1、自動(dòng)控制原理綜合訓(xùn)練項(xiàng)目題目：關(guān)于MSD系統(tǒng)控制的設(shè)計(jì) 目 錄 1設(shè)計(jì)任務(wù)及要求分析31.1初始條件31.2要求完成的任務(wù)31.3任務(wù)分析42系統(tǒng)分析及傳遞函數(shù)求解42.1系統(tǒng)受力分析42.2 傳遞函數(shù)求解92.3系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的求解93.用MATLAB對系統(tǒng)作開環(huán)頻域分析103.1開環(huán)系統(tǒng)波特圖103.2開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖及穩(wěn)定性判斷124.系統(tǒng)開環(huán)頻率特性各項(xiàng)指標(biāo)的計(jì)算14總結(jié)17參考文獻(xiàn)18彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)建模與頻率特性分析1設(shè)計(jì)任務(wù)及要求分析1.1初始條件 已知機(jī)械系統(tǒng)如圖。 yp m x 圖1.1 機(jī)械系統(tǒng)圖 1.2要求完成的任務(wù)（1） 推導(dǎo)傳遞函數(shù)，（2） 給定，以p為輸入

2、（3） 用Matlab畫出開環(huán)系統(tǒng)的波特圖和奈奎斯特圖，并用奈奎斯特判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（4） 求出開環(huán)系統(tǒng)的截止頻率、相角裕度和幅值裕度。（5） 對上述任務(wù)寫出完整的課程設(shè)計(jì)說明書，說明書中必須進(jìn)行原理分析，寫清楚分析計(jì)算的過程及其比較分析的結(jié)果，并包含Matlab源程序或Simulink仿真模型，說明書的格式按照教務(wù)處標(biāo)準(zhǔn)書寫。1.3任務(wù)分析由初始條件和要求完成的主要任務(wù)，首先對給出的機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，列出相關(guān)的微分方程，對微分方程做拉普拉斯變換，將初始條件中給定的數(shù)據(jù)代入，即可得出，兩個(gè)傳遞函數(shù)。由于本系統(tǒng)是一個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，故求出的傳遞函數(shù)即為開環(huán)傳函。后在MATLAB中畫出開

3、環(huán)波特圖和奈奎斯特圖，由波特圖分析系統(tǒng)的頻率特性，并根據(jù)奈奎斯特判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)位于右半平面的極點(diǎn)數(shù)，由此可以分析出系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后再計(jì)算出系統(tǒng)的截止頻率、相角裕度和幅值裕度，并進(jìn)一步分析其穩(wěn)定性能。2系統(tǒng)分析及傳遞函數(shù)求解2.1系統(tǒng)受力分析 單自由度有阻尼振系的力學(xué)模型如圖2-1所示，包括彈簧、質(zhì)量及阻尼器。以物體的平衡位置0為原點(diǎn)，建立圖示坐標(biāo)軸x。則物體運(yùn)動(dòng)微分方程為 （2-1）式中 ： 為阻尼力，負(fù)號表示阻尼力方向與速度方向相反。圖2-1將上式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，為 (2-2）令p2=, , 則上式可簡化為 (2-3)這就是有阻尼自由振動(dòng)微分方程。它的解可取，其中s是待定常數(shù)。代入（2-1

4、）式得 ，要使所有時(shí)間內(nèi)上式都能滿足，必須，此即微分方程的特征方程，其解為 （2-4）于是微分方程（2-1）的通解為 （2-5）式中待定常數(shù)c1與c2決定與振動(dòng)的初始條件。振動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì)決定于根式是實(shí)數(shù)、零、還是虛數(shù)。對應(yīng)的根s1與s2可以是不相等的負(fù)實(shí)根、相等的負(fù)實(shí)根或復(fù)根。若s1與s2為等根時(shí)，此時(shí)的阻尼系數(shù)值稱之為臨界阻尼系數(shù)，記為cc，即cc2mp。引進(jìn)一個(gè)無量綱的量，稱為相對阻尼系數(shù)或阻尼比。 （2-6） 當(dāng)n>p或>1,根式是實(shí)數(shù)，稱為過阻尼狀態(tài)，當(dāng)n<p或<1，根式是虛數(shù)，稱為弱阻尼狀態(tài)，當(dāng)np，即1，稱為臨界阻尼狀態(tài)。現(xiàn)分別討論三種狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)特性。1.

5、過阻尼狀態(tài)此時(shí)>1，即<n，（b）式中s1及s2均為負(fù)值，則及是兩根下降的指數(shù)曲線，故（2-2）式所表示的是兩條指數(shù)曲線之和，仍按指數(shù)衰減，不是振動(dòng)。圖3-2所示為c1>c2,c1<0時(shí)的情況。 圖2-22.臨界阻尼狀態(tài)此時(shí)1，（b）式中s1s2np，特征方程的根是重根，方程（2-1）的另一解將為tept，故微分方程（2-1）的通解為x（c1c2t）ept （2-7） 式中等號右邊第一項(xiàng)c1ept是一根下降的指數(shù)曲線，第二項(xiàng)則可應(yīng)用麥克勞林級數(shù)展開成以下形式： （2-8）從上式看出，當(dāng)時(shí)間t增長時(shí)，第二項(xiàng)c2tept也趨近于零。因此（c）式表示的運(yùn)動(dòng)也不是振動(dòng)，也是一個(gè)

6、逐漸回到平衡位置的非周期運(yùn)動(dòng)。3.弱阻尼狀態(tài)此時(shí)p>n,或<1。利用歐拉公式（2-9）可將（2-2）式改寫為（2-10）或 （1-11） 令，則 （2-12） 式中A與為待定常數(shù)，決定于初始條件。設(shè)t0時(shí)，xx0，則可求得 （2-13）將A與代入（2-4）式，即可求得系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)，由式（2-13）可知，系統(tǒng)振動(dòng)已不再是等幅的簡諧振動(dòng)，而是振幅被限制在曲線之內(nèi)隨時(shí)間不斷衰減的衰減振動(dòng)。如圖3-3所示。 圖2-3這種衰減振動(dòng)的固有圓頻率、固有頻率和周期分別為（2-14）（2-15）式中P、f、T是無阻尼自由振動(dòng)的固有圓頻率、固有頻率和周期。由上可見，阻尼對自由振動(dòng)的影響有兩個(gè)方

7、面：一方面是阻尼使自由振動(dòng)的周期增大、頻率減小，但在一般工程問題中n都比P小得多，屬于小阻尼的情況。例=n/p=0.05時(shí)，fd=0.9990f，Td=1.00125T；而在=0.20時(shí)，fd=0.98f，Td=1.02T，所以在阻尼比較小時(shí)，阻尼對系統(tǒng)的固有頻率和周期的影響可以略去不計(jì)，即可以近似地認(rèn)為有阻尼自由振動(dòng)的頻率和周期與無阻尼自由振動(dòng)的頻率和周期相等。另一方面，阻尼對于系統(tǒng)振動(dòng)振幅的影響非常顯著，阻尼使振幅隨著時(shí)間不斷衰減，其順次各個(gè)振幅是：t=t1時(shí)，A1=Ae-nt1；t=t1+Td時(shí)，A2=A；t=t1+2Td時(shí)，A3=A，.。而相鄰兩振幅之比是個(gè)常數(shù)。即 （2-16）式中稱

8、為減幅系數(shù)或振幅衰減率，n稱為衰減系數(shù)，n越大表示阻尼越大，振幅衰減也越快。當(dāng)0.05時(shí)，1.37，A2=A1/1.37=0.73A1，每一個(gè)周期內(nèi)振幅減少27，振幅按幾何級數(shù)衰減，經(jīng)過10次振動(dòng)后，振幅將減小到初值的4.3。可見，衰減是非常顯著的。在工程上，通常取（2-6）式的自然對數(shù)以避免取指數(shù)的不便，即 （2-17）式中稱為對數(shù)減幅或?qū)?shù)衰減率。將代入，得 （2-18）當(dāng) <<1時(shí)， 2 （2-19）因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)相鄰的振幅之比是一個(gè)常數(shù)enTd，即故有 因此對數(shù)減幅也可表達(dá)為 （2-20）此外，根據(jù)（3-6）式，可以用實(shí)測法來求得系統(tǒng)的阻尼系數(shù)。因?yàn)楣?（2-21）所以只要實(shí)

9、測得出衰減振動(dòng)的周期Td及相鄰兩次振幅Aj和Aj+1，即可計(jì)算出系統(tǒng)的阻尼系數(shù)C。 根據(jù)彈簧和阻尼器的特性可得以下關(guān)系式：Fk1(t)=k1x(t)， Fk2(t)=k2x(t)y(t)， Fb2(t)=b2dy(t)/dt設(shè)不加p(t)時(shí)，質(zhì)量塊處于平衡狀態(tài)，此時(shí)x=0，y=0，即x(0)=0，y(0)=0，根據(jù)受力平衡方程，在不計(jì)重力時(shí)，可得出以下方程：k2x(t)-y(t)=b2dy(t)/dt (2-22) 又根據(jù)牛頓第二定律，有方程：md2x(t)/dt2=p(t)Fk1(t)Fk2(t)Fb2(t) (2-23)2.2 傳遞函數(shù)求解（1）求Y(s)/X(s)：對式(2-1)進(jìn)行拉普

10、拉斯變換，得：k2X(s)k2Y(s)=b2*sY(s)，化簡得傳遞函數(shù)： Y(s)/X(s)=k2/(b2s+k2) (2-24) （2）求X(s)/P(s)：對式(2-2)進(jìn)行拉普拉斯變換，得：ms2X(s)=P(s)k1X(s)2k2X(s)Y(s)，并將式(2-3)代入可解得傳遞函數(shù)： X(s)/P(s)=(b2s+k2)/mb2s3+mk2s2+b2(k1+2k2)s+k1k2 (2-25) 已知條件為：給定，設(shè)是輸入的階躍力。將所給參數(shù)代入傳遞函數(shù)式(2-3)和式(2-4)中，可求得具體的傳遞函數(shù)如下： Y(s)/X(s)=5/(0.6s+5) （2-26） X(s)/P(s)=(

11、0.6s+5)/（1.2*10-4s3+10-3s2+10.8s+40） （2-27） 2.3系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的求解（1）對于Y(s)/X(s)：由微分方程Y(s)/X(s)=5/(0.6s+5)可畫出單位負(fù)反饋系統(tǒng)方框結(jié)構(gòu)圖如下：5/(0.6s+5) X（s） Y（s）故開環(huán)傳遞函數(shù)為：G（S）=5/(0.6s+5)（2）對于X(s)/P(s)：由微分方程ms2X(s)=P(s)k1X(s)2k2X(s)Y(s)及Y(s)/X(s)=k2/(b2s+k2)可畫出系統(tǒng)方框結(jié)構(gòu)圖如下：0.6s+51.2*10-4s3+10-3s2+10.8s+40 P(s) X(s)故開環(huán)傳遞G(s)=(0.6

12、s+5)/(1.2*10-4s3+10-3s2+10.8s+40) 3.用MATLAB對系統(tǒng)作開環(huán)頻域分析3.1開環(huán)系統(tǒng)波特圖（1）對于Y(s)/X(s)：G（s)=5/(0.6s+5)畫波特圖時(shí)采用的MATLAB語句如下:>> num=5;den=(0.6,5);>> margin(num,den) %畫系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻、相頻特性運(yùn)行結(jié)果如圖3-1 圖3-1 Y(s)/X(s)的開環(huán)波特圖（2）對于X(s)/P(s):G(s)= (0.6s+5)/(1.2*10-4s3+10-3s2+10.8s+40) 畫波特圖時(shí)采用的MATLAB語句如下:>> num

13、=0.6,5;den=(1.2*10-4,10-3,10.8,40);>> margin(num,den) %畫系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻、相頻特性運(yùn)行結(jié)果如圖3-2所示: 圖3-2 X(s)/P(s)的開環(huán)波特圖3.2開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖及穩(wěn)定性判斷（1）對于Y(s)/X(s)畫奈奎斯特圖時(shí)MATLAB語句如下：>> num=5;>> den=0.6,5;>> nyquist(num,den)運(yùn)行結(jié)果如圖3-3所示：圖3-3 Y（s）/X（s）開環(huán)奈奎斯特圖開環(huán)傳函G（S）=5/(0.6s+5),由于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不存在右半平面的極點(diǎn)，故P=0，從0變

14、到+時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線不能包圍（-1，j0）點(diǎn)周數(shù)N=0，則系統(tǒng)位于右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)為:Z=P-2N=0,故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）對于X(s)/P(s)畫奈奎斯特圖時(shí)MATLAB語句如下：>> num=0.6,5;>> den=1.2*10-4,10-3,10.8,40;>> nyquist(num,den)運(yùn)行結(jié)果如圖3-4所示：圖3-4 X（s）/P（s）開環(huán)奈奎斯特圖開環(huán)傳函G(s)= (0.6s+5)/(1.2*10-4s3+10-3s2+10.8s+40) ，由于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不存在右半平面的極點(diǎn)，故P=0，從0變到+時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線

15、不能包圍（-1，j0）點(diǎn)周數(shù)N=0，則系統(tǒng)位于右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)為:Z=P-2N=0,故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。4.系統(tǒng)開環(huán)頻率特性各項(xiàng)指標(biāo)的計(jì)算（1）對于Y(s)/X(s)：G（S）=5/(0.6s+5)計(jì)算各項(xiàng)頻率指標(biāo)時(shí)采用的MATLAB語句如下:>> num=5;den=(0.6,5);>> margin(num,den);>> gm,pm,wcg,wcp=margin(num,den)計(jì)算幅值裕度gm(0)、相位裕度pm（h0）、穿越頻率wcg(r0)、截止頻率wcp(c0)。運(yùn)行結(jié)果gm = Infpm = 180wcg = NaNwcp = 0 由結(jié)果可

16、知該系統(tǒng)幅值裕度為無窮，截止頻率為0，相位裕度為180是正值，故系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）對于X(s)/P(s) :G(s)= (0.6s+5)/(1.2*10-4s3+10-3s2+10.8s+40) 計(jì)算各項(xiàng)頻率指標(biāo)時(shí)采用的MATLAB語句如下:>> num=0.6,5;den=(1.2*10-4,10-3,10.8,40)>> margin(num,den);>> gm,pm,wcg,wcp=margin(num,den)計(jì)算幅值裕度gm(0)、相位裕度pm（h0）、穿越頻率wcg(r0)、截止頻率wcp(c0)。運(yùn)行結(jié)果gm = Infpm = 15.6933

17、wcg = Infwcp = 307.8588 由結(jié)果可知該系統(tǒng)幅值裕度為無窮，截止頻率為308rad/s，相位裕度為15.7是正值，故系統(tǒng)穩(wěn)定。總結(jié)本次課設(shè)是對一個(gè)彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)建模并進(jìn)行頻率特性分析。首先根據(jù)這個(gè)實(shí)際的機(jī)械系統(tǒng)的受力分析得出它的受力微分方程，對其進(jìn)行拉普拉斯變換，可以得出傳遞函數(shù)。在求開環(huán)傳遞函數(shù)的過程中我遇到了一些困難，在老師的指點(diǎn)和同學(xué)的幫助下我發(fā)現(xiàn)自己其實(shí)把問題想得過于復(fù)雜了，原來這是一個(gè)單位負(fù)反饋的穩(wěn)定系統(tǒng)，求出的傳遞函數(shù)即為開環(huán)傳函。接下來便是MATLAB的應(yīng)用，利用MATLAB可以輕松地對系統(tǒng)做出頻率特性分析，畫出Bode圖和奈奎斯特圖，并通過奈奎斯特判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。也可以利用MATLAB語句直接求出各項(xiàng)頻率特性指標(biāo)，從而可以進(jìn)一步對系統(tǒng)做出分析，完成既定目標(biāo)。通過本次課設(shè)，加強(qiáng)了我對MATLAB程序的應(yīng)用能力，這是一款功能強(qiáng)大而又實(shí)用性很強(qiáng)的程序，對于我們專業(yè)的學(xué)習(xí)有著很強(qiáng)的幫助性；另一方面也加強(qiáng)了我對課本理論知識的理解，通過MATLAB的分析也印證了平時(shí)自己學(xué)習(xí)理論知識時(shí)所用分析方法的正確性。最后通過本次課設(shè)也提高了我個(gè)人獨(dú)立思考、查閱資料和解決問