1、數學建模與數學實驗課程實驗報告 實驗名稱 微分方程初值問題求解matlab實驗 班級學號姓名序號任課教師實驗地點數學實驗中心評分一、實驗目的1、 學習簡單問題的常微分方程建模。2、 學習并理解食餌-捕食者模型；3、 掌握微分方程（組）初值問題的matlab數值求解；二、實驗要求和結果1.地中海鯊魚問題意大利生物學家Ancona曾致力于魚類種群相互制約關系的研究，他從第一次世界大戰期間,地中海各港口捕獲的幾種魚類捕獲量百分比的資料中，發現鯊魚等的比例有明顯增加（見下表），而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降.顯然戰爭使捕魚量下降，食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？ 年代1

2、9141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.819.71符號說明：食餌在t時刻的數量； 捕食者在t時刻的數量；食餌獨立生存時的增長率；捕食者獨自存在時的死亡率；捕食者掠取食餌的能力； 食餌對捕食者的供養能力.e捕獲能力系數2基本假設：（1）食餌由于捕食者的存在使增長率降低，假設降低的程度與捕食者數量成正比； （2）捕食者由于食餌為它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增長，假定增長 的程度與食餌數量成正比。3模型建立與求解 模型（一） 不考慮人工捕獲 針對一組具體的數據用Mat

3、lab軟件進行數值求解，畫出食餌和捕食者圖形以及相軌線圖.設食餌和捕食者的初始數量分別為，對于數據，的終值經試驗后確定為15，即模型為： 解：Matlab運行 首先建立M文件fun.m如下：function dx=fun(t,x)dx=zeros(2,1)dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1); 然后，輸入以下命令： t,x=ode45(fun,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2)x1(t)和x2(t)的曲線圖如下x2(t)x1(t)食餌捕食者圖形 相軌線

4、y(x)的圖形如下：數值結果為t=77*1double, x=77*2double.該模型反映了在沒有人工捕獲的自然環境中食餌與捕食者之間的制約關系，沒有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是最簡單的模型。食餌的量增加，捕食者也隨之增加；食餌的量減少，捕食者的量也隨之減少。可以猜想x1(t)和x2(t)都是周期函數。而且它們的循環是有一定周期的。模型（二） 考慮人工捕獲設表示捕獲能力的系數為e，相當于食餌的自然增長率由r1 降為r1-e，捕食者的死亡率由r2 增為 r2+e設戰前捕獲能力系數e=0.3, 戰爭中降為e=0.1, 則戰前與戰爭中的模型分別為: 建立主程序shark1.m, 求解兩個方

5、程，并畫出兩種情況下鯊魚數在魚類總數中所占比例 x2(t)/x1(t)+x2(t)解：先在matlab中建立M文件shier1.m:function dx=shier1(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(0.7-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.8+0.02*x(1);再在matlab中先建立M文件shier2.m：function dx=shier2(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(0.9-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.6+0.02*x(1);然后在matlab中輸入以下命令：t,x=ode45(shier

6、1,0 15,25 2);plot(t,x(:,2)./(x(:,1)+x(:,2),-)t,x=ode45(shier2,0 15,25 2);plot(t,x(:,2)./(x(:,1)+x(:,2),*)求解結果：戰前x=65*2double t=65*1double 戰爭中x=77*2double t=77*1double戰前戰爭中結論：戰爭中鯊魚的比例比戰前高。 2.慢跑者與狗 一慢跑者在平面上沿著他喜歡的路徑跑步，突然遭到一只狗的攻擊，這只狗以恒定的速度跑向慢跑者，試計算狗追趕的軌跡。并就當慢跑者沿路徑或（t為時間參數）跑動時，給出具體的數值結果和運動軌跡圖（狗的初始位置和速度可以

7、自行設定）。解：1. 模型建立 當慢跑者沿路徑2慢跑時，設時刻t慢跑者的坐標為（X(t),Y(t),狗的坐標為（x(t),y(t),狗的速率為w=20,則X=10+20cos t, Y=20+15sin t, 狗從（0,0）出發，建立狗的運動軌跡的參數方程： x(0)=0,y(0)=02. 模型求解建立M文件eq2.m如下：function dy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sq

8、rt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase2.m如下： t,y=ode45(eq2,0 10,0 0); Y=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(t); Y=20+15*sin(t); plot(X,Y,-)， hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)得到圖形：在chase2.m中，不斷修改tf的值，用二分法分別取tf=5,2.5,3.5,.,至3.15時，狗剛好追上慢跑者，即如下圖三、思考 自然界中不少吃農作物的害蟲都有其天敵益蟲，也就是以害蟲為食餌的捕食者。因此害蟲和益蟲也構成了一個食餌捕食者系統。如果人類使用的某種殺蟲劑，既能殺死害蟲，也能殺