1、精選優質文檔-傾情為你奉上FIR數字濾波器的優化設計學生：趙然然，信息系指導教師：李永全，信息系摘要FIR數字濾波器在保證幅度特性滿足技術要求的同時，又很容易做到有嚴格的線性相位特性，故FIR數字濾波器用得很多，因而研究FIR數字濾波器的優化設計具有重要的理論意義。本文介紹FIR數字濾波器的原理，并在此基礎上利用加權平方誤差最小準則、等波紋切比雪夫逼近和最小二乘法對FIR濾波器進行優化設計。在每種設計方法中，都對原理、設計要求、設計步驟、選擇特性、最優處理以及相關工具函數等進行了詳細介紹。同時，采用MATLAB軟件對FIR數字濾波器進行設計，簡化了設計中繁瑣的計算，而通過濾波前后信號的頻譜圖的

2、對比，分析不同濾波器的濾波效果，從而更快的得到優化設計方法。關鍵詞FIR數字濾波器 優化設計方法加權平方誤差最小準則 等波紋切比雪夫逼近 最小二乘法 專心-專注-專業Optimum Design for FIR Digital FilterStudent:Zhao Ranran, Information DepartmentInstructor：Li Yongquan, Information DepartmentAbstractFIR digital filter ensure the range characteristics and meet the technical requirem

3、ents at the same time,and it is easy to do a strict linear phase characteristic,so it is used much more.It is meaningful to research the optimum design for FIR digital filter. This paper introduced the principle of the FIR filter,and used weighed least2squares error criterion, equivalent ripple Cheb

4、yshev approximation and the least squares method to carry on the optimized design to the FIR filter. Every kind of design method are explained in detail about its requirements, steps, select properties and optimal treatment. Designing the FIR filter by Matlab can simplify the complicated computation

5、 in simulation,and comparing the signals spectrum viewers and the sound files which have been generated to analyzing the filtering effect of different digital filters,and gaining the optimization techniques faster.KeywordsFIR digital filter optimization techniques weighed least2squares error criteri

6、onequivalent ripple Chebyshev approximationleast squares method前言數字濾波器(digital filter)是由數字乘法器、加法器和延時單元組成的一種裝置。MATLAB是第四代計算機語言,是目前公認的國際上最流行的科學與工程計算的軟件工具。隨著科技和新興技術的發展，數字濾波在圖像處理、語音識別和模式識別等 數字信號處理中占有越來越重要的地位。與模擬濾波器相比，數字濾波器可以滿足濾波器幅度和相位特性的嚴格要求，可以克服模擬濾波器所無法克服的電壓漂移、溫度漂移和噪聲等問題。有限沖激響應（FIR）濾波器可以保證嚴格的線性相位。同時由于其

7、實現結構主要是非遞歸的，因此 FIR 濾波器可以穩定工作。 FIR 濾波器被廣泛用于各類數字信號處理系統中實現卷積、相關、自適應濾波、正交插值等處理,對于非實時系統和低速采樣系統,FIR 濾波器的運算可在 CPU 或 DSP 處理器上采用軟件實現。而由于它越來越重要的地位，本文將對其進行一些簡要的介紹，并通過 MATLAB來實現 FIR 數字濾波器的優化，使FIR 數字濾波器設計精度提高，簡化其設計過程，而通過這一系列的介紹和實驗，讓我們進一步的理解和掌握 FIR 數字濾波器。FIR數字濾波器的優化設計1 研究的目的和意義1.1 研究的目的 與模擬濾波器相比,數字濾波器除了具有數字信號處理固有

8、優點外,還有濾波精度高、穩定性好、靈活性強等優點。FIR數字濾波器是數字信號處理的基礎，用來對信號進行過濾，檢測與參數估計等處理，利用數字濾波器可改變信號中所含頻率分量的相對比例或濾除某些頻率分量，使其達到所需要的效果。它在通信、語言，圖像、自動控制、雷達，軍事、航空航天、醫療和家用電器等眾多領域得到了廣泛的應用。尤其在圖像處理、數據壓縮等方面取得了令人矚目的進展和成就。FIR濾波器可以得到嚴格的線性相位,但它的傳遞函數的極點固定在原點,只能通過改變零點位置來改變性能,為了達到高的選擇性,必須用較高的階數,對于同樣的濾波器設計指標,FIR濾波器要求的階數可能比IIR濾波器高510倍。通過本次設

9、計，完成FIR數字濾波器設計的優化，達到提高設計精度 ,簡化編程過程,降低濾波器成本等目的。1.2 研究的意義 大部分工程技術領域中都會涉及到信號的處理問題，其信號表現形式有電、磁、機械以及熱、光、聲等。信號處理的目的一般是對信號進行分析、變換、綜合、估值與識別等。如何在較強的噪聲背景下提取出真正的信號或信號的特征，并將其應用于工程實際是信號處理的首要任務。數字信號處理中一個非常重要且應用普遍的技術就是數字濾波。數字濾波器有FIR數字濾波器和IIR數字濾波器，IIR數字濾波器的設計方法是利用模擬濾波器成熟的理論及設計圖表進行設計的，因而保留了一些典型模擬濾波器優良的幅度特性，但設計中只考慮了幅

10、度特性，沒考慮相位特性，所設計的濾波器一般是某種確定的非線性相位特性。為了得到線性相位特性，對IIR濾波器必須另外加相位校正網絡，使濾波器設計變得復雜，成本也高，又難以得到嚴格的線性相位特性。而FIR濾波器在保證幅度特性，滿足技術要求的同時，很容易做到有嚴格的線性相位特性，故FIR數字濾波器用得很多。數字濾波技術是數字信號分析、處理技術的重要分支。無論是信號的獲取、傳輸，還是信號的處理和交換都離不開濾波技術，它對信號安全可靠和有效靈活地傳輸是至關重要的。在所有的電子系統中，使用最多技術最復雜的要算數字濾波器了。數字濾波器的優劣直接決定產品的優劣，因而研究FIR數字濾波器的優化設計具有重要的理論

11、意義。2 FIR數字濾波器的基本概念2.1 濾波器簡介在通信這個大背景之下，信號在傳輸的過程中會受到很多因素的影響，例如多徑衰落，噪音干擾，遠近效應，甚至只是簡單的電平衰落。這些復雜的環境，會嚴重干涉信號的正常傳輸。對某些系統而言，如果不對自然傳輸的信號加以處理，會使得有效信息產生較大的誤差。所以，如何保證信息傳輸的有效性，成為信息處理的一個關鍵問題。濾波器就是這個環節中非常重要的一個組成部分。它的作用就是阻隔干擾信號，無用信號，使之相對有用信號更大幅度的衰減，最大可能實現濾波，達到系統要求的理論理想效果。2.1.1 濾波器的實現濾波器可以是軟件也可以是硬件。除去濾波的特別作用不談，其實它也只

12、被看做一個信號處理的系統。站在系統的角度，在設計中需要考慮很多因素，例如穩定性等。設計的方法，也基于信號與系統的理論前提。伴隨數字系統的優勢逐日顯露，實際應用中的濾波器大多也是數字濾波器，它可以用以下函數來概括：（1）簡單來看，數字濾波器的功能，就是把輸入序列x (n)通過一定的函數運算變換成輸出序列y (n)，滿足相關映射關系。實際設計中，需要先明確濾波器的使用要求，然后確定濾波器的技術指標，從而開始具體設計。歸納起來，濾波器實現的過程包括四個一般步驟：確定逼近函數：設計能夠滿足理想技術指標的轉換函數。實現方程：將轉換函數對應為濾波網絡中對數字序列進行運算的方程或相應的系數向量組。研究缺陷：

13、研究實際中的非理想因素的影響，如采樣值是否超出存儲的有限字長等問題。并做出相應的改進或轉變，以求最大程度的逼近理想效果。產品實現：使用一定的硬件設備，例如DSP處理器甚至是普通計算機，能夠滿足專用運算來構建濾波器，它的優點是可以進行實時的處理。當然也可以直接通過軟件和專用的數字信號處理芯片來實現。這與實際背景有關。本文的研究討論只涉及到濾波器逼近函數的相關內容，從理論上認識和探討一系列逼近函數和對應理想濾波器的差距。利用MATLAB仿真平臺實現設計分析，達到認識和總結的目的。2.1.2 濾波器的分類濾波器種類繁多，不同的角度也會造成分類方法的不同?？梢詮墓δ?、實現方法或者是設計方法上來分類等。

14、大方向上，濾波器可以分為模擬濾波器和數字濾波器。在模擬濾波器的設計過程中可能更多的涉及到電阻，電容，電感等元器件的應用；他們分別針對模擬系統和數字系統。實際中數字濾波器的應用相對廣泛。從濾波效果來分：能通過的信號頻段可以分為低通（Lowpass）、高通（Highpass）、帶通(Bandpass)和帶阻濾波器（Bandstop）四種。從硬件組成和應用來看，濾波器種類繁多，比如有源濾波器，自適應濾波器、復數濾波器以及多維濾波器等。總的來講還可以分為兩大類，就是經典濾波器和現代濾波器。如果信號和噪聲處于不同的頻帶，則濾波器只要具有較好的濾波選頻特性就可以達到理想的效果。但是如果信號噪聲并沒有從頻率

15、上區分開來，傳統的選頻濾波器就無能為力了。另一類通過對隨機信號的統計特性進行濾波的現代濾波器就可以滿足這種要求。利用自相關函數和功率譜估計出來的信號可能比原來具有更高的性噪比。維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器都屬于現代濾波器。本文介紹的濾波器無論是原理還是應用上都只涉及到傳統經典濾波器。面對選頻背景，主要從濾波的算法上尋優。從實現方法上來看，數字濾波器還可以分為IIR和FIR，即無限單位沖激響應濾波器和有限單位沖激響應濾波器。FIR濾波器具有嚴格的線性相位特征，且始終穩定，應用相對比較廣泛。而IIR濾波器則用在相位要求不是很嚴格的場合。此處簡要的分析一下IIR相對于FIR的優勢。IIR濾

16、波器相對而言，明顯的特點就是響應無限。同時它的極點可以處于任意位置，會引起系統的不穩定。并且它有反饋回路。它的優勢在于所要求的階數比FIR的低，同時可以借助模擬濾波器的研究成果，直接查表查圖，設計過程非常方便。2.1.3 采樣定理在討論的濾波器認識之前，簡要介紹采樣定理。重要性在于它是數字信號理論研究方法的理論基礎。自然產生的信號一般都是連續的，如果選用數字系統（如計算機）來處理信號，就會涉及到數字信號和模擬信號的相互轉化。在模數轉化（A/D）之前，必須選擇采樣的周期和量化的電平數。選擇錯誤會產生嚴重誤差并丟失有用信息。采樣定理給出了正確選擇采樣周期T的準則。對頻率為的連續正弦信號采樣時，采樣

17、定理要求采樣頻率應大于的兩倍： （2）連續信號可以看做是由一個或多個正弦信號組成，假設其最高頻率是，如果采樣頻率是最高頻率的兩倍或兩倍以上，則正弦信號可以通過等間隔的樣值來唯一表示。當采樣序列通過一個對高于的正弦信號有抑制作用的系統時，原始連續信號就可以由采樣序列重建。由上可知最小采樣頻率是，采樣頻率的一半被定義為奈奎斯特頻率（Nyquist frequency），也被叫做折疊頻率，它的最小值其實也就是。奈奎斯特頻率。如果抽樣信號的頻率小于最小抽樣頻率但大于奈奎斯特頻率，經采樣成為離散信號后，就有小于奈奎斯特的信號混入，混入頻率的出現就仿佛有兩個信號存在，一個頻率是，另一個是。在實際應用中，通

18、常選擇采樣頻率為信號頻率最大值的4倍。 利用采樣定理正確提取數字信號成為數字系統分析和實踐的基礎理論。2.2 FIR數字濾波器特點歸納FIR數字濾波器有以下幾個特點： FIR屬于數字濾波器，所以它具有數字濾波器所具備的一切通有優點。例如精度高，靈活性可靠性強，能夠達到高性能的技術指標，便于時分復用，和大規模集成生產。在結構上，它屬于非遞歸結構，沒有輸入到輸出的反饋。FIR濾波器響應有限，利于編成，計算延遲相對較小。可以做到任意幅度的頻響特性。因為有限，所以可以采用快速傅里葉變換。大大提高運算效率。故而實踐起來方便有效，成為一種非常常見的數字濾波器。FIR濾波器具有非常好的線性相位。FIR的極點

19、只能在圓點，所以只能通過調節零點來調整濾波器性能。因為FIR濾波器響應有限，且極點在單位圓內，所以一定穩定。在一定的時延的背景下，任意的信號都可以變成有限長序列，所以總能用因果系統進行實現。FIR的階數要求可能是IIR濾波器的510倍，在這一點上增加了一定延遲。假設FIR數字濾波器的單位脈沖響應h(n)為一個N點序列，0nN-1，則濾波器的系統函數為：H(z)=n=0N-1h(n)z-n (3)說明該系統有N-1階極點在z=0處，有N-1個零點位于z平面。FIR數字濾波器有直接型、級聯型、線性相關型、快速卷積型和頻率采樣型等幾種結構。2.3 FIR數字濾波器的網絡結構2.3.1 直接型結構直接

20、型結構又被稱為卷積型或橫截性。其系統的差分表達式為： (4)在結構中，輸出y(n)是每個沿著這條鏈的抽頭信號由相應的系數（脈沖響應）加權，然后將所得乘積相加得到。設計方便簡單，所用的乘法器相對較少，使用最為普遍。直接型對其他參數的控制，例如，零點位置等，沒有其他結構有優勢。根據差分方程可以直接畫出系統的結構信號流圖如圖2-1所示，該結構稱為直接型結構，也稱為卷積型、橫截型結構。圖1 FIR濾波器的直接型結構直接型結構的優點：簡單直觀，乘法運算量較少。缺點：調整零點較難。 2.3.2 級聯型結構 當需要控制濾波器的傳輸零點時，可將H(z)分解為實系數二階因子的乘積形式：Hz=n=0N-1h(n)

21、z-n=k=1N-12(0k+1kz-1+2kz-2) (5)上式中，Hz為h(n)的z變換，0k，1k，2k為實數，N-12表示取的整數部分。當N為偶數時，N-1為奇數，除有N-12個階子系統外，還有一個一階子系統，圖2給出了N為奇數時的級聯型結構。圖2 FIR濾波器的級聯型結構該結構的優點：調整零點比直接型方便。缺點：Hz中的系數比直接型多，因而需要的乘法器多。當Hz的階次高時，也不易分解。 2.3.3 線性相關型結構FIR濾波器的線性相位結構有偶對稱和奇對稱，不論h(n)為偶對稱還是奇對稱都有： 當N為偶數時，系統函數為： å-=-±= Hz=n=0(N2)-1h(n

22、)z-n+z-N-1-n (6)當N為奇數時，系統函數為： Hz=n=0(N2)-1h(n)z-n+z-N-1-n+hN-12z-N-12 (7)對這兩種情況，都可以用FIR直接型實現，其信號流圖如圖3所示。(a)N為偶數(b)N為奇數圖3 線性相位型結構 這種結構在本質上是直接型，但乘法次數比直接型省了一半。 2.3.4 頻率采樣型結構系統函數在單位圓上作N等分取樣就是單位取樣相應h(n)的離散傅里葉變換Hk。Hk與系統函數之間的關系可用內插公式表示：H(z)=1-zNk=0N-1Hk1-WN-kz-1 (8)這個公式為FIR數字濾波器提供了另外一種結構頻率采樣型結構。頻率采樣型結構是一種用

23、系數將濾波器參數化的一種實現結構，這種結構由兩部分級聯構成即H(z)=1NHczk=0N-1Hkz (9)其中，級聯的第一部分Hcz=1-z-N為由N節延時單元構成的梳狀濾波器，是由N節延時單元組成的全零點網絡。 令Hcz=1-z-N=0，即zkN=1=ej2k，則有 zk=ej2kN ，k=0，1，2，N-1 (10)即在單位圓上有N個等間隔的零點，其頻率響應特性為 Hcej=1-e-jN=2je-jN2sinN2 (11)因而幅度響應為 Hcej=2sinN2 (12)級聯的第二部分為 k=0N-1Hkz=k=0N-1Hk1-WN-kz-1 (13)它是由N個一階網絡并聯組成，每個一階網絡

24、在單位圓上有 一個極點 zpk=WN-k=ej2kN (14)即該網絡在頻率為=2kN處響應為無窮大，故等效于諧振頻率為2kN的諧振器。一階網絡的極點正好與梳狀濾波器的一個零點相抵消，從而使得在該頻率上的頻率響應等于H(k)。這樣N個一階網絡的極點就和梳狀濾波器的N個零點相互抵消，從而在N個頻域采樣點上的頻率響應就分別等于N個H(k)值。FIR數字濾波器的頻率采樣型結構如圖4所示。圖4 FIR濾波器的頻率采樣結構 頻率采樣結構的優點：(1)在頻率采樣點k，H(ejk)，只要調整H(k)就能有效地調整頻響特性;(2)只要h(n)長度N相同，對于任何頻響，其梳狀濾波器部分和N個一階網絡部分完全相同

25、，只是各支路增益H(k)不同。相同部分便于標準化、模塊化。 缺點:(1)寄存器長度都是有限的，零、級點可能不能正好抵消，造成系統不穩 ;(2)當N很大時，其結構很復雜，需要的乘法器和延時單元很多。2.4 FIR數字濾波器的線性相關如果FIR濾波器的單位脈沖響應h(n)為實數序列，并滿足一定的對稱性（可以是偶對稱也可以是奇對稱）。并且對稱中心在處，則該濾波器就能保證具有準確的線性相位。面對取值N的不同，h(n)可以被劃分為四種情況，它們分別對應了四種線性相位的濾波器。詳細介紹如下。1.時域特點FIR的時域特點可以歸結為以下兩類：群時延定義為，是一個常數，所以在此將第一類和第二類線性相位的特征統稱

26、為恒定群時延特性。偶對稱和奇對稱相比，除了具有線性相位特征之外，還有的固定相移，它們共同構成了正交變換網絡。2.頻域特點將線性相位具體分為四類，并在頻域上做出分析將特點歸納如下：綜合以上特點可以將四種線性相位的FIR濾波器的特點總結如下表1：表1 四種線性相位FIR濾波器的特性3 FIR數字濾波器的優化設計3.1 FIR數字濾波器的優化設計準則3.1.1 均方誤差最小準則該準則下是希望使得誤差能量最小。用表示理想的頻率響應，表示實際設計中所得到的濾波響應，并且以來表示頻率響應誤差： 所以均方誤差為：（15）將用沖擊響應來表示可以得到：（16）將沖擊帶入可以得到：（17）從此式中可以觀察得出：等

27、式右邊第二項的大小和設計值無關，只取決與給定的特性。并且要想讓取得最小值，就必須使第一項求和值最小，即：也就是說滿足：（18）上面這項表達式中剛好是矩形窗的設計結果。所以，滿足均方誤差最小準則的是矩形窗。矩形窗雖然過渡帶最窄，但是根據前面分析，由于吉布斯效應（Gibbs）效應，窗譜的肩峰過大，造成所設計出的濾波器通帶起伏不均勻，而阻帶的衰減則過小，并不能滿足設計要求。3.1.2 最大誤差最小化準則該準則又被稱作為加權切比雪夫等波紋逼近或雷米茲算法。在該準則中采用的方法為誤差函數加權的方法。它的主要思想是希望達到不同頻帶（比如通帶和阻帶）加權誤差的最大值相等的。具體分析，假設加權函數為，得到加權

28、逼近誤差函數可以定義為：。由于不同，所以值也可不同，根據不同頻帶的公差要求的松緊程度合理的選取不同加權值。只需使得各個頻帶上的即最大值要求一致即可。設計線性相位的加權切比雪夫等波紋逼近問題還可以抽象為一組系數，使得在逼近的各個頻帶上，的最大值達到最小。對此帕克斯（Parks）和麥克萊倫（McClellan）引進了逼近理論的一個定理，得出交錯定理。交錯定理是切比雪夫最優逼近算法基礎。定理明確指出，最優線性相位FIR濾波器加權逼近函數至少應該有（r+1）個極值（r是用于逼近函數的余弦函數的個數。具體而言的極值包括了以下2種情況：的極值點（大多數情況的極值同時也是的極值）單有極值點（不屬于）兩種極值

29、點的和就是極值點的最大數目。定理中還提到，在不同頻帶上解決逼近問題，誤差函數可以在每個頻率的端點上得到一個極點，這些點一般都不是的極點，當然和除外，此時可能有極點。比如在第1種線性相位中，最多有極值點r+2=(N+5)/2。同理可以推導出四種線性相位的FIR濾波器余弦數目（r）及極點數目以及的極值點數關系歸納在下表中：表2 四種線性相位參數特點類型極值1. N為奇數，h(n)偶對稱2. N為偶數，h(n)偶對稱3. N為奇數，h(n)奇對稱4. N為偶數，h(n)奇對稱對于低通響應來講，在第1種情況中用r+2=(N+5)/2個極值實現的濾波器比交錯原理要求的r+1=(N+3)/2個極值還多一個

30、，故把這類濾波器叫做最多波紋濾波器。在雷米茲算法（remez）中可以設計任何最優線性相位FIR濾波器。但是在設計之前需要預先知道極值點數的最大值數目。目前，它是一種最為實用的最優化算法?？偨Y起來就是給定單位抽樣響應長度N、帶通和阻帶的截止頻率進行設計。算法由加權切比雪夫逼近來描述。逼近函數是由r個獨立的預先函數之和，再利用交錯定理給出最大誤差最小化最優逼進等波紋逼近。3.2 基于加權平方誤差最小準則的FIR數字濾波器的優化設計3.2.1 基于均方誤差最小準則的FIR 數字濾波器的優化設計FIR數字濾波器的優化設計問題 ,是在滿足給定要求下求出 FIR 數字濾波器的沖激響應 ,使h ( n)的寬

31、度最小(或者說過渡帶最窄) 。常用的均方誤差最小準則,是以誤差的能量最小為判據。若以 E( j)表示逼近誤差譜,即E(j) = HD (j) - H(j) (19)HD (j)為給定濾波器的頻率響應, H( j)是根據所尋找的 h ( n)求得的頻率響應 Hj=n=0N-1h(n）e-jn (20)均方誤差為: 2=1202HD（ej）- H（ej）2d=1202E(j)2d （21）均方誤差最小準則就是使2最小。按矩形窗口法進行設計所產生的均方誤差比任何其他設計方法所產生的都小,但矩形窗口的旁瓣電平太平,致使阻帶衰減太小,常常不能滿實際要求。因此,均方誤差最小準則不適于用作 FIR 數字濾波

32、器的優化設計,采用 “最大誤差最小準則” ,即:minmax| E( j) | A , N 個抽樣值 (22)用改變 N 個抽樣值(或 N 個 h ( n)值) ,使在A 域內最大的絕對誤差最小,這個 A 域包括通帶和阻帶。為了統一使用最大誤差最小準則,采用加權函數的形式,即min0WE2d (23)(23)式中 W () 為預先給定的誤差加權函數。采用隨機抽樣最小二乘法進行設計,將 FIR數字濾波器看成一個線性系統,從而可通過辯識系統參數的方法來設計濾波器的系數。3.2.2 FIR數字濾波器優化設計的算法實現設計 FIR 數字濾波器的算法如下:(1)根據設計要求確定 HD() 、H () 、

33、 濾波器的類型(系數奇或偶對稱)及濾波器的階數 N ;(2)選定采樣點個數 L ,置參數初值(0) = 0及遞推最小二乘算法的協方差矩陣初值 P (0) =0 ,置 t = 1 ;(3)按輸入輸出數據產生方法產生 x ( t )及 y( t ) ;( t ) = ( t - 1) +Pt-1x(t)1+xtPt-1x(t)yt-xt(t-1) (24)P(t)=P(t-1)-P(t-1)x(t)xtPt-11+xtPt-1x(t) (25)(4)若 t < L ,則 t = t + 1 并返回(3) ,否則到(5) ;(5)根據(4)(20)式計算 h (0) , h (1) , , h

34、( N - 1) ;(6) H( Z) = h (0) + h (1) z-1+ h (2) z-2+ h ( N - 1) z-(N-1)，結束。3.3 基于等波紋切比雪夫逼近準則的最優化設計3.3.1 等波紋切比雪夫逼近準則在濾波器的設計中 ,通常情況下通帶和阻帶誤差要求是不一樣的。等波紋切比雪夫逼近準則就是通過對通帶和阻帶使用不同的加權函數 ,實現在不同頻段(通常指的是通帶和阻帶)的加權誤差最大值相同 ,從而實現其最大誤差在滿足性能指標的條件下達到最小值。3.3.2 加權切比雪夫逼近誤差及交錯定理線性相位FIR 數字濾波器根據單位抽樣響應 h ( n) 的奇偶對稱性以及 h( n) 的長

35、度 N 的奇偶性 ,總共可以分為四種類型。盡管如此 ,FIR數字濾波器的頻率響應依然可以采用如下的統一形式來表示:H（ej）=e-jN-1/2ej/2kHd (26)其中: k 0 ,1 , Hd() 為幅度函數,它是一個可正可負的純實數。 利用三角恒等式知識和交錯定理可得:H() = Q() P() (27)在FIR數字濾波器的四種類型中:Q() , P() 的表達式可參閱文獻。 則加權切比雪夫誤差公式可定義為:E() = W() Hd - H() (28)其中: E() 為加權誤差, W() 為逼近誤差加權函數, Hd為理想幅度函數, H() 為實際濾波器幅度函數。 將(27)式代入(28

36、)式并令:W () = W() Q () , Hd =Hd/ Q()經推導可得:E() = W () H() - P() (29)(29)式也是最終的加權切比雪夫逼近誤差函數公式。 那么線性相位 FIR數字濾波器的加權切比雪夫等波紋逼近問題實際上就是求解 P() 表達式的問題,從而使得在實行逼近的頻率范圍內 E() 的最大絕對值達到最小。 在此定義該最小值表達式為:E() = minmax | E(ej) | (30)A 為實行逼近的頻帶。 為了求解(30)式, Parks -McClellan把逼近理論中的交錯點定應用到濾波器設計中,從而得出了如下的交錯定理:設 P() 是 r個余弦函數的線

37、性組合,即：P() =n=0r-1a(n)cosn (31)A 是0內所研究的一個閉子集, Hd是 A 上的一個連續函數,則 P() 在 A 內能夠最佳，并且唯一地逼近 Hd的充要條件是:加權切比雪夫逼近誤差函數 E() 在A中至少存在r +1個極值點,即在 A中存在1<2 < L <r+1共 r + 1個頻率點,各頻率點均滿足關系式:E(i) = - E(i+1) = ±E() (32)| E(i) | = maxA E() i= 1 ,2 r (33)3.3.3 Remez 算法Remez算法是由 Parks和McClellan等人在1972年推導出來的。 它是

38、將FIR數字濾波器的五個參數( N ,1 , 2 ,p , s) 中的 N , p , s和1/2固定,而視1 (或2) 為變量的一種迭代方法。 盡管 Herrmann 等人在1971年也推導出來了將 N和1 , 2固定,而將p , s設為變量的另一種迭代方法,但由于前一種算法最靈活且最有效。 因而成為最優化設計的主要方法。 該方法求解過程為:(1)求解:首先在濾波器的通帶和阻帶內等間隔地取 r + 1個頻率點k ( k = 0 ,1 r)作為交錯點的初始值, 然后利用交錯定理中P() =n=0r-1a(n)cosn的表達及的解析式求解出滿足下式的值: WHd-P() =-1k k = 0 ,

39、1 , L , r (34)(2)求解 P() :利用求解出來的值和預先假定的r +1個頻率點求出 P(i) (其中 i = 0 ,1r - 1)的值,然后根據拉格朗日插值公式求出 P() 的最終表達式。(3)求解 E() :將求得的 P() 代入下式判定其是否滿足不等式| E() | =| W () Hd() - P() | < 的要求。 若滿足要求,則說明已經獲得了最優解;若在某些頻率點不滿足要求,則需要將這些頻率點作為新的極值點重新計算,經過反復的迭代直到在所有的頻率點上都滿足不等式的要求。 這時的值就是最終所求的值。 這樣便獲得了最佳逼近。3.3.4 基于等波紋切比雪夫逼近準則的

40、FIR數字濾波器的最優化設計步驟(1)給出所需的頻率響應 Hd , 加權函數W() 以及濾波器的單位抽樣響應 h ( n) 的長度 N。(2)由(1)中給定的參數來形成所需的 Hd, W , P() 的表達式。(3)根據 Remez算法,求解逼近問題。(4)根據求得的 P() 表達式,利用傅立葉逆變換計算出單位抽樣響應 h(n) 的表達式即可獲解。3.4 基于最小二乘法的 FIR 數字濾波器的優化設計3.4.1 設計思想RLS 思想是選擇使得各次估計誤差平方和為最小即Q=t=1net2=t=1nYt-'Xt2。換言之,Q 函數最小二乘估計就是使誤差函數 Q 為最小那個， 這個量可以理解

41、為誤差能量.因此,最小二乘估計使誤差能量為最小.結合 RLS 對 FIR 濾波器進行優化設計,在頻域計算用 H（ej）表示實際得到濾波器頻響,用Hd（ej）表示要求頻響,以 E（ej）表示頻響誤差,即 E（ej）=Hd（ej）- H（ej） （35）則誤差能量：E（ej）2=Hd（ej）- H（ej）2 （36）均方誤差： e2=12-Hd（ej）- H（ej）2d （37）設計目的是選擇一組 h(n）F-1H（ej）使得e2最小.先將公式(35)中Hd（ej）和H（ej）分別用它們沖激響應表示Hdej=-hd(n)e-jn，Hej=n=0N-1h(n）e-jn。由于用 FIR 濾波器來逼近,

42、故 h(n)長度是有限的.將它們代入(35)可得Eej=n=0N-1hdn-h(n）e-jn+其他nhd(n)e-jn (38)按照帕塞瓦公式有e2=n=0N-1hdn-h(n）2+其他nhdn2 (39)由此式可看出,等式右邊第二個求和項只取決于給定特性hdn，它和設計值 h（n）無關，故是一個常數，要使e2最小,就必須使第一項求和式最小,即希望hdn-h(n）=0，0nN-1. 在這一條件下 ，就有e2=min(e2) ，也就是說要滿足 h （n）hdn 0nN-10 其他n，這個式子恰好是矩形窗的結果。3.4.2 推導低通、高通、帶通、帶阻 h（n）表達式(1)低通 h（n）表達式假設H

43、dej=1 0c0 c , 窗函數Rn=1 -N-12nN-120 其他n 則 h（n）sin(n-N-12)c(n-N-12) 其中 N 值由矩形窗過渡帶寬決定，N4V=2Vf(2) 高通 h(n)表達式 h（n）l- c n=N-12-sinc(n-N-12)(n-N-12) nN-12 其中 N值為 N4V=2Vf , 為過渡帶寬。（3）帶通 h(n)表達式 h（n）sin2(n-N-12)(n-N-12)-sin1(n-N-12)(n-N-12) 其中 N 值仍由過渡帶寬決定.(4)帶阻 h(n)表達式h（n）1+1+2 n=N-12sin1n-N-12-sin2n-N-12n-N-1

44、2 n=N-123.4.3 FIR 數字濾波器幅度特性推導由于 h（n）hdn n，所以根據 FT 性質，時域乘積，在頻域卷積。因此實際 FIR 濾波器幅度函數為 H（）H（ej）為H（）12-Hd（）WR-d 下面結合幾個關鍵頻率點,根據上式說明卷積過程：(1)當 0 時,響應 H（0）可以近似看作 從 到 WR全部積分面積，我們用 H（0）進行歸一化。(2)當 =c時，Hd（）正好與WR-一半重疊,因此卷積結果正好等于 一半,即H(c)H(0)=0.5。(3)當 =c-2N 時，響應值 H(c-2N ) ，整個WR（）主瓣在Hd（）通帶以內，因此卷積得到最大值H(c-2N )=max，出現

45、正肩峰。(4)當 =c+2N 時，響應值 H(c+2N ) ， WR（）主瓣全部在通帶Hd（）之外,通帶內旁瓣負面積大于正面積,因此卷積達到最小值H(c+2N )min，出現負肩峰 。(5)當 >c+2N 時，WR（）左尾旁瓣掃過通帶 ，因此Hd（）圍繞零點波動。(6)c+2N<<c-2N 時，WR（）主瓣和左右旁瓣掃過通帶Hd（），所以圍繞 1 波動。4 用MATLAB來實現FIR濾波器的優化設計4.1 MATLAB簡介MATLAB是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）的簡稱，是美國MathWorks公司出品的商業數學軟件，用于算法開發、數據可視化、數據分析以及

46、數值計算的高級技術計算語言和交互式環境，主要包括Matlab和Simulink兩大部分。4.1.1 MATLAB基本功能MATLAB一種工程計算的高級語言，由美國的MathWorks公司發布，主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環境。它將數值分析、矩陣計算、科學數據可視化以及非線性動態系統的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平。MATLAB和、并稱為三大軟件。它在數學類科技應用軟件中在方面首屈一指。MATLAB可以進行運算、繪制和數據、實

47、現、創建用戶界面、連 接其他編程語言的程序等，主要應用于工程計算、控制設計、信號處理與通訊、金融建模設計與分析等領域。MATLAB的基本數據單位是矩陣，它的指令表達式與數學、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，FORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優點，使MATLAB成為一個強大的數學軟件。在新的版本中加入了對C,FORTRAN,C+,JAVA支持，可以直接調用，此外，許多的MATLAB愛好者都編寫了一些經典的程序，用戶可以直接進行下載就可以用。4.1.2 MATLAB的特點MATLAB最重要的特點就是它的易擴展性。每

48、個MATLAB用戶都可成為對其有貢獻的作者之一，并可創造自己的應用程序。在MATLAB近幾年的發展過程中，有許多科學家、數字家和工程師等開發了一些新的有價值的應用程序，所有程序完全不需要使用底層代碼來編寫，從而極大的促進了MATLAB的發展。4.1.3 MATLAB的優勢 工作平臺編程環境十分友好 編程語言簡單易用 數據的計算處理能力十分強大 圖像處理能力強大 模塊集合工具箱應用廣泛 程序的接口和發布平臺很實用 可以開發用戶界面4.2 優化設計的MATLAB實現在優化設計的MATLAB實現中，程序中經常使用remez函數，這種函數的使用方法為： b=remez(n,f,a,w,ftype)n為

49、待設計濾波器的階數；f是一個向量，它是一個0到1的正數a是一個向量，指定頻率段的幅度值；w對應于各個頻段的加權值函數的返回值b是設計出的濾波器的系數組成的一個長度為n+1的向量4.2.1 利用Remez函數設計等波紋低通濾波器設計要求：通帶截頻0.5，阻帶截頻0.6 , 采樣頻率2000Hz阻帶衰減大于等于40dB，通帶波紋0.1710和阻帶波紋0.01程序參見附錄中的1-(1)利用Remez函數設計等波紋低通濾波器圖5 等波紋低通濾波器的增益響應從參考程序及圖5以得到所設計出濾波器的參數如下：濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數為22濾波器的通帶截頻0.5，阻帶截頻0.6，過渡帶寬均

50、為0.1阻帶衰減為40dB，通帶波紋為0.1710，阻帶波紋為0.01對比設計要求與所設計出濾波器的參數可知，其各項參數均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。圖6 信號濾波前的時域圖和頻域圖圖7 信號濾波后的時域圖和頻域圖從圖6和圖7的圖像中可以看到：輸入信號是由兩個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設計要求。4.2.2 利用Remez函數設計等波紋帶通濾波器設計要求：通帶截頻0.3、0.6，阻帶截頻0.2、0.7 阻帶衰減大于等于40dB通帶波紋0.1710和阻帶波紋0.01采樣頻

51、率2000Hz程序參見附錄中的1-（2）利用Remez函數設計等波紋帶通濾波器圖8 等波紋帶通濾波器的增益響應從參考程序及圖8可以得到所設計出濾波器的參數如下：濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數為22通帶截頻0.3、0.6，阻帶截頻0.2、0.7，過渡帶寬均為0.1阻帶衰減為40dB，通帶波紋為0.1710，阻帶波紋為0.01對比設計要求與所設計出濾波器的參數可知，其各項參數均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。圖9 信號濾波前的時域圖和頻域圖圖10 信號濾波后的時域圖和頻域圖從圖9和圖10的圖像中可以看到：輸入信號是由四個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位

52、于濾波器通帶內的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設計要求。4.2.3 利用Remez函數設計等波紋帶阻濾波器設計要求：阻帶截頻0.3、0.6，通帶截頻0.2、0.7 阻帶衰減大于等于15dB通帶波紋0.01和阻帶波紋0.1710采樣頻率2000Hz程序參見附錄二中的1-（3）利用Remez函數設計等波紋帶阻濾波器圖11 等波紋帶阻濾波器的增益響應從參考程序及圖11可以得到所設計出濾波器的參數如下：濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數為22通帶截頻0.2、0.7，阻帶截頻0.3、0.6，過渡帶寬均為0.1阻帶衰減為15dB，通帶波紋為0.01，阻帶波

53、紋為0.1710對比設計要求與所設計出濾波器的參數可知，其各項參數均滿足設計指標，所設計出的濾波器即為設計所要求的濾波器。圖12 信號濾波前的時域圖和頻域圖圖13 信號濾波后的時域圖和頻域圖從圖12和圖13的圖像中可以看到：輸入信號是由四個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設計要求。4.3 利用濾波器處理加有噪聲的音頻波形4.3.1 利用窗函數法設計的低通濾波器處理加有噪聲的音頻波形程序參見附錄中的2-（1）利用窗函數法設計的低通濾波器處理加噪聲的音頻波形圖14 加噪前錄音波形的時域圖和頻域圖圖15 加噪后錄音波形的時域圖和頻域圖16 窗函數法設計低通濾波器的增益響應圖17 濾波后錄音波形的時域圖和頻域圖從參考程序及以上的四個圖像中可以得到如下結論：從錄音波形的頻域圖可以看到其頻率分量主要在0到6000Hz之間，噪聲