1、精選優質文檔-傾情為你奉上題目：中心極限定理及意義課 程 名 稱： 概率論與數理統計 專 業 班 級： 成 員 組 成： 聯 系 方 式： 2012年5月25日摘要：本文從隨機變量序列的各種收斂與他們的關系談起，通過對概率經典定理中心極限定理在獨立同分布和不同分布兩種條件下的結論做了比較系統的闡述，揭示了隨機現象最根本的性質平均結果的穩定性。經過對中心極限定理的討論，給出了獨立隨機變量之和的分布用正態分布來表示的理論依據。同樣中心極限定理的內容也從獨立分布與獨立不同分布兩個角度來研究。同時通過很多相關的正反例題，進行說明這些定理所給出的條件是否是充要條件；簽掉在實際問題中靈活的應用和辨別是否服

2、從我們給出的定理條件。最后了解一些簡單簡便的中心極限定理在數理統計、管理決策、僅是計算以及保險業務等方面的應用，來進一步的闡明了中心極限定理分支學課中的中重要作用和應用價值。關鍵詞：隨機變量，獨立隨機變量，特征函數，中心極限定理引言： 在客觀實際中有許多隨機變量，他們是由大量的相互獨立的隨機因數的綜合影響所形成的，而其中每一個別因數在總的影響中所起的作用都是渺小的，這種隨機變量往往近似地服從正態分布，這種現象就是中心極限定理的客觀背景。中心極限定理自提出至今，其內容已經非常豐富。在概率論中，把研究在什么條件下，大量獨立隨機變量和的分布以正態分布為極限的這一類定理稱為中心極限定理。但其中最常見、

3、最基本的兩個定理是德莫佛-拉普拉斯中心極限定理和林德貝格-勒維中心極限定理。一、三個重要的中心極限定理1.獨立同分布的中心極限定理設隨機變量相互獨立，服從統一分布，具有數學期望和方差，則隨機變量之和的標準化變量，的分布函數對于任意滿足， 2.李雅普諾夫定理設隨機變量相互獨立，它們具有數學期望和方差，記 若存在正數，使得當時，則隨機變量之和的標準化量化，的分布函數對于任意滿足，3.棣莫弗拉普拉斯定理設隨機變量服從參數為的二項分布，則對于任意，有二、中心極限定理的意義： 首先，中心極限定理的核心內容是只要n足夠大，便可以把獨立同分布的隨機變量和的標準化當作正態變量，所以可以利用它解決很多實際問題，

4、同時這還有助于解釋為什么很多自然群體的經驗頻率呈現出鐘形曲線這一值得注意的事實，從而正態分布成為概率論中最重要的分布，這就奠定了中心極限定理的首要功績。其次，中心極限定理對于其他學科都有著重要作用。例如數理統計中的參數（區間）估計、假設檢驗、抽樣調查等；進一步，中心極限定理為數理統計在統計學中的應用鋪平了道路，用樣本推斷總體的關鍵在于掌握樣本特征值的抽樣分布，而中心極限定理表明只要樣本容量足夠地大，得知未知總體的樣本特征值就近似服從正態分布。從而，只要采用大量觀察法獲得足夠多的隨機樣本數據，幾乎就可以把數理統計的全部處理問題的方法應用于統計學，這從另一個方面也間接地開辟了統計學的方法領域，其在

5、現代推斷統計學方法論中居于主導地位.三、中心極限定理的應用：1.1保險學的概率論數學原理保險體現了“人人為我，我為人人”的互助思想，它以數理統計為依據。保險中的風險單位是發生一次風險事故可能造成標的物損失的范圍，也就是遭受損失的人、場所或事物。風險單位是保險公司確定其能夠承擔的最高保險責任的計算基礎。理想狀態下的風險單位應獨立同分布，這種現象的意義在于保險人可以據此向每個潛在的被保險人收取同樣的保費。同時根據中心極限定理，含有n個風險單位的隨機樣本的平均損失符合正態分布，這個結論對保險費率的厘定極為重要。保險公司各險種的交費標準是經過精算后以同期銀行利率比照制定的，所以在此基礎上應盡可能地多承

6、保風險單位，也就越可能有足夠的資金賠付保險期內發生的所有索賠，從而使保險公司的運營更加平穩，也就越有利于投保人或被保險人.既然可利用中心極限定理能合理地厘定保險費率，為何老年人投保一再被提高門檻呢？京江晚報3月28日就有報道“對保險公司來說，老年人屬于高風險人群，存在的不確定因素較多，老年人發生醫療費用支出和意外事故的風險要比年輕人大。所以，從賠付率的角度考慮，保險產品在推出前會經過精密測算，設置相應的年齡門檻和不同的繳費標準”.我們以最簡單的一年定期壽險為例說明保險公司為何對中老年人保險總提高門檻，老年人投保壽險與年輕人有何區別。如表1所示是臺灣遠雄人壽千喜男性一年定期壽險的部分費率及死亡率

7、（見附錄三、四）。為說明問題，我們選取25-29歲作為年輕人的代表，61-65歲為老年人的代表，將這兩個年齡段進行比較。遠雄人壽千喜男性一年定期壽險的部分費率及死亡率 表1單位：元/每萬元基本保額年齡保費死亡率年齡保費死亡率25180.612150.26180.622350.27180.632570.28180.642810.29190.653080.現假定每個年齡各有1000個人投保，則按照下列計算公式得出表2：總保費=1000 單個人的保費（元）=0.1 單個人的保費（萬元），賠付額=。不同年齡的總保費及賠付額 表2 單位：萬元年齡25262728296162636465總保費1.81.8

8、1.81.81.921.523.525.728.130.8賠付額0.950.930.920.920.9314.916.418.019.721.7由于計算中假定每個年齡的投保數相同，而老年人的死亡率比年輕人高，則導致賠付額的基數較大，所以還不能很好的解釋問題，這里再引入賠付率（賠付率=賠付額/總保費），得出表3。各年齡的賠付率 表3年齡25262728296162636465賠付率52.8%51.7%51.1%51.1%48.9%69.3%69.8%70.0%70.1%70.5%從表3可知，25-29歲總體的賠付率呈下降趨勢，而61-65歲總體的賠付率呈上升趨勢且賠付率處于較高水平。那么對于一個

9、保險公司，她的經營主要是以盈利為目的，老年人身體狀況較差，是疾病、死亡的多發群體，面臨的風險大，所以為老年承保壽險時保險公司的賠付率相對較高。因此老年人投保壽險一再被提高門檻。同時，老年人壽險的保費若定價較高，但老年人收入相對偏低，可能買不起，而定價過低，保險公司也承受不起，從而更加影響公司的盈利。因此，壽險公司更愿意把目光投向年輕人群體。1.2 定期壽險保險金的給付模型在上述比較中，我們知道了保險公司更青睞于年輕群體，但是在保險公司追求利益的同時還應考慮到他們的償還能力。我國保險法規定“保險公司應該具有與其業務相適應的最低償付能力。”下面我們就將建立定期壽險保險金給付模型。首先，根據國際精算

10、協會的慣例，采用下列符號：（x）：一個新生兒生存至x歲，記為個體（x）；：（x）活過年齡x+t歲的概率，即（x）至少再活t年的概率；：（x）活到t歲的個體恰好在此年齡死亡的可能性，稱為死亡力。且當為常數時有=：是衡量在某個確切時點上利率水平的指標，稱為利息力，簡稱息力；：稱為貼現因子，表示1年后得到1元在年初時刻的現值；T（x）: 個體（x）的未來生存時間現假定利率為常數i，則有： 再記n年定期壽險的保險人給付額的現值為Z，則Z的精算現值為 = Z的j階矩為=（其中=現假定1000個x歲獨立的個體投保一年定期壽險，死亡保險金為1萬元，在死亡后立即給付。死亡力為常數=0.06。死亡給付是由某投資

11、基金提供，投資基金的利息力為=0.04。若要能夠支付未來死亡保險金的概率不低于0.975，現在所需資金最低額度是多少？記1000個個體的未來生存時間分別為，總給付金額的現值為，則精算現值為，二階矩為因此方差=0.0527。設W為滿足要求所需的最低資金額度，利用中心極限定理，我們可以得到：再利用正態分布0.975的分為點1.96，得即W67萬元。所以，若需要能夠支付未來死亡保險金的概率不低于0.975，現在所需資金的最低額度是67萬元。1.3 定期壽險業的盈虧我們已經知道壽險公司的經營是為了盈利，而一個保險公司的盈虧，是否破產，我們也可以運用中心極限定理的知識做到估算和預測。例如設某壽險公司在一

12、段時間內有n個同一年齡的人投保一年定期壽險，他們是相互獨立彼此互不影響的，且在一年內沒有新的投保人加入該項保險業務，也沒有人退保。那么就可以利用中心極限定理估計該公司接下這些保單的盈虧概率。設每份保單的保費為M，保額為Q，該年齡的死亡率為p，令=，i=1,2,n,則有，再結合中心極限定理有該保險公司的虧本概率為 (7)若計算出的較小，則對公司的盈利有好處，若偏大，則為了盈利著想，壽險公司可通過增加保費等手段來降低虧本率。1.4 實例分析例1 ：某保險公司的老年人壽保險有10000人參加，每人每年交200元。若老人在該年內死亡，公司付給其家屬1萬元。設老年人的死亡率為0.017，問：（1）保險公

13、司在一年內的這項保險中虧本的概率多大？ （2）保險公司一年的利潤不少于20萬元的概率多大？解：設表示一年內參保人的死亡數。則由題可知。（1）要使保險公司虧本，必須滿足 -10000<0>200則P（>200）=1- P（0 200） 1- =1- -=0.01即保險公司虧本的概率為1%。（2）要使保險公司一年的利潤不少于20萬元，必須滿足200 10000-180則P（0 180） =-=0.7823即保險公司一年的利潤不少于20萬元的概率為78.23%。2.1中心極限定理在決策問題中的應用決策是為了達到某種預定的目標，在若干可供選擇方案中決定一個合適方案的過程。那么在就某事

14、的可行性進行決策時，單個人認為是否可行稱為個體決策，幾個人（至少3個人）按照少數服從多數的方法決定是否可行稱為集體決策。俗話說，人多力量大，那么我們習慣上認為的集體正確決策的概率大于每個單個個體正確決策的概率是否正確呢？下面將應用中心極限定理來討論分析這個問題。 首先，我們給出一些簡單的數據，利用特殊法看看該說法是否正確。見表4。記n為參與集體決策的人數，假定每個個體做出正確決策的概率相同，且均為p，決策方式也是根據少數服從多數原則，則在空格中所填數據為集體決策正確的概率，記為（其中n=30、40時應用中心極限定理計算）。集體決策做出正確決策的概率 表4 n3510203040p=0.250.

15、15620.10350.01970.00390.00090.0001p=0.50.50.50.50.50.50.5p=0.750.84380.89650.92190.98610.99910.9999從表4中，我們可以看到以下兩個情況：情況一：，由此我們得出第一個猜測，猜測一：。情況二：，顯然由這一情況可知，集體正確決策的概率大于每個單個個體正確決策的概率這一說法是不一定正確的，同時我們也得出了第二個猜測，猜測二：。現在就利用一般法檢驗兩個猜測是否正確，下面將結合中心極限定理來做出判斷。設X為n個人中做出正確決策的人數，令，記，則。將X標準化，并由中心極限定理可得 N(0,1)。當n成分大時，

16、(8)為下面討論方便，令 (9)那么對于猜測一：（1）當時，f(n)是大于0的單調增函數， 若 。 同理可證明（2），（3）。所以猜測一是正確的。對于猜測二：當n充分大時，我們可以得到由此可知，當n充分大時，若則無限趨近于1，而p是一個大于1/2小于1的常數，所以必定有，即是的必要條件；相反當時，是否也有呢？不妨采用反證法說明。若p=，則=>p，矛盾。若0<p<，則當n充分大時，趨于0，而p是一個大于0小于的常數， 所以也不可能大于p,矛盾。即p只能屬于（，1）。因此，當n充分大時，在驗證猜測一與二的基礎上，我們可以得出這樣的結論：當且僅當0.5<p<1時集體決策

17、為正確的概率大于個體決策為正確的概率，并且當參與人數n不斷增加時，集體決策正確的概率也不斷趨向于13.0 中心極限定理在生產供應、需求上的應用現實生活中，當廠家的生產量大于需求量時，會導致商品的積壓以及商品價值難以體現；而當廠家的生產量小于需求量時，供給又難以滿足社會需求。為了盡量防止“供”過于大于“求”及盡可能的滿足社會需求度，我們就要利用中心極限定理來估算一些值，具體如下。3.1 根據現有生產能力及用戶需求狀態，估算能滿足社會需求的可靠程度某工廠負責供應某地區n個人的商品供應，在一段時間內每人需用一件該商品的概率為p，假定在這段時間內每個人購買與否彼此獨立，現該工廠僅生產M件商品，試估計能

18、滿足該地區人們需求的概率。若記，i=1,n則 , 通過查正態分布表可求得。3.2 根據社會需求狀態來確定生產任務某工廠負責供應某地區n個人的商品供應，在一段時間內每人需用一件該商品的概率為p，假定在這段時間內每個人購買與否彼此獨立，現該工廠至少有的把握滿足社會需求，試問該工廠需要生產商品的件數M。若記，i=1,n則 ， 令，則 M， （11）所以該工廠至少需要生產件商品。3.3 根據需求及產品質量情況來確定生產量某工廠負責供應某地區的商品供應，該商品的次品率為p,而在一段時間內共需M件該商品且要求至少有的可靠程度來保證居民購買到的是正品，求該工廠的生產量N。若記，i=1,N，則 所以由可知令，再通過解不等式 由上式可解出生產量N的范圍。3.4 例題分析設某電視機廠生產液晶電視機以滿足某地區100家客戶的需求，若由以往的統計資料表明：每一用戶對該電視機的年需求量服從=2的泊松分布，現在該廠這種電視機的年產量為220臺，能以多大的把握滿足客戶的需求量呢？若該廠要有97.5%的把握滿足客戶的需求，則該廠至少生產多少臺這種液晶電視機？現在該廠引進先進技術，將液晶電視機的出廠正品率提高到95%，現估計一年內該地區的社會總需求量為500臺，則為了有99.7%的把握保證客戶購買到的是正品液