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1、向量與三角形內心、外心、重心、垂心知識的交匯一、四心的概念介紹（1）重心中線的交點：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心高線的交點：高線與對應邊垂直；（3）內心角平分線的交點（內切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結合（1）是的重心.證法1：設 是的重心.證法2：如圖三點共線，且分為2：1是的重心（2）為的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，為的垂心（3）設,是三角形的三條邊長，O是ABC的內心為的內心.證明：分別為方向上的單位向量，平

2、分,)，令（)化簡得（4）為的外心。典型例題：例1：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ ）A外心 B內心 C重心 D垂心分析：如圖所示，分別為邊的中點./點的軌跡一定通過的重心，即選.例2：（03全國理4）是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ B ）A外心 B內心 C重心 D垂心分析：分別為方向上的單位向量，平分,點的軌跡一定通過的內心，即選.例3：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ ）A外心 B內心 C重心 D垂心 分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂

3、足.=+=0點的軌跡一定通過的垂心，即選.練習：1已知三個頂點及平面內一點，滿足，若實數滿足：，則的值為（ ）A2 B C3 D62若的外接圓的圓心為O，半徑為1，則( )A B0 C1 D3點在內部且滿足，則面積與凹四邊形面積之比是（ ）A0 B C D4的外接圓的圓心為O，若，則是的（ ）A外心 B內心 C重心 D垂心 5是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，若，則是的（ ）A外心 B內心 C重心 D垂心6的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，則實數m = 7（06陜西）已知非零向量與滿足(+)·=0且·= , 則ABC為( )A三邊均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等邊三角形 D等邊三角形8已知三個頂點，若，則為（ ）A等腰三角

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