1、WORD格式絕密啟用前2021年普通高等學校招生全國統一考試理科數學本試卷 5 頁， 23 小題，總分值150 分。考試用時120 分鐘。本卷須知： 1答卷前，考生務必將自己的*、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用 2B 鉛筆將試卷類型 B填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處。2作答選擇題時，選出每題答案后，用2B 鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準

2、使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔。考試完畢后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：此題共12 小題，每題5 分，共 60 分。在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1集合A= x|x<1 ，B= x| 3x1 ，那么A AB x | x0B ABRCAB x | x1D AB2如圖，正方形 ABCD 內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色局部和白色局部關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，那么此點取自黑色局部的概率是1A B 48C1D 243設有下面四個命題p1：假設復數z滿足1R ；R ，那么zz專業資料整理WOR

3、D格式所有： 中華資源庫ziyuanku專業資料整理WORD格式pz2R，那么 zR ；2：假設復數 z 滿足p3：假設復數 z1 , z2滿足 z1 z2R ，那么z1z2；p4：假設復數zR ，那么zR .其中的真命題為來&源： ziyuankuA p1, p3Bp1, p4Cp2, p3Dp2, p44記Sn為等差數列 an 的前 n 項和假設 a4a524， S648 ，那么 an 的公差為A 1B 2C 4D 85函數f ( x)在(,) 單調遞減，且為奇函數假設 f (1)1 ，那么滿足 1 f ( x 2) 1的 x 的取值X圍是A 2,2B1,1C0, 4D1,36(1

4、12 )(1 x)6展開式中 x2的系數為xA15B 20C 30D 357某多面體的三視圖如下列圖，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為 2，俯視圖為等腰直角三角形 .該多面體的各個面中有假設干個是梯形，這些梯形的面積之和為A10B12C14D168右面程序框圖是為了求出滿足3n- 2n>1000 的最小偶數 n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入A A>1 000 和 n=n+1專業資料整理WORD格式所有： 中華資源庫ziyuanku專業資料整理WORD格式中華資源%庫B A>1 000 和 n=n+2C A1 000 和 n=n+1D A1

5、 000 和 n=n+29曲線 C1： y=cos x， C2： y=sin (2x+2)，那么下面結論正確的選項是3A 把 C1上各點的橫坐標伸長到原來的2 倍，縱坐標不變， 再把得到的曲線向右平移6個單位長度，得到曲線C2B把 C1上各點的橫坐標伸長到原來的2 倍，縱坐標中·華 資 源%庫ziy ku m不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線 C212C把 C1上各點的橫坐標縮短到原來的1 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移26個單位長度，得到曲線C2D把 C1上各點的橫坐標縮短到原來的1 倍，縱坐標不變， 再把得到的曲線向左平移212個單位長度，得到曲線C2210

6、 F 為拋物線C： y =4x 的焦點，過F 作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于 A、 B 兩點，直線l2與 C 交于 D 、E 兩點，那么 |AB|+|DE |的最小值為A16B 14C 12D 1011設 xyz 為正數，且2x3y5z，那么A 2x<3y<5 zB 5z<2x<3yC 3y<5z<2xD 3y<2x<5z12幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件.為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼的活動 .這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：數列1，1， 2， 1，2， 4， 1，2， 4

7、， 8，1， 2， 4， 8， 16，其中第一項為哪一項0，接下來的兩項是0101222， 2 ，再接下來的三項是2 ， 2， 2，依此類推 .求滿足如下條件的& 最小整數 N：N>100 且該數列的前 N 項和為 2 的整數冪 .那么該款軟件的激活碼是A440B 330C 220D 110二、填空題：此題共 4 小題，每題5 分，共20 分。13向量a，b的夾角為60°， |a|=2， |b|=1，那么 | a +2 b |=.中華資源%庫x2 y114x，y滿足約束條件2x y1，那么z3x2 y的最小值為.設xy02215雙曲線 C：x2y21 a>0，b&

8、gt;0 的右頂點為 A，以 A 為圓心， b 為半徑做圓 A，ab專業資料整理WORD格式所有： 中華資源庫ziyuanku專業資料整理WORD格式圓 A 與雙曲線 C的一條漸近線交于M、N 兩點。假設 MAN =60°，那么 C 的離心率為 _。16如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC 的中心為O。D、 E、 F 為圓 O 上的點， DBC， ECA ， FAB 分別是以BC， CA， AB 為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC ，CA，AB 為折痕折起DBC， ECA ， FAB，使得 D 、 E、 F 重合，得到三棱錐。當ABC 的邊長

9、變化時，所得三棱錐體積單位：cm3的最大值為_。三、解答題：共 70 分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、 23 題為選考題，考生根據要求作答。一必考題：共60 分。1712 分 ABC 的內角A， B， C 的對邊分別為 a， b， c， ABC 的面積為a23sin A（ 1求 sinBsinC;（ 2假設 6cosBcosC=1， a=3，求 ABC 的周長 .18. 12 分如圖，在四棱錐P-ABCD 中， AB/CD ，且BAPCDP90 . 1證明：平面PAB平面 PAD； 2假設 PA=PD=AB=DC，APD90

10、，求二面角A-PB-C 的余弦值 .19 12 分為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取 16 個零件，并測量其尺寸單位： cm根據長期生產經歷，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布 N ( , 2 ) 1 假設 生產狀態 正常，記 X表示一天內抽取 的 16中華資源%庫個零 件中其 尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件數，求P( X1)及 X的數學期望； 2一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(3 ,3) 之外的零件，就認為這專業資料整理WORD格式所有： 中華資源庫ziyuanku專業資料整理WORD格式條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常

11、情況，需對當天的生產過程進展檢查試說明上述監控生產過程方法的合理性；下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.951161616經計算得 xxi9.97 ，s1( xix )21 (xi2 16x 2 ) 20.212 ，16 i 116 i 116i1其中 xi為抽取的第 i 個零件的尺寸， i1,2,16 用樣本平均數x 作為 的估計值" ，用樣本標準差s作為的估計值" ，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進展檢查？剔除(&qu

12、ot; 3","3 ") 之外的數據， 用剩下的數據估計和 準確到0.01附：假設隨機變量 Z 服從正態分布N ( ,2) ，那么P(3Z3)0.997 4 ，0.997 4 160.959 2 ，0.0080.0920. 12 分223， P4 1，橢圓 C：x2y2 =1a>b>0，四點P11,1，P20,1，P31，ab23 中恰有三點在橢圓 C 上 .2（ 1求 C 的方程；（ 2設直線 l 不經過 P2點且與 C 相交于 A，B 兩點 .假設直線 P2A 與直線 P2B 的斜率的和為1，證明： l 過定點 .21. 12 分函數f x)ae2

13、x+(a 2) ex x. 1討論f (x)的單調性； 2假設f (x)有兩個零點，求 a 的取值X圍 .二選考題：共10 分。請考生在第22、23 題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計分。22 選修 44：坐標系與參數方程10 分在直角坐標系xOy 中，曲線 C 的參數方程為x3cos, 為參數，直線l 的參數方ysin,程為xa4t, t 為參數 .y1t ,專業資料整理WORD格式所有： 中華資源庫ziyuanku專業資料整理WORD格式1假設 a=-1 ，求 C 與 l 的交點坐標；2假設 C 上的點到 l 的距離的最大值為17 ，求 a.23 選修 45：不等式選講 10

14、 分函數 f x =x2+ax+4， g(x)= x+1 +x 1.（ 1當 a=1 時，求不等式 fxg x的解集；（ 2假設不等式 f xg x的解集包含 1， 1，求 a 的取值X圍 .2021年新課標 1 理數答案1.A2.B3.B4.C5.D6.C7.B8.D9.D10.A11.D12.A13. 2 314. 515.23316.4 1517.解： 1由題設得1 ac sin Ba2，即1 csin Ba.23sin A23sin A由正弦定理得1 sin C sin Bsin A.23sin A專業資料整理WORD格式所有： 中華資源庫ziyuanku專業資料整理WORD格式故 s

15、in B sin C2 .3112由題設及1得 cos B cosC sin B sin C, ，即 cos(B C ).222所以B C，故A.33由題設得1 bcsin Aa2，即 bc8 .23sin A由余弦定理得 b2c2bc9 ，即(bc)23bc 9 ，得 b c33 .故ABC 的周長為333.18.解： 1由BAPCDP90 ，得ABAP，CDPD .由于 AB CD ，故 ABPD ，從而 AB平面 PAD .Ziy uank u又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.2在平面PAD內做PFAD ，垂足為 F ，由 1可知，AB平面 PAD ，故 ABPF ，可

16、得 PF平面 ABCD.以 F 為坐標原點， FA 的方向為x軸正方向， | AB | 為單位長，建立如下列圖的空間直角坐標系 F xyz .由 1及可得A(2 ,0,0) ， P(0,0,2)，B(2,1,0) ， C (2 ,1,0) .2222所以PC (2 ,1,2)，CB( 2,0,0) ， PA(2 ,0,2 ) ， AB (0,1,0) .2222設 n(x, y, z) 是平面PCB的法向量，那么專業資料整理WORD格式所有： 中華資源庫ziyuanku專業資料整理WORD格式n PC 0，即2x y2z 0 ，22n CB02x0可取 n(0, 1,2) .設 m ( x,

17、y, z)是平面PAB的法向量，那么m PA0222x2z 0 ，m AB，即0y0可取 n (1,0,1).那么 cos<n, m>n m3 ，| n |m |3所以二面角 APBC 的余弦值為3.319.【解】 1抽取的一個零件的尺寸在(3,3 ) 之內的概率為0.9974，從而零件的尺寸在 (3 ,3 ) 之外的概率為0.0026，故X B(16,0.0026) .因此P(X 1)1P( X0)10.99740.0408.X 的數學期望為EX160.0026 0.0416.2 i如果生產狀態正常ziy uank u，一個零件尺寸在(3,3 ) 之外的概率只有0.0026，一天

18、內抽取的16 個零件中，出現尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408，發生的概率很小.因此一旦發生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況， 需對當天的生產過程進展檢查，可見上述監控生產過程的方法是合理的.ii 由x9.97, s0.212 ，得的估計值為"9.97 ，的估計值為"0.212，由樣專業資料整理WORD格式本數據可以看出有一個零件的尺寸在檢查 .( "3 ", "3 ") 之外， 因此需對當天的生產過程進展專業資料整理WORD格式剔除("" ""

19、之外的數據9.22，剩下數據的平均數為13 ,3 )(16 9.97 9.22) 10.02 ，15因此的估計值為 10.02.專業資料整理WORD格式所有： 中華資源庫ziyuanku專業資料整理WORD格式16222("""" 之外的數據160.212169.971591.134，剔除9.22，i 1xi3 ,3 )剩下數據的樣本方差為1 (1591.1349.2221510.022 )0.008，15因此的估計值為0.008 0.09.20. 12 分解：1由于 P3， P4兩點關于 y 軸對稱，故由題設知C經過 P3， P4兩點.又由 1113知

20、， C 不經過點，所以點 P2在C上.a2b222P1a4b112b24因此，解得a.131b21a 24b22故 C 的方程為x21 .y42設直線 P2A 與直線 P2 B 的斜率分別為k1， k2，2 ，可得 A，B 的坐標分別為 t，42如果 l 與 x 軸垂直，設 l ：x=t，由題設知 t0 ，且 | t |t ，22t ，4t .2那么 k1k24t 224t 221，得 t2 ，不符合題設 .2t2t從而可設 l ： ykxm m1 .將 y kxm代入 x2y21 得4(4k 21)x28kmx 4m24 0由題設可知=16(4k2m21)0 .8km24設 A x1， y1

21、， B x2， y2，那么 x1+x2=， x1 x2=4m4 k214k2.1而 k1k2y11y21x1x2kx1m1kx2m1x1x22kx1x2( m1)(x1 x2 ) .x1 x2由題設 k1k21，故(2k1)x1x2( m1)( x1x2 )0.專業資料整理WORD格式所有： 中華資源庫ziyuanku專業資料整理WORD格式即 (2 k 1) 4m248km(m 1)0 .4k214 k21m1解得 k.2當且僅當 m1時，m1m 1，0 ，欲使 l ： yx m ，即 y 1( x 2)22所以 l 過定點 2，1 21.解： 1f ( x) 的定義域為(,)， f( x)

22、2ae2 x(a 2)ex1( aex 1)(2ex1) ，假設 a0 ，那么f (x)0，所以 f(x) 在 (,) 單調遞減.假設 a0 ，那么由f(x)0得xln a .當 x ( ,ln a) 時 ， f ( x)0 ； 當 x( ln a,) 時 ， f ( x)0 ， 所 以 f ( x) 在(,ln a) 單調遞減，在 (ln a,) 單調遞增.2假設a0 ，由1知，f ( x)至多有一個零點.假設 a0 ， 由 1 知 ， 當 xln a 時 ，f (x)取得最小值，最小值為f (ln a)11ln a .a當時，由于f ( ln a) 0，故f ( x)只有一個零點；a 1當 a(1,) 時，由于 11ln a0 ，即 f ( ln a)0 ，故 f (x) 沒有零點；a1當 a(0,1)時， 1ln a0 ，即 f (ln a)0.a又 f (2)ae 4(a2)e 222e 22 0 ，故f ( x)在(,ln a) 有一個零點.設正整數 n0滿足n0ln( 31) ，那么 f (n0 )en0 (aen0a2)n0en0n0 2n