1、2015-2016第1學期數學建模課程設計題目 ：醫療保障基金額度的分配姓名：學號：班級：時間： 摘 要 隨著人們生活水平的提高及社會制度的發展,醫療保險事業顯得越來越重要,各企業也隨之越來越注重員工的福利措施，醫療保障基金額度的分配也成為了人們的關注熱點。擴大醫療保障受益人口也是政府和企業面臨的難題，因而根據歷史統計數據，合理的構造出擬合曲線，分析擬合函數的擬合程度，從而為基金的調配以及各種分配方案做方向上的指導。本文針對A,B兩個公司關于醫療保障基金額度的合理分配問題，根據兩公司從1980-2003年統計的醫療費用支出數據，科學地運用了MATLAB軟件并基于最小二乘法則進行了多項式曲線擬合

2、，成功建立了醫療保障基金額度的分配模型。最后，對不同階數的多項式擬合曲線的擬合程度進行了殘差分析，并輸出相關結果，得出擬合程度與多項式階數的關聯。此問題建立在收集了大量數據的基礎上，以及利用了MATLAB編程擬合曲線，使問題更加簡單，清晰。該模型經過適當的改造，可以推廣到股票預測，市場銷售額統計等相關領域。關鍵字：matlab，最小二乘多項式擬合,階數，殘差分析一 問題重述某集團下設兩個子公司：子公司A、子公司B。各子公司財務分別獨立核算。每個子公司都實施了對雇員的醫療保障計劃，由各子公司自行承擔雇員的全部醫療費用。過去的統計數據表明，每個子公司的雇員人數以及每一年齡段的雇員比例，在各年度都保

3、持相對穩定。各子公司各年度的醫療費用支出見下表（附錄1）。 試利用多項式數據擬合，得到每個公司醫療費用變化函數，并繪出標出原始數據的擬合函數曲線。需給出三種不同階數的多項式數據擬合，并分析擬合曲線與原始數據的擬合程度。二模型假設1假設A,B兩公司在1980年底才發放醫療保障基金。 2假設在19802003年期間，A,B公司的雇員健康狀況基本穩定，即沒有大規模的疾病出現。 3假設在1980-2003年期間，每個子公司的雇員人數以及每一年齡段的雇員比例，在各年度都保持相對穩定。三問題分析解決醫療保障基金額度的分配問題，就是為了固定資源得到最優配置。在此問題中，由于給定的均是離散的數據點，并且屬于非

4、線性相關的點，因此我們采用最小二乘法的思想對離散數據點進行多項式擬合，分別作出了不同階數（一階，二階，三階）的擬合曲線，并對各擬合曲線的擬合程度進行了定性和定量的分析，本文主要采用的是圖示法和殘差分析法。由題設知，A,B兩個子公司在1980-2003年的醫療保障費用支出已給定，利用matlab中的繪圖函數plot函數先將給定的離散點繪出，觀察圖形的基本走勢，最終確定出利用最小二乘法的基本思想，將多項式作為基函數對已知節點進行擬合，即多項式擬合。為了達到更好的擬合程度，分別采用了不同階數的曲線擬合，并對最終擬合結果進行誤差分析。采用最小二乘法則進行擬合曲線時，實際上是求一個系數向量，該系數向量是

5、一個多項式的系數。在matlab中，主要用polyfit函數求得擬合多項式的系數，再用polyval函數按所得多項式計算所給出的點上的函數近似值。1polyfit函數的調用格式：P,S= polyfit(X,Y,n )2. polyval函數的調用格式：Y=polyval(P,X) 說明：X,Y為已知離散數據點，n為多項式階數，返回P為冪次從高到低的多項式系數向量,是一個行向量。S是一個數據結構，返回采樣點的誤差向量。本題中，將年分，公司A,B的保障基金的數值分別構造成矩陣。X=1980:2003;A= 8.28,8.76,9.29,10.73,10.88,11.34,11.97,12.02,

6、12.16,12.83,13.90,14.71,16.11,16.40,17.07,16.96,16.88,17.20,19.87,20.19,20.00,19.81,19.40,20.48;B=8.81,9.31,10.41,11.61,11.39,12.53,13.58,13.70,13.32,14.32,15.84, 14.67,14.99,14.56,14.55,14.80,15.41,15.76,16.76,17.68,17.33,17.03,16.95 16.66;其中X是年份矩陣,A是公司A的數值矩陣，B是公司B的數值矩陣。四模型建立通過對該問題的分析，基于最小二乘曲線擬合的大量

7、調研資料結果表明，采用多項式數據擬合所得到的擬合優度較其他形式的基函數所得的擬合結果高，因此，本題中假定了所給定的離散數據點是服從一般多項式的形式： 。 于是，以年份X作為自變量，醫療費用支出作為因變量Y，根據散點圖的走勢，對A,B兩子公司分別作了以下階數的數據擬合：（1） 直線趨勢方程：（2） 二階多項式趨勢方程：（3） 三階多項式趨勢方程：（4） 五階多項式趨勢方程：利用matlab軟件進行了繪圖，殘差分析，相應的程序源代碼見附錄。五模型求解1. A子公司的相關數據擬合信息1.1 A公司的離散數據散點圖：根據離散點圖的走勢，確定擬合階數。1.2 A子公司不同階數擬合曲線與原始數據比較示意圖

8、以及相應的殘差變化圖如下：程序運行結果見附錄2：2. B子公司的相關數據擬合信息2.1 B子公司的離散數據散點圖： 根據離散點圖的走勢，確定擬合階數。2.2 B子公司不同階數擬合曲線與原始數據比較示意圖以及相應的殘差變化圖如下：程序運行結果見附錄2 .六模型分析與改進1 模型分析與檢驗:本文主要采用的是基于matlab的多項式擬合，實現了對于給定離散數據，在同一坐標下繪出不同階數（一階，二階，三階，五階）的擬合曲線與原始數據的對比圖以及殘差變化圖，并將多項式系數，殘差以表格形式輸出，整個建模過程直觀，清晰。下面具體從擬合值的準確性來檢驗模型的優良性。方法一：對于模型的擬合程度，可直接將擬合函數

9、和實際值繪制在同一坐標下，對數據進行直觀的對比，從而判斷所得擬合函數的優良。方法二：可以利用（）（二范數）來求取各階的實際數值與擬合函數值之間的波動情況，簡略的以此來鑒定該階數在特定的那種情況下的擬合程度。根據圖示以及殘差返回值可知，A，B兩子公司在采用多項式擬合時，不同階數的擬合曲線都是相對穩定的，比較而言，采用較高（n<=5）階進行擬合時，誤差會較小，擬合程度較為理想，但當階數達到一定程度時，會出現龍格現象，即擬合的病態問題。因此，為了避免這種病態的產生，在實際應用過程中，應盡可能采用低階進行擬合，對于實現要求較高次數的多項式擬合，應采用分段，低次的多項式進行組合擬合。2 模型評價:

10、2.1 模型優點：(1) 本文對A,B公司在進行四個模型的建模時，基函數采用的是相對簡單，形式較統一化的多項式，整個擬合過程相對簡單，便于理解。(2) 利用matlab繪圖功能實現了對于給定離散數據，在同一坐標下繪出不同階數（一階，二階，三階，五階）的擬合曲線與原始數據的對比圖以及殘差變化圖，對后續的模型分析和檢驗提供了較為直觀的圖形依據。(3) 利用matlab標準輸出，將不同階數（一階，二階，三階，五階）的多項式系數，殘差以表格形式打印出來，對后續的模型分析和檢驗提供了較為準確的數據依據。2.2 模型缺點：(1） 在建立模型時，只是對文中所給定的離散數據進行了簡單的擬合，功能相對單一，可擴

11、展性差。(2) 模型的準確性直接影響模型的正確性，在數據處理方面存一定的不足，影響模型的正確性。 (3） 按題目要求本文只是簡單的運用多項式擬合，得到每個公司醫療費用變化函數，適用性不強。3 模型改進和推廣：(1) 在擬合時可用較為復雜的一般的擬合函數代替簡單的多項式擬合，得到每個公司醫療費用變化函數，使得結果更加精確， (2)過去的統計數據表明，每個子公司的雇員人數以及每一年齡段的雇員比例，在各年度都保持相對穩定，本文建立的模型可用來預測2003年之后各子公司各年度的醫療費用支出情況。（3）本文建立的模型可用來預測各部分比例較固定的事物的發展趨勢，比如預測某一地區短期內某一類產品的幾類子產品

12、的銷售量；（4）本文建立的模型可推廣到市場預測，對市場調查后的數據進行運算、處理以及股票預測等應用領域。七建模心得數學建模，對于我們數學專業的學生來說并不陌生，但又不是太了解。本學期開設了數學模型，使我們真正知道了什么叫做數學建模。在學習之中，鍛煉了我們的能力，獲益非淺。真正用到了數學的理論知識去解決我們在實際生活上的一些問題。從最初的“建模”簡介，我們了解到數學在實際生活中的應用之廣、之深、之切。小到日常的衣食住行，大到科技進步，人類生存。龐大的數學知識體系良好地規范我們的生活，與我們每個人都息息相關，并隨著科技的進步，數學與我們的關系也越來越密切。終于明白了，為什么數學是真正的科學工具，是

13、人類發展進步的基礎學科，它既能規范現在，又能預測未來。在這次實踐中，我們選擇的是關于醫療保障基金額度的分配模型 ，可以說是一個小模型，里面所用到的知識和方法也是比較容易的。在分配到相應題目之后，全體組員就開始著手分頭行動，經過三天的努力模型基本建成，通過三天的互相交流，我們感覺到團隊精神是數學建模是否取得好成績的最重要的因素，一隊四個人要相互支持，相互鼓勵。在今后的學習生活中，我們應當將理論與實踐相結合，努力提高自己的數學專業水平，盡早成為一名優秀的數學人。參考文獻：1姜啟源 謝金星 葉俊，數學模型，北京：高等教育出版社，2011年.2李慶揚 王能超 易大義，數值分析，北京：清華大學出版社，2

14、008年.3劉衛國，MATLAB程序設計與應用，北京：高等教育出版社，2009年.4Gerald Recktenwald ，數值方法和matlab實現與應用，北京：機械工業出版社，2004年.附錄：附錄1:年度公司A公司B19808.288.8119818.769.3119829.2910.41198310.7311.61198410.8811.39198511.3412.53198611.9713.58198712.0213.70198812.1613.32198912.8314.32199013.9015.84199114.7114.67199216.1114.99199316.4014.

15、56199417.0714.55199516.9614.80199616.8815.41199717.2015.76199819.8716.76199920.1917.68200020.0017.33200119.8117.03200219.4016.95200320.4816.66附錄2(matlab程序源代碼）：X=1980:1:2003;Y=8.81,9.31,10.41,11.61,11.39,12.53,13.58,13.70,13.32,14.32,15.84, 14.67,14.99,14.56,14.55,14.80,15.41,15.76,16.76,17.68,17.33,

16、17.03,16.95 16.66;xfit=linspace(1980,2003);p1=polyfit(X,Y,1);yfit1=polyval(p1,xfit);r1= Y-polyval(p1,X);p2=polyfit(X,Y,2);yfit2=polyval(p2,xfit);r2= Y-polyval(p2,X);p3=polyfit(X,Y,3);yfit3=polyval(p3,xfit);r3= Y-polyval(p3,X);p5=polyfit(X,Y,5);yfit5=polyval(p5,xfit);r5= Y-polyval(p5,X);fprintf('

17、nCurve coefficientsn ');fprintf(' constant x x2 x3 x4 x5n ');fprintf('liner ');fprintf(' %14e',fliplr(p1);fprintf('n'); %fliplr(p1)對p1實施左右翻轉fprintf('quadratic');fprintf(' %14e',fliplr(p2);fprintf('n');fprintf('cubic ');fprintf('

18、 %14e',fliplr(p3);fprintf('n');fprintf('higher ');fprintf(' %14e',fliplr(p5);fprintf('n');subplot(2,1,1);plot(X,Y,'-p',xfit,yfit1,'g-',xfit,yfit2,'m:',xfit,yfit3,'b:',xfit,yfit5,'y-');legend('data','liner',&#

19、39;quadratic','cubic','higher');xlabel('X');ylabel('Y');title('線性，二階，三階，五階的擬合曲線與原始數據比較圖');subplot(2,1,2);plot(X,r1,'-o',X,r2,'-s',X,r3,':d',X,r5,'-*');legend('liner','quadratic','cubic','higher

20、9;);xlabel('X');ylabel('Y');title('線性，二階，三階,五階的擬合曲線殘差變化圖');fprintf('nresidualsn |r|_2 max errorn ');fprintf('liner %8.5f %8.5fn',norm(r1),norm(r1,inf); %norm(r1)求矩陣r1的二范數。fprintf('quadratic %8.5f %8.5fn',norm(r2),norm(r2,inf);fprintf('cubic %8.5f %

21、8.5fn',norm(r3),norm(r3,inf);fprintf('higher %8.5f %8.5fn',norm(r5),norm(r5,inf);附錄3(程序用到的相關數據)：X=1980:2003;A= 8.28,8.76,9.29,10.73,10.88,11.34,11.97,12.02,12.16,12.83,13.90,14.71,16.11,16.40,17.07,16.96,16.88,17.20,19.87,20.19,20.00,19.81,19.40,20.48;B=8.81,9.31,10.41,11.61,11.39,12.53,

22、13.58,13.70,13.32,14.32,15.84, 14.67,14.99,14.56,14.55,14.80,15.41,15.76,16.76,17.68,17.33,17.03,16.95 16.66;其中X是年份矩陣,A是公司A的數值矩陣，B是公司B的數值矩陣。附錄4(最終運行結果)：A子公司的運行結果：Curve coefficients constant x x2 x3 x4 liner -6.444269e+002 3.307435e-001quadratic -5.533161e+004 5.525200e+001 -1.378892e-002cubic -8.152659e+006 1.225326e+004 -6.138868e+000 1.02