1、.1關于積分限函數的小結關于積分限函數的小結-習題課選例習題課選例.2積分上限函數（或變上限定積分）( )( )xaF xf t dt的自變量是上限變量x，在求導時，是關于x求導，但在求積分時，則把x看作常數，積分變量t在積分區間,xa上變動。 弄清上限變量和積分變量的區別是對積分限函數進行正確運算的前提。 .3定理 1 如果)(xf在,ba上可積，則xadttfxF)()(在,ba上連續. 定理 2 如果)(xf在,ba上連續，則xadttfxF)()(在,ba上 可 導 ， 且).()()(xfdttfdxdxFxa 一一 關于積分限函數的理論關于積分限函數的理論.4注： （）從以上兩個定

2、理可看出，對)(xf作變上限積分后得到的函數，性質比原來的函數改進了一步： 可積改進為連續； 連續改進為可導。 這是積分上限函數的良好性質。 而我們知道， 可導函數)(xf經過求導后， 其導函數)(xf 甚至不一定是連續的。 .5（）定理（2）也稱為原函數存在定理。它說明：連續函數必存在原函數，并通過定積分的形式給出了它的一個原函數。我們知道，求原函數是求導運算的逆運算，本質上是微分學的問題；而求定積分是求一個特定和式的極限，是積分學的問題。定理（2）把兩者聯系了起來，從而使微分學和積分學統一成為一個整體，有重要意義。 .6推論 1 )()(xfdttfdxdbx 推論 2 )()()()(x

3、xfdttfdxdxc 推論 3 )()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx .7（1） 比如 xdttftxxF0)()()( (被積函數中含 x , 但 x 可提到積分號外面來.) 在求)(xF時，先將右端化為xxxxdtttfdttfxdtttfdttxf0000)()()()(的形式，再對x求導。 二二 積分上限函數的幾個變式積分上限函數的幾個變式.8（2）比如 xdtxttfxF0)()( ( f 的自變量中含 x, 可通過變量代換將 x 置換到 f 的外面來) 在求)(xF時， 先對右端的定積分做變量代換xtu（把x看作常數） ， 此時，dudt ，0t時，xu；x

4、t 時，0u，這樣，)(xF就化成了以u作為積分變量的積分下限函數：000)()()()()(xxxduuufduufxduufuxxF，然后再對 x 求導。 .9( 3 ) 比如 10)()(dtxtfxF (這是含參數 x 的定積分, 可通過變量代換將 x 變換到積分限的位置上去) 在求)(xF時，先對右端的定積分做變量代換xtu （把x看作常數） ，此時，xdudt ，0t時，0u；1t時，xu ，于是，)(xF就化成了以u作為積分變量的積分上限函數：xduufxxF0)(1)(，然后再對 x 求導。 .10（1） 極限問題： 例 1 xxxdtttttdt00230)sin(sinlim2 （答：12） 例 2 xdttxx0sinlim （提示：本題用洛必達法則求不出結果，可用夾逼準則求。 答：2） 例 3 已知極限1sin1lim00 xxxdtcttabxe， 試確定其中的非零常數.,cba （答：.1, 1, 1cba） 三三