1、習(xí)題三2.設(shè)總體的分布密度為：為其樣本，求參數(shù)的矩估計量和極大似然估計量 .現(xiàn)測得樣本觀測值為：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求參數(shù)的估計值 .解 計算其最大似然估計： 其矩估計為： 所以：，.3. 設(shè)元件無故障工作時間X具有指數(shù)分布，取1000個元件工作時間的記錄數(shù)據(jù)，經(jīng)分組后得到它的頻數(shù)分布為： 組中值 5 15 25 35 45 55 65頻 數(shù) 365 245 150 100 70 45 25如果各組中數(shù)據(jù)都取為組中值，試用最大似然法求參數(shù)的點估計.解 最大似然估計：.4. 已知某種燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期所生產(chǎn)的該種燈泡中隨機抽取10只，測得其壽命(單位：小時

2、)為： 1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948設(shè)總體參數(shù)都未知，試用極大似然法估計這個星期中生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時以上的概率.解 設(shè)燈泡的壽命為,極大似然估計為：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到： .經(jīng)計算得，這個星期生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時的概率為0.0075.5. 為檢驗?zāi)撤N自來水消毒設(shè)備的效果，現(xiàn)從消毒后的水中隨機抽取50升，化驗每升水中大腸桿 菌的個數(shù)(假定一升水中大腸桿菌個數(shù)服從Poisson分布)，其化驗結(jié)果如下：大腸桿菌數(shù)/升 0 1 2 3 4 5 6 升 數(shù) 17 20 10 2 1 0 0試問平均每升水中大腸桿菌個數(shù)為多少時，才能使

3、上述情況的概率為最大？解 設(shè)為每升水中大腸桿菌個數(shù)，由3題（2）問知，的最大似然估計為，所以所以平均每升氺中大腸桿菌個數(shù)為1時，出現(xiàn)上述情況的概率最大 .8. 設(shè)是來自總體X的樣本，并且EX =，DX = ，是樣本均值和樣本方差，試確定常數(shù)，使是的無偏估計量 .解所以 .9. 設(shè)，是的兩個獨立的無偏估計量，并且的方差是的方差的兩倍 .試確定常數(shù)c1, c2，使得為的線性最小方差無偏估計量 .解： 設(shè) 當(dāng)，上式達到最小，此時 .10. 設(shè)總體X具有如下密度函數(shù)，是來自于總體X的樣本，對可估計函數(shù)，求的有效估計量，并確定R-C下界 .解 因為似然函數(shù)所以取統(tǒng)計量得=，所以是無偏估計量令 由定理知

4、T是有效估計量，由所以 C-R方差下界為.11. 設(shè)是來自于總體X的樣本，總體X的概率分布為：1） 求參數(shù)的極大似然估計量；2） 試問極大似然估計是否是有效估計量？如果是，請求它的方差和信息量；3） 試問是否是相合估計量？（書上沒有這個問題）解 1）得到最大似然估計量2）所以所以是無偏估計量，由定理得到是有效估計量信息量3）所以，T也是相合估計量 .12 從一批螺釘中隨機地取16枚，測得其長度(單位：cm)為： 2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11設(shè)釘長分布為正態(tài)，在如下兩

5、種情況下，試求總體均值的90%置信區(qū)間，1）若已知=0.01cm； 2）若未知；解 因為1） 計算所以 置信區(qū)間為2） 計算所以 置信區(qū)間為.13 隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，測得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=11(m/s)，設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為95%的置信區(qū)間 .解 由題意標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為0.95的置信區(qū)間為計算得所以 置信區(qū)間為 .14. 隨機地從A批導(dǎo)線中抽取4根，并從B批導(dǎo)線中抽取5根，測得其電阻()為： A批導(dǎo)線：0.143，0.142，0.143，0.137 B批導(dǎo)線：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140設(shè)測試數(shù)據(jù)分別服從和，并且它們相互獨立，又均未知，求參數(shù)的置信度為95%的置信區(qū)間 .解 由題意，這是兩正太總體，在方差未知且相等條件下，對總體均值差的估計： 置信區(qū)間為計算得 所以.15. 有兩位化驗員A、B，他們獨立地對某種聚合物的含氯量用相同方法各作了10次測定，其測定值的方差依次為0.5419和0.6065