1、北京科技大學 2006-2007學年 第 一 學期 高等數學 試卷（A）院(系) 班級 學號 姓名 試卷卷面成績占課程考核成績 70%平時 成績占 30%課程考核成績題號一二三四五六七八九十十一十二小計得分閱卷校對裝 訂 線 內 不 得 答 題自 覺 遵 守 考 試 規 則，誠 信 考 試，絕 不 作 弊得 分一、填空題（每小題3分，共15分）1設 2已知，則全微分 3已知, 則 .4. .5不定積分= 得 分二、單項選擇題（每小題3分，共15分）6設 在處連續，則a的值為【 】（A）0 （B）1 （C）2 （D）7在空間直角坐標系下，z軸的對稱式方程為 【 】（A）； （B） ； （C）；

2、（D） 8函數在點可導，則下列結論正確的是 【 】( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 09. 已知函數具有任意階導數， 且， 則當n為大于2的整數時， 的n階導數是【 】（A） （B） （C） （D）。10. 設的導數是，則的一個原函數為 【 】（A）1+ （B）1- （C）1+（D）1-得 分三、（8分） 計算得 分四、（8分）設 求 得 分五、（8分） 求不定積分裝 訂 線 內 不 得 答 題自 覺 遵 守 考 試 規 則，誠 信 考 試，絕 不 作 弊得 分六、（8分） 利用定積分定義計算極限 )得 分七、（8分）求極限 得 分八、（8分）求定積分 得 分九、（8分）求極限

3、裝 訂 線 內 不 得 答 題自 覺 遵 守 考 試 規 則，誠 信 考 試，絕 不 作 弊得 分十、（5分）已知汽車行駛每小時的耗油費用為（元），它與行駛速度（公里 / 小時）的關系為若汽車行駛時除耗油費用外的其它費用為每小時100元，問汽車最經濟的行駛速度為多少？ 得 分十一、（5分）如圖：已知半徑為的半球形水池充滿了水，求當抽出水所做的功為將水全部抽出所做的功的一半時， 水面下降的高度。得 分十二、（4分）設函數在區間上可導, ，且滿足等式（1） 求導數；（2）證明:當 時，成立不等式.A卷北京科技大學20062007學年度第一學期 高等數學試卷（A）題答案及評分標準(注：此答案及評分標

4、準應于評閱試卷一同存檔)參 考 答 案一填空題1 2. 345 二選擇題6A 7B 8C 9A 10B三= =0（2分）四、 （5分） （3分）五 解法1：；令 （3分） （3分）= （2分）解法2：原式= （3分） （3分） （2分）六I（3分）=（4分）=（1分）七解：原式（3分）考慮極限 （3分）原式（2分）八解：設原積分，則設原積分，則 （5分）=5 （3分）九解：原式= 十解： 設汽車行駛了公里，則耗時小時總費為，其中（3分）此問題是求函數在區間上的最小值根據 ， 可得駐點（1分）由實際問題考慮，此函數的最小值存在，且駐點是唯一的則當行駛速度為公里/小時時總費用最省 （1分） 十一如圖： （3分）當水面下降高度為h時， （1分）由上二式可以解得 （1分）十二（1）解： 由題設知上式兩邊對于求導得：。設 ，得到，解之得到。由及，得到，從