1、第三講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（解答）一 內(nèi)容提要1、三個(gè)微分中值定理：羅爾定理（用來(lái)證與某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)的方程根的存在性，注意輔助函數(shù)的構(gòu)造、與零點(diǎn)定理的異同）；拉格朗日定理（可用來(lái)證不等式，從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明函數(shù)本身的性質(zhì)）；柯西定理（注意有兩個(gè)函數(shù)，這一點(diǎn)有時(shí)在解題時(shí)是一個(gè)提示）。2、單調(diào)性；應(yīng)用（證不等式，根的唯一性）。3、極值、最值：極值的定義，求法（先求駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，再用第一或第二充分條件判別）；第二充分條件的擴(kuò)充；應(yīng)用（證不等式，根的唯性）；最值的求法與應(yīng)用題。4、 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)（注意曲線方程的不同給法）。5、 泰勒公式（怎么展開(kāi)，某項(xiàng)系數(shù)的求法，余項(xiàng)的寫(xiě)法）及應(yīng)用（證不等式；

2、求極限等）。6、 函數(shù)作圖與曲線的漸近線的求法。水平漸近線： 則是水平漸近線。鉛垂?jié)u近線：，則是鉛垂?jié)u近線。斜漸近線：，則是斜漸近線。考試要求：* 理解羅爾（Rolle）定理拉格朗日( Lagrange)中值定理了解泰勒定理柯西（Cauchy)中值定理，掌握這四個(gè)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用* 會(huì)用洛必達(dá)法則求極限*掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，了解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法及其應(yīng)用*會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間內(nèi)，設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí)，的圖形是凹的；當(dāng)時(shí)，的圖形是凸的），會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)和漸近線*會(huì)描述簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形二 常考知識(shí)點(diǎn)1、洛必達(dá)法則求極限2、利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)

3、的性質(zhì)（單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點(diǎn)等），函數(shù)可以是顯式、隱式、參數(shù)方程形式）。3、 求曲線的漸近線（水平、鉛垂、斜漸近線）。4、 利用導(dǎo)數(shù)方法，求實(shí)際問(wèn)題中的最大、小值問(wèn)題。5、 利用微分中值定理，證明函數(shù)屬性。6、 證明函數(shù)不等式（常數(shù)不等式也可轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式證明）。三 例題1 與中值定理的相關(guān)題目例1 設(shè)在上二階可導(dǎo)，。證明（1）存在，使得。（2）存在，使得。證明 不妨設(shè)，則一定存在一定存在 有零點(diǎn)定理存在（2） 在上使用ROLLE定理 存在使得 在上使用ROLLE定理 存在使得例2 設(shè)在0，1上可微，。證明存在，使得。證明 由，由積分中值定理 令在上滿足ROLLE定理的條件， 存在使得

4、 即 例3 在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，試證（1）存在，使得。（2）對(duì)任意的存在使得。證明 （1） 令在上滿足零點(diǎn)定理的條件， 存在使得 即 （2）令在上滿足rolle定理的條件， 存在使得 即 例4 在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，試證（1）存在，使得。（2）存在兩個(gè)不同的，使得。證明 （1）令在上滿足零點(diǎn)定理的條件， 存在使得 即 。（2）對(duì)函數(shù)在上使用拉格朗日定理 存在使得所以 例A 設(shè)在（-1，1）內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，試證：（1）（-1，1）內(nèi)的任意，存在唯一的使得成立。（2）。 證明 因?yàn)樵冢?1，1）內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以有拉格朗日中值定理 如果存在 那么 即 與

5、矛盾，所以（-1，1）內(nèi)的任意，存在唯一的使得成立。（2） 有泰勒公式 介于0和之間 即有： 即 從而 即 例B在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。若存在，證明：（1）在內(nèi)；（2）在內(nèi)存在，使。證明 （1） 若存在，由于 （2）；令，則在上滿足柯西中值定理的條件，故內(nèi)存在，使得 即 2 不等式的證明（結(jié)合單調(diào)性，極值等）例C 證明時(shí)，。證明 令 即 從而 時(shí)，。例6：證明時(shí)，（1）；（2）。證明 （1）令 則 即 時(shí)，；（2）令 則 即 從而 即例7.：證明時(shí)，。證明 令 在上滿足拉格朗日中值定理，即有（其中）即 當(dāng) 時(shí)，。3、洛必達(dá)法則 例5：已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與為等價(jià)無(wú)窮小，求和解所以 。19：已知當(dāng)時(shí)，

6、函數(shù)與是等價(jià)無(wú)窮小，則(A) (B) (C) (D) 解 例 D求極限 解 因?yàn)?所以 原式=。法二：用泰勒公式，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以 原式=例 E 求極限 解 原式=例20：求極限解 原式= 其中 原式=4、討論方程根的存在情況（結(jié)合單調(diào)性，極值等）例F 問(wèn)方程有幾個(gè)實(shí)根？解 令 的定義域?yàn)?令得駐點(diǎn)故在處取得極大值（1） 時(shí) 方程有2個(gè)實(shí)根（2） 時(shí) 方程有1個(gè)實(shí)根（3） 時(shí) 方程沒(méi)有實(shí)根。例8. 證明方程恰有兩個(gè)實(shí)根。解 令     00極小值極大值，所以方程恰有兩個(gè)實(shí)根。例9、給出方程，就的不同取值，討論方程根的個(gè)數(shù)。解 令 的定義域?yàn)?令 且所以 時(shí)

7、方程只有一個(gè)實(shí)根得駐點(diǎn)故在處取得極小值（1）時(shí) 方程有2個(gè)實(shí)根（2）時(shí) 方程有1個(gè)實(shí)根（3）時(shí) 方程沒(méi)有實(shí)根綜上所述：（1）時(shí) 方程有2個(gè)實(shí)根（2）時(shí) 方程有1個(gè)實(shí)根（3）時(shí) 方程沒(méi)有實(shí)根（4） 時(shí)方程只有一個(gè)實(shí)根5. 單調(diào)性、曲線凹凸性及拐點(diǎn)、函數(shù)的極值與最值例10. 已知函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)的，求的取值范圍。解 函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)的，則例11. 設(shè)函數(shù)由確定，求曲線上凸的的取值范圍。解 ，曲線上凸的，則所以 例12：設(shè)函數(shù)由方程確定，試判斷曲線在點(diǎn)（1，1）附近的凹凸性。解 對(duì)方程求導(dǎo)， 將 代入上式，得根據(jù)保號(hào)性曲線在點(diǎn)（1，1）附近是凸的。例13求函數(shù)在內(nèi)的極值。解 所以 函數(shù)在

8、取得極小值例：由不等式23可以得到 -2a + a O，則a的取值范圍是（ ）A.a9/5 B.a2 C.Oa3 D.a3例14二階連續(xù)可導(dǎo)，。則（ ）。A 極大 B 極小 C (0,)拐點(diǎn) D 以上都不對(duì)。例15：設(shè)函數(shù),具有二階導(dǎo)數(shù)，且。若是的極值，則在取極大值的一個(gè)充分條件是（）（A）（B）（C）（D）6曲線的漸近線（特別是斜漸近線）例16曲線的斜漸近線方程為（ ）。解 是一條鉛直漸近線所以有一條斜漸近線為例17：曲線漸近線的條數(shù)為（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3解 是一條鉛直漸近線是一條水平漸近線是一條斜漸近線。8結(jié)合函數(shù)的圖形例18設(shè)的圖形為：abcde則在區(qū)間 上單調(diào)遞增

9、；在上單調(diào)遞減；極大值；極小值；曲線的上凸區(qū)間 （ ） ；上凹區(qū)間（ ）。解 練習(xí)：1. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，并求該函數(shù)圖形的漸近線。解 解 極大值極小值函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為極大值為，極小值為所以漸近線為2. 當(dāng)取下列哪個(gè)值時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn).（A）2 （B）4 （C）6 （D）8解 極大值極小值 而且所以時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn).3. ，證明。證明 令 ，有 。4. 證明時(shí)，。 證明 令在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，即有 當(dāng)時(shí)， 所以 當(dāng)時(shí)，。5. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求這個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線的拐點(diǎn)。 解 不存在，所以 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為 函數(shù)的對(duì)應(yīng)曲線的拐點(diǎn)為。6. 在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且滿足。證明存在，使得。 證明 由 ，根據(jù)積分中值定理有：存在使得 令在上連續(xù)，可導(dǎo)， 有羅爾定理知 存在，使得。7. 就的不同值討論方程在內(nèi)根的個(gè)數(shù)，并證明結(jié)論。解 所以 即 （