1、含時(shí)三體散射系統(tǒng)的波恩近似計(jì)算摘要：在當(dāng)今社會(huì)，三體散射系統(tǒng)對(duì)研究氣象觀察和預(yù)測(cè)有重大意義。文章首先羅列了散射的基本理論知識(shí)，包含了散射現(xiàn)象和散射截面，接著討論計(jì)算方法，通過建立光學(xué)勢(shì)模型，對(duì)三體散射進(jìn)行波恩近似計(jì)算，最后討論含時(shí)三體散射系統(tǒng)分別在長(zhǎng)程和短程的波恩近似計(jì)算，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，用于短程的含時(shí)波恩近似計(jì)算收斂更快，而于長(zhǎng)程的含時(shí)波恩近似計(jì)算不收斂。關(guān)鍵詞: 含時(shí)三體散射，波恩近似計(jì)算，非彈性碰撞0 引言散射是近代物理實(shí)驗(yàn)中揭示物質(zhì)現(xiàn)象的主要手段之一，它對(duì)原子物理、原子核物理、高能物理以及等離子物理和天體物理的研究與發(fā)展起到了至關(guān)重大的作用。人們主要通過各種類型的實(shí)驗(yàn)，來研究各種散射過程，而

2、且三體散射的研究對(duì)氣象觀察和預(yù)測(cè)有重大意義。散射系統(tǒng)基于一個(gè)由Temkin和Poet建立的橫波模型，這個(gè)模型模擬電子原子散射中的非彈性過程。對(duì)于所有的散射系統(tǒng)，波恩級(jí)數(shù)計(jì)算相對(duì)于含時(shí)薛定諤方程的直接解來說更能獲得精確的橫截面。本次課題就選擇了長(zhǎng)程和短程三體散射系統(tǒng)的波恩近似計(jì)算。1 基本理論知識(shí)1.1 散射方向準(zhǔn)直的均勻單能粒子由遠(yuǎn)處沿著z軸方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射開去，此過程成為散射過程。在量子力學(xué)的散射理論中，散射現(xiàn)象的廣義定義可以認(rèn)為是兩粒子之間發(fā)生碰撞的現(xiàn)象，它可以可分為彈性碰撞、非彈性碰撞和反應(yīng)這三種不同情況。若在散射過程中，入射粒子和靶粒子的內(nèi)部狀態(tài)都不發(fā)

3、生變化，則成為彈性散射，否則成為非彈性散射。一般在處理散射問題的時(shí)候，我們?nèi)≡谳^重粒子置于一個(gè)靜止的相對(duì)坐標(biāo)系內(nèi)，而將碰撞看成是一個(gè)入射粒子和靶粒子發(fā)生碰撞作用后使兩者的動(dòng)量產(chǎn)生變化的過程。在這個(gè)過程中，我們看重的是散射粒子的角分布（或者稱散射截面、微分截面），角關(guān)聯(lián)、極化等，而角分布等的觀測(cè)依賴于出射粒子的波函數(shù)在r的漸近行為，主要受入射粒子能量、碰撞過程中的相互作用等的影響。如上所述，在散射的過程中，我們?nèi)≡谳^重粒子靜止的相對(duì)坐標(biāo)系中，用折合質(zhì)量的方法來討論，是以散射題目能夠看作是，在靶粒子的作用下入射粒子產(chǎn)生轉(zhuǎn)變的題目。1.2 散射截面為簡(jiǎn)單起見，我們討論在彈性散射過程中，入射粒子與靶粒

4、子的相互作用為定域勢(shì)V(),在出射方向()上散射截面（即微分截面，角分布）為()。當(dāng)勢(shì)場(chǎng)V()不隨時(shí)間產(chǎn)生轉(zhuǎn)變，而入射電子的動(dòng)量為時(shí)，入射粒子的波函數(shù)為： (1.2.1)上式中的滿足定態(tài)薛定諤方程的要求： (1.2.2) (1.2.3) (1.2.4)在散射之后，在宏觀上觀測(cè)，出射粒子與碰撞點(diǎn)的距離并不遠(yuǎn)，然而在微觀上看它們之間的距離是非常大的，足以對(duì)粒子之間的相互作用產(chǎn)生影響，因此波函數(shù)滿足的邊界處對(duì)于碰撞點(diǎn)可以看作是是無窮遠(yuǎn)的，此時(shí)在邊界外部勢(shì)場(chǎng)V()對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)已經(jīng)沒有什么影響。在r時(shí)薛定諤方程（1.2.2）式的漸近方程為： (1.2.5) 即+ (1.2.6)其中， (1.2.7)經(jīng)由過

5、程求得上述薛定諤方程的漸進(jìn)方程式的一般形式解：=A (1.2.8)其中，A是常數(shù)。為散射振幅，代表球面波的波幅會(huì)隨著方向的改變而改變。 為向外傳播的散射波。在邊界以內(nèi)的區(qū)域里，由于勢(shì)場(chǎng)V()0，所以粒子波函數(shù)的情況非常繁雜。然而因?yàn)閷?shí)驗(yàn)上的計(jì)量也是在微觀上的無窮遠(yuǎn)處進(jìn)行的，因此我們只需要關(guān)注怎樣求漸近解，而邊界以內(nèi)區(qū)域里的具體解就不需要去求了，因?yàn)樗鼪]有了計(jì)算的價(jià)值。因此我們只要計(jì)算出漸近解里的具體形式，即可獲取散射題目所需要的躍遷概率和散射截面了。 ()。與散射振幅的關(guān)系為： (1.2.9)2 計(jì)算方法2.1 光學(xué)勢(shì)模型這里我們以建立電子被原子散射的光學(xué)勢(shì)模型為例子討論。光學(xué)勢(shì)方法的首要主題

6、是，將電子被原子散射的多體作用的過程看成是入射電子在靶原子的等效勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，這樣就把繁瑣又龐大的多體題目直接過渡成為單體題目，大大地縮減了題目的計(jì)算過程。這種方法的關(guān)鍵是要用適合的勢(shì)模型模擬電子與原子間各種復(fù)雜的相互作用。我們所采用的光學(xué)勢(shì)模型中全面考慮了庫(kù)倫勢(shì)錯(cuò)誤！未找到引用源。、極化勢(shì)錯(cuò)誤！未找到引用源。和交換勢(shì)以及體現(xiàn)非彈性散射項(xiàng)的吸收勢(shì)。過程中，電子被原子散射取得的等效勢(shì)可以寫作： (2.1.1)上式中，實(shí)部主要反映彈性散射，它也可以表示為： (2.1.2)其中，表示靜電勢(shì)，表示極化勢(shì)，表示交換勢(shì)。虛部表示吸收勢(shì)，是一個(gè)用來反映非彈性散射的物理量，電子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的薛定諤方程為：+

7、(2.1.3)在實(shí)際計(jì)算過程中我們運(yùn)用對(duì)角度求平均值的辦法來確保電子所在的勢(shì)場(chǎng)是一個(gè)中心勢(shì)場(chǎng)，入射電子在受中心勢(shì)場(chǎng)的影響下,所得的波函數(shù)可以作如下分波展開： (2.1.5)式中= (2.1.6)為球諧函數(shù),滿足：= (2.1.7)代入(2.1.5)的式子可得： (2.1.8)即徑向分波方程為: (2.1.9)當(dāng)r足夠大時(shí)，上式的漸近解為：上式中, 錯(cuò)誤！未找到引用源。是第一類Hankel函數(shù)，代表散射波，是第二類Hankel函數(shù)，代表入射波。代表復(fù)散射矩陣元，它與分波相移的聯(lián)系如下式：對(duì)于彈性散射, 為實(shí)數(shù)，；對(duì)于非彈性散射，為復(fù)數(shù)，；對(duì)徑向分波方程求解： （2.1.10）可得時(shí)的任一點(diǎn)處的徑

8、向波函數(shù)的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)： （2.1.11）然后由波函數(shù)的連續(xù)性及邊界條件： （2.1.12）在上式中代表球Bessel函數(shù)，代表Neumann函數(shù)，然后我們就可以通過上式算出和利用有效勢(shì)的作用范圍方程: （2.1.14）可以確定最大分波數(shù)。然后由以下公式求各種截面。分波彈性散射截面定義為： （2.1.15）分波非彈性散射截面定義為： （2.1.16）微分散射截面定義為： （2.1.17）式中為勒讓德函數(shù)。2.2 波恩近似計(jì)算若是粒子散射與散射中心相互作用的勢(shì)能比入射粒子的動(dòng)能小得多，此時(shí)勢(shì)能可以被當(dāng)做是微擾時(shí)，可用波恩近似來計(jì)算散射截面。體系的哈密頓量寫為：上述式子中,自由粒子的哈密頓量為。我們把

9、箱歸一化的動(dòng)量本征函數(shù)作為的本征函數(shù)，這類歸一化描述在體積內(nèi)有一個(gè)粒子，微擾使粒子從動(dòng)量為的初態(tài)躍遷到動(dòng)量為的末態(tài)。根據(jù)能量守恒有：入射離子流強(qiáng)度為，在單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角內(nèi)的粒子數(shù)表示為: （2.2.1）與此同時(shí)，方向在立體角內(nèi)的末態(tài)的態(tài)密度表示為:同時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角內(nèi)的粒子數(shù)表示為: = （2.2.2.）比較兩式，注意到，可得: （2.2.3）上述式子中在絕對(duì)值號(hào)里面保留負(fù)號(hào)的原因是，用其他方法得到的散射振幅有一個(gè)負(fù)號(hào)。引入矢量: （2.2.4）它的數(shù)值是： 。其中是散射角， 是動(dòng)量的變化量，此變化由散射引發(fā)。于是（2.2.3）式的積分可以簡(jiǎn)化為: = （2.2.4）因而 （

10、2.2.5）如果勢(shì)能已經(jīng)得知，那么通過前面的式子能夠獲得微分散射截面，若是將勢(shì)能近似地寫作球?qū)ΨQ的壘或勢(shì)阱，結(jié)果如下:那么波恩近似成立的前提就能輕易得出。要是在勢(shì)場(chǎng)中散射波的相移很小，尤其是s分波的相移非常小，那么就表示勢(shì)場(chǎng)對(duì)于散射波并沒有起太大作用，這樣看來把勢(shì)場(chǎng)看做微擾是可以成立的，因而只要分析s分波相移就能夠獲得波恩近似成立的前提。由得： （2.2.6）當(dāng)粒子能量很高時(shí)，,。上式左邊余切的宗量可以寫成：當(dāng)這個(gè)宗量與差一小角時(shí)，相移也很小。因而波恩近似的有效前提是：是入射粒子的經(jīng)典速度。因此得出，波恩計(jì)算方法普遍被用在粒子的高能散射計(jì)算中。而在勢(shì)阱的情況下，波恩計(jì)算對(duì)低能散射也可能是有用的

11、。由（6）式可知，當(dāng),時(shí)，有： (2.2.8)因此只要不是很接近于,那么很小，波恩近似則可以使用。3 討論遠(yuǎn)程和近程三體散射的含時(shí)波恩近似計(jì)算各種短程和遠(yuǎn)程三體散射系統(tǒng)都進(jìn)行了含時(shí)波恩近似計(jì)算。遠(yuǎn)程系統(tǒng)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的電子原子散射的s波模型，這個(gè)模型由Temkin(phy,Rev.126,130(1962)和Poet(phy B 3081(1978)提出。含時(shí)薛定諤方程的一個(gè)直接解可以算出確切的激發(fā)和電離截面的全散射系統(tǒng)。用于短程的含時(shí)波恩近似計(jì)算收斂更快，因?yàn)橛腥踅Y(jié)合電位和高入射電子能量。用于遠(yuǎn)程含時(shí)波恩近似計(jì)算不收斂,盡管一階激發(fā)和電離截面非常合理。我們開展了各種短程和遠(yuǎn)程三體散射系統(tǒng)的含時(shí)波

12、恩級(jí)數(shù)計(jì)算。散射系統(tǒng)基于一個(gè)由Temkin和Poet建立的橫波模型，這個(gè)模型模擬電子原子散射中的非彈性過程。一個(gè)截?cái)鄥?shù)用來調(diào)整帶電粒子的相互作用的范圍。對(duì)于所有的散射系統(tǒng)，波恩級(jí)數(shù)計(jì)算相對(duì)于含時(shí)薛定諤方程的直接解來說更能獲得精確的橫截面。改進(jìn)的Temkin-Poet模型的含時(shí)薛定諤方程是（原子單位）： (3.1)其中非微擾哈密頓為： (3.2)微擾由下式給出： (3.3)是一個(gè)可調(diào)截?cái)鄥?shù)。一階含時(shí)波恩級(jí)數(shù)方程可以很容易導(dǎo)出： (3.4) (3.5) (3.6)含時(shí)薛定諤方程或者含時(shí)波恩級(jí)數(shù)方程可以通過所有徑向波的離散和二維晶格的運(yùn)算符解決。S散射的初始條件是即是單粒子的薛定諤方程的基態(tài)解的

13、對(duì)稱乘積： (3.7)表1 短程三體散射系統(tǒng)無彈性的橫截面波恩階數(shù)30eV50eV100eV1k秒標(biāo)準(zhǔn)1k秒標(biāo)準(zhǔn)1k秒標(biāo)準(zhǔn)12.0121.160.8171.100.2241.0622.3151.020.9381.010.2551.0131.4800.980.6480.990.1921.0041.5261.000.6581.000.1931.0051.5911.000.6761.000.1961.001.5731.000.6721.000.1951.00表1是一個(gè)短程三體散射系統(tǒng)無彈性的橫截面。橫截面以Mb給出()。表2 的短程三體散射系統(tǒng)無彈性的橫截面30eV50eV100eV12秒1k秒標(biāo)準(zhǔn)

14、12秒1k秒標(biāo)準(zhǔn)12秒1k秒標(biāo)準(zhǔn)10.4914.614.480.1752.403.430.0450.782.4421.99920.705.600.5479.053.320.0992.271.8431.77019.282.830.3897.151.490.0601.511.0240.4254.670.780.1101.850.780.0310.590.9250.1611.480.830.1021.380.960.0340.631.0060.3703.691.090.1422.111.040.0370.731.0170.3933.931.050.1412.121.010.0370.721.0080

15、.3583.560.990.1362.030.980.0360.711.000.3563.551.000.1362.031.000.0360.711.00表2是一個(gè)短程三體散射系統(tǒng)無彈性的橫截面。橫截面以Mb給出()。一個(gè)傳入的徑向波束，波恩級(jí)數(shù)方程的初始條件為等于同一對(duì)稱化乘積.按照波束傳播，在n0時(shí)，激發(fā)，電離概率和橫截面由通過預(yù)測(cè)精確波函數(shù)或者階近似波函數(shù)提出一套完整的單粒子薛定諤方程的束縛和連續(xù)解，詳細(xì)的計(jì)算過程在以前的工作中已經(jīng)得出。首先,我們考慮的短程三體散射系統(tǒng)，對(duì)于這種截止參數(shù)的選擇，單粒子薛定諤方程只有一個(gè)束縛態(tài)解，在束縛能下。因此，唯一無彈性過程是基態(tài)的直接電離。在幾個(gè)不同

16、的入射能量下的電離截面的結(jié)果列于表1。網(wǎng)狀間隔的點(diǎn)徑向晶格足夠用來計(jì)算時(shí)間聚合碰撞概率。我們也跟蹤波函數(shù),始終是確切的結(jié)果,而且函數(shù)的波恩級(jí)數(shù)應(yīng)該收斂于。波恩級(jí)數(shù)的計(jì)算可以用來收斂所有的入射能量，更高的能量甚至收斂更快。30eV的最低入射能量還是比較高的，因?yàn)樗碾婋x勢(shì)幾乎124倍。我們注意到，所有的第一階波恩具體的計(jì)算結(jié)果優(yōu)于二階波恩的結(jié)果。接下來我們考慮短程三體散射系統(tǒng)，對(duì)于這個(gè)截止參數(shù)的選擇，有兩個(gè)束縛態(tài)的解，eV的束縛能基態(tài)和eV的束縛能激發(fā)態(tài)。因此，有12秒的時(shí)間來激發(fā)基態(tài)的直接電離。在幾個(gè)不同的入射能量下的非彈性截面的結(jié)果如表2所示。帶的網(wǎng)眼間距的點(diǎn)徑向晶格用來計(jì)算時(shí)間聚合碰撞概率

17、。波恩級(jí)數(shù)計(jì)算的收斂再次適用于所有的入射能量，其中更高能量收斂更快。30eV的最低入射能量現(xiàn)在僅是四倍電離勢(shì)。我們注意到，30eV一階的入射能量波恩計(jì)算結(jié)果優(yōu)于第五階波恩計(jì)算結(jié)果。最后我們認(rèn)為一個(gè)的遠(yuǎn)程三體散射系統(tǒng)，也就是標(biāo)準(zhǔn)的Temkin-Poet模型。用帶有r=r=0.2網(wǎng)格間距的400×400的點(diǎn)徑向晶格時(shí)有七個(gè)束縛態(tài)解，基態(tài)是的束縛能。當(dāng)然在連續(xù)極限中，當(dāng)網(wǎng)格間距變?yōu)榱愫涂虼笮≮呌跓o窮，我們得到一個(gè)束縛態(tài)的無窮值和eV束縛能的基態(tài)。在幾個(gè)不同的入射能量的非彈性截面結(jié)果如表3所示。表3 的遠(yuǎn)程三體散射系統(tǒng)無彈性的橫截面30eV50eV100eV12秒1k秒標(biāo)準(zhǔn)12秒1k秒標(biāo)準(zhǔn)1

18、2秒1k秒標(biāo)準(zhǔn)11.6822.650.6201.690.1600.621.3011.971.000.5091.501.000.1370.601.00表3是一個(gè)的遠(yuǎn)程三體散射系統(tǒng)無彈性的橫截面。橫截面以Mb給出()。時(shí)間融合碰撞概率只能提取用于一階波恩和精確的計(jì)算。在一階波恩計(jì)算中，波函數(shù)的歸一化和在基態(tài)的剩余概率與方程時(shí)間傳播持續(xù)增加。另一方面，我們獲取時(shí)間融合非彈性碰撞的概率。在二階波恩計(jì)算，所有的碰撞概率與方程時(shí)間傳播持續(xù)增加。因此，波恩級(jí)數(shù)計(jì)算可用來發(fā)散所有入射能量。我們注意到，非彈性的一階波恩結(jié)果與精確的計(jì)算一致，甚至更高的入射能量符合的更好。我們的一階含時(shí)波恩級(jí)數(shù)計(jì)算與一階非彈性截面

19、不含時(shí)庫(kù)侖波恩計(jì)算密切相關(guān)。不幸的是，我們很難適應(yīng)目前的含時(shí)波恩近似計(jì)算與非彈性的橫截面不含時(shí)失真波計(jì)算問題在于兩電子波函數(shù)的初始條件。如果我們讓 。隨著,一個(gè)基態(tài)解的對(duì)稱化乘積和一個(gè)傳入波束不是Eq的解。因此我們不能確定目前一階失真波理論的時(shí)間相關(guān)法是最好的。由H. P.凱利在她的非彈性電子原子散射多體微擾理論計(jì)算中首次提出，長(zhǎng)程庫(kù)侖場(chǎng)發(fā)散出現(xiàn)在可見勢(shì)高階項(xiàng) 庫(kù)倫的任意選擇或者失真波。，根據(jù)潘和凱利的建議，可能采取的行動(dòng)過程，就是選擇庫(kù)侖的混合基礎(chǔ)和扭曲的波連續(xù)狀態(tài)，例如，對(duì)于光學(xué)勢(shì)高階不同方面之間會(huì)發(fā)生強(qiáng)烈的取消。然后此混合的基礎(chǔ)來計(jì)算僅有限低階光學(xué)勢(shì)，以獲得非彈性散射截面。在另一方面，我

20、們含時(shí)三體散射波恩級(jí)數(shù)計(jì)算的研究出現(xiàn)了另一種方法。聰明一點(diǎn)，一組短距離多體哈密頓的高階光學(xué)勢(shì)的計(jì)算漸近，（如）是確切的多體哈密頓解。當(dāng)然，完整多體哈密頓含時(shí)解可能證明更容易一點(diǎn)。4結(jié)論用于短程的含時(shí)波恩近似計(jì)算收斂更快，用于長(zhǎng)程的含時(shí)波恩近似計(jì)算不收斂。參考文獻(xiàn):1周世勛.量子力學(xué)教程M.高等教育出版社,2011,5.2章韋芳. (e,2e)反應(yīng)中三重微分截面的理論計(jì)算分析J.池州學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，24（3）:40-54.3趙鴻,馬穎.三體散射的動(dòng)力學(xué)J.大學(xué)物理,2014(08).4鄧小玖. 玻恩近似的條件J. 廣西物理,1997(03)：10-16.5張永德.玻恩近似適用條件的推導(dǎo)與討論

21、J. 大學(xué)物理,1988(06)：11-13.6張德明.三體散射 J.阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) ,1984(01).7曾耀榮,鄭容森.對(duì)量子散射中的幾種方法的討論J.玉林師專學(xué)報(bào),1998(03):41-46.8廖玉芳,俞小鼎,吳林林,何彩芬,尹忠海. 強(qiáng)雹暴的雷達(dá)三體散射統(tǒng)計(jì)與個(gè)例分析J. 高原氣象,2007(04):160-168.9朱峰. 基于群方法的多體散射結(jié)構(gòu)解析波函數(shù)的構(gòu)建J. 學(xué)術(shù)動(dòng)態(tài),2008(02):11-13.10尤鳳翔,龔善初,陳文濤. 量子散射的近似計(jì)算J. 丹東紡專學(xué)報(bào), 2003(04)：66-68.11 Duan, Bin,Bai, Zaiqiao,Gu,

22、Yan.Chaotic scattering in collinear Ze^- e^- three-body Coulomb systems. Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics . 2000.12 S.Neil Rasband.Dynamics. 1983.13Lemon L R.The rada“Three-body scatter spike”: An operational large-hail signature. Weather and Forecasting . 1998.14 Zrnic D S.Three-body scattering produces precipitation signature of special diagnostic value. Radio Science . 1987.15王萍,杜雪峰,徐考基.天氣雷達(dá)反射率因子圖像中三體散射自動(dòng)識(shí)別J.