1、WORD格式不等式的解法1一元二次不等式的解法(1)含有未知數的最高次數是二次的一元不等式叫做一元二次不等式(2)一元二次不等式的解法(如下表所示 )設 a0， x ， x 是一元二次方程ax2 bx c0 的兩實根，且x x2121(3)對于一元二次不等式的解法需注意： xa 0(a b)的解集為： x|xa 或 x b ；xa 0(a b)的解集為： x|a x b x bx b從函數觀點來看，一元二次不等式ax2 bx c0(a 0)的解集是一元二次函數yax2 bx c(a 0)在 x 軸上方的點的橫坐標的集合三個“二次的關系常說的三個“二次即指二次函數、 一元二次方程和一元二次不等式

2、， 這三者之間有著密切的聯系， 這種聯系點可以成為高考中的命題點 處理其中某類問題時， 要善于產生對于另外兩個“二次的聯想，或進展轉化，或幫助分析具體到解一元二次不等式時，就是要善于利用相應的二次函數的圖象進展解題分析， 要能抓住一元二次方程的根與一元二次不等式的解集區間的端點值的聯系2解一元二次不等式的方法：(1)圖象法：先求不等式對應方程的根，再根據圖象寫出解集(2)公式法步驟：先化成標準型：ax2 bx c 0(或 0)，且 a0；計算對應方程的判別式；求對應方程的根；利用口訣“大于零在兩邊，小于零在中間寫出解集3解絕對值不等式的根本思想專業資料整理WORD格式1解絕對值不等式的根本思想

3、是去掉絕對值符號，把帶有絕對值號的不等式等價轉化為不含絕對值號的不等式求解，常采用的方法是討論符號和平方，例如：(1) 假設 a0，那么 x a" a x a" x2 a2；(2) 假設 a0，那么 x a" x a，或 x a" x2 a2；(3) |f ( x)|< g( x) " g( x)< f ( x)< g( x)；(4)|f ( x)|>g( x) "f ( x)> g( x)或 f ( x)<g( x)(無論 g( x)是否為正)常用的方法有：(1) 由定義分段討論；(2)利用絕對值

4、不等式的性質；(3) 平方2常見絕對值不等式及解法：(1)|f(x)| (a0)"f(x) a或f() a；ax(2)|f ( x)| a( a0) " af ( x) a；(3)|x 1|x 2| ()，用零點分區間法aab4一般分式不等式的解法：(1)整理成標準型f x 0(或 0)或f x 0(或 0)g xg x(2)化成整式不等式來解： f x 0" f(x) ·g(x) 0 g x f x 0" f(x) ·g(x) 0 g x f x 0"f x·g x0g xg x 0 f x 0"f x

5、·g x0g xg x 0(3)再討論各因子的符號或按數軸標根法寫出解集熱點考點題型探析考點 1一元二次不等式的解法題型 1.解一元二次不等式 例 1 不等式x2x 的解集是()A ,0B.0,1C.1,D.,01,【解題思路】嚴格按解題步驟進展 解析 由x2x 得 x( x1) 0, 所以解集為,01, 應選 D; 別解 : 抓住選擇題的特點 , 顯然當x2時滿足不等式,應選D.【名師指引】解一元二次不等式的關鍵在于求出相應的一元二次方程的根題型 2.一元二次不等式的解集求系數. 例 2關于x的不等式ax22xc0 的解集為 (1 , 1) ,求 cx 22xa0的解集.32【解題

6、思路】由韋達定理求系數解析 由 ax 22xc0 的解集為 (1 , 1 ) 知 a0 ,1 , 1為方程 ax22xc0 的兩3232個根 , 由韋達定理得112,11c , 解得a12, c2,cx22xa0 即32a32a2x22x 12 0 ,其解集為 (2,3).【名師指引】 一元二次不等式的解集求系數的根本思路是,由不等式的解集求出根, 再由韋達定理求系數專業資料整理WORD格式【新題導練】專業資料整理WORD格式1.不等式a 2 x 2+2( a 2) -40,對一切x R恒成立，那么a 的取值X圍是專業資料整理WORD格式A. - ,2B. -2,2C. -2,2D. - ,2

7、)專業資料整理WORD格式解析：可推知 -2 a2,另 a=2 時，原式化為 -4 0，恒成立，-2 a2. 選 B2. 關于x的不等式(m x-1)(x-2)0x|x2，那么 m的取值 ，假設此不等式的解集為X圍是A. m 0B.0m 2C. mD.m 0解析：由不等式的解集形式知m 0.答案： D考點 2 含參數不等式的解法題型 1：解含參數有理不等式例 1：解關于x的一元二次不等式x2(3a)x3a0【解題思路】比較根的大小確定解集解析： x2(3a) x 3a0 ，x3xa0當 a3時, xa或 x3，不等式解集為x xa或 x3 ；當 a3時，不等式為x20 ，解集為 x xR且 x

8、 3 ；3當 a 3時, x 3或x a ，不等式解集為x x3或 xa【名師指引】解含參數的有理不等式時分以下幾種情況討論:根據二次項系數 (大于 0,小于0,等于 0);根據根的判別式討論(0,0,0).根據根的大小討論( x1x2, x1x2 , x1x2).題型 2：解簡單的指數不等式和對數不等式例 2. 解不等式 log a(1 1 ) 1(a 0, a1)x【解題思路】借助于單調性進展分類討論110解析 (1)當 a 1 時，原不等式等價于不等式組x11ax專業資料整理WORD格式由此得 1a1 .因為 1 a 0，所以 x 0，1 x 0.x1a110(2)當 0 a 1 時，原

9、不等式等價于不等式組：x11ax由得 x 1 或 x 0，由得0 x1，1 x1.1a1a綜上，當 a1 時，不等式的解集是 x| 1a x 0 ，當 0 a 1 時，不等式的解集為1 x|1 x1.1a【名師指引】 解指數不等式與對數不等式通常是由指數函數和對數函數的單調性轉化為一般的不等式 ( 組 ) 來求解，當底數含參數時要進展分類討論.【新題導練】3. 關于x的不等式63x22mxm20 的解集為()A.(m , m)B.( m ,m)C. (,m )( m , )D.以上答案都不對977997解析 : 原不等式可化為(xm)(xm)0,需對 m 分三種情況討論,即不等式的解集與m 有

10、關.974.解關于x的不等式： ax22(a1)x40解析： (ax2)( x2)0222(a1)aa當 a122x |2x2；aa當 0a122x | 2 x2，aa當 a 0( ax 2)( x2) 0x | x2或 x 2aa0x2; a1x5.考點 3分式不等式及高次不等式的解法例 5解不等式 : ( x21)(x26x 8)0【解題思路】先分解因式,再標根求解 解析 原不等式(x1)(x1)(x2)( x4)0 ,各因式根依次為-1,1,2,4, 在數軸上標根如下 :專業資料整理WORD格式-1124x所以不等式的解集為(, 11,24,) .【名師指引】求解高次不等式或分式不等式一

11、般用根軸法,要注意不等式的解集與不等式對應的方程的根的關系 .【新題導練】5. 假設關于x的不等式xa0 的解集是( 3,1)(2,) ,那么a的值為_(x 3)( x 1)a2 .解析 : 原不等式(xa)( x 3)( x1) 0, 結合題意畫出圖可知6. 解關于x的不等式(a1)x 21x( a0)ax 1解：假設0a5111515) ；2，那么原不等式的解集為(，)(，a22假設a5 1，那么原不等式的解集為 (15 ，) ；22假設a51，那么原不等式的解集為( 15， 1)(15 ，)22a27. *省*中學20212021學年度高三第一學段考試解不等式 x x 2( 1 )4 2

12、 x2.2解析：2 x 2(1) 42x222x2 2 2x412 2即 23x21552 2得 x所以原不等式的解集為 x | x66考點 4 簡單的恒成立問題題型 1: 由二次函數的性質求參數的取值X圍例 1. 假設關于x的不等式ax22x20 在R上恒成立,*數a的取值X圍.【解題思路】結合二次函數的圖象求解 解析 當a 0時 , 不等式2x20 解集不為R,故 a0不滿足題意 ;當 a 0 時,要使原不等式解集為a01R ,只需42a, 解得a2202綜上 , 所*數a的取值X圍為(1,)2a0【名師指引】不等式 ax2bxc0 對一切 xR 恒成立ba 00 或4ac 0cb20專業

13、資料整理WORD格式a0a0不等式 ax2bxc0 對任意 x R 恒成立b0 或b24ac0c0題型 2. 轉化為二次函數的最值求參數的取值X圍【解題思路】先別離系數, 再由二次函數最值確定取值X圍 .解析 (1) 設f ( x)ax2bxc(a0).由f (0)1得 c1,故f ( x)ax2bx1 . f ( x1)f (x)2x a( x1)2b(x1)1(ax2bx1) 2x即 2axa b 2x ,所以 2a 2, ab0 ,解得 a1,b1 f ( x)x2x1(2)由(1)知 x2x12xm 在1,1恒成立 即 mx23x1在 1,1恒成立.,令 g( x)x23x1( x3)

14、25,那么g( x)在1,1上單調遞減 .所以g( x)在1,1 上24的最大值為 g(1)1.所以m的取值X圍是(,1) .【名師指引】 mf (x)對一切 xR 恒成立,那么m f (x)min;mf (x) 對一切 xR 恒成立 , 那么m f (x)max;【新題導練】不等式 ax 24xa12x2對一切xR恒成立，那么實數a的取值X圍是_8. 解析 ：不等式ax24xa12x 2對一切xR恒成立,即 (a2) x24x a10 對一切xR恒成立假設 a2 =0,顯然不成立假設 a20，那么a 20 a209.假設不等式 x2ax 10 對于一切 x 0，1成立，那么 a 的取值X圍是

15、2A 0B 25D -3C -2解析：設 f x x2 ax 1，那么對稱軸為xa ,假設a1，即 a 1時，那么 f x在222 0，1上是減函數，應有f1 0 5x 1222假設a0，即 a0 時，那么 fx在0，1上是增函數，應有 f010 恒成立，故 a 022假設 0 a1，即1a 0，那么應有 faa2 a211a20 恒成立，222424故 1a 0綜上，有5a,應選 C 2搶分頻道根底穩固訓練1. 不等式x25x 60 的解集是_專業資料整理WORD格式解析 : 將不等式轉化成x25x6 0，即x1x 6 0 .2. 假設不等式x2ax b0 的解集為 x | 2x3 ,那么不

16、等式 bx2ax10 的解集為_. 解析 : 先由方程x2axb0的兩根為2 和 3求得 a,b 后再解不等式bx2ax 1 0 .得1 1,2 33. (*省五校2021年高三上期末聯考 )假設關于x 的不等式g(x)a2a 1(x R) 的解集為空集，那么實數a 的取值X圍是解析： g( x) a2a 1(xR) 的解集為空集，就是1= g( x) maxa2a1所以 a(,1)(0,)4(08* ) 設命題P：函數f ( x) lg( ax 2x1 a) 的定義域為R；命題q ：不等式161 2x 1 ax對一切正實數均成立。如果命題p 或 q 為真命題，命題p 且 q 為假命題，*數

17、a的取值X圍。解：命題 P 為真命題函數 f (x) lg( ax 2x1 a) 定義域為R1 a16ax 2x0對任意實數x均成立a0時x0 解集為R，或16a0a211a20命題 P 為真命題a245. 解關于 x 的不等式k(1 x)1 0 (k0，k1).x2原不等式即 (1k) xk20，x21°假設 k=0，原不等式的解集為空集；2°假設 1 k>0，即 0<k<1 時，原不等式等價于( x2k )( x2)0,1k此時 2k 2= 2k >0，1k1k假設 0<k<1，由原不等式的解集為 x|2<x<2k ；1k

18、3°假設 1 k<0，即 k>1 時，原不等式等價于( x2k )( x2)0,1k此時恒有 2>2k ，所以原不等式的解集為x|x<2k，或 x>2.1k1k綜合拔高訓練6. . ，且，解關于x 的不等式：專業資料整理WORD格式1log 2 ( a x1)log 4 (4a x ).2解：原不等式等價于1log 2 (a x1)1 log2 (4a x ),1 2log 2 (a x1) log 2 (4 a x )22log 2 ( a x1) 22log 2 (4a x )a x10(1)原不等式同解于4a x0(2)7 分2( ax1) 24a

19、 x (3)，由得 由得 2(a x ) 23ax20,1a x2從而 12分當 1 時，原不等式解為 當 時，原不等式解為 6.(*省*外國語學校2021屆第三次質檢 )據調查，某地區 100 萬從事傳統農業的農民，人均收入 3000 元，為了增加農民的收入，當地政府積極引進資本，建立各種加工企業，對當地的農產品進展深加工，同時吸收當地局部農民進入加工企業工作，據估計，如果有x(x 0)萬人進企業工作，那么剩下從事傳統農業的農民的人均收入有望提高2x%，而進入企業工作的農民的人均收入為3000a 元 a 0。（ I 在建立加工企業后， 要使從事傳統農業的農民的年總收入不低于加工企業建立前的農

20、民的年總收入，試求 x 的取值X圍； II 在 I 的條件下，當地政府應該如何引導農民即x 多大時，能使這 100 萬農民的人均年收入到達最大。解： I 由題意得 100-x·3000· 1+2x% 100×3000，即 x2 50x0，解得0x50，又 x 0 0 x50；II 設這 100萬農民的人均年收入為y 元，那么y= (100 x) ×3000 ×(1+2x%)+3000ax=60x2+3000(a+1) x+300000100100322=5x 25(a+1)+3000+475( a+1)(0< x 50)（ i 當 0<25( a+1) 50，即 0a1，當 x=25( a+1) 時， y 最大；ii 當 25(a+1) 50，即 a 1，函數 y 在 0,50 單調遞增，當x=50 時， y 取最大值答：在 0 a1時，安排 25(a +1)萬人進入企業工作，在a 1 時安排 50 萬