1)的解的結(jié)構(gòu)，我們需要下面的定義和引理.  定義4.1 函數(shù)組稱為在區(qū)間I上線性相關(guān)，如果存在

8、一組不全為零的常數(shù),使得                 (4.2)在區(qū)間I上恒成立. 反之，如果只當(dāng)時，才能使(4.2)在I上成立，則稱函數(shù)組在I上線性無關(guān).引理4.2 一組n-1階可微的數(shù)值函數(shù)在I上線性相關(guān)的充要條件是向量函數(shù)組           (4.3)在I上線性相關(guān).證明 若在I上線性相關(guān)，則存在一組不全為零的常數(shù)，使得   

9、;            (4.4)0在I上恒成立.將(4.15)0式對x逐次微分n-1次，得                (4.4)1           (4.4)n-1聯(lián)合(4.4)0，(4.4)1，(4.4)n-1，就得到向量函數(shù)組(4.3)是線性相

10、關(guān)的. 反之，若向量函數(shù)組(4.3)在I上線性相關(guān)， 則存在不全為零的常數(shù)，使得(4.3)，(4.3)，(4.3)n-1各式在I上恒成立，由(4.3)表明在I上線性相關(guān). 證畢. 四、結(jié)束語經(jīng)過對常微分方程的解法及應(yīng)用的學(xué)習(xí)，我們大體對常微分方程的定義，定理，解法及應(yīng)用 做了大致的了解。我們可以根據(jù)具體問題的性質(zhì)和所給的條件，建立一個含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系式，再通過積分等方法，從微分方程中確定出所求的未知函數(shù)。對微分方程具體有常數(shù)變易法、降階法。對微分方程的應(yīng)用可以具體解決許多生活中的實際問題，得到各種變化率，以聯(lián)系具體問題！五、參考文獻1 上海交通大學(xué)&集美大學(xué). 高等數(shù)學(xué)M.北京：科學(xué)出版社 2011-264-3052 林武忠等. 常微分方程M. 北京：科學(xué)出版社. 2003.3 梅宏. 常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的一種方法升階法J. 高等數(shù)研究.2003.6（2）：22-23.4 朱靈. 用升階法求