1、第1章 概率論的基本概念§1 .1 隨機試驗及隨機事件1. (1) 一枚硬幣連丟3次，觀察正面H反面T 出現的情形. 樣本空間是：S= ；(2) 一枚硬幣連丟3次，觀察出現正面的次數. 樣本空間是：S= ；2.(1) 丟一顆骰子. A：出現奇數點，則A= ；B：數點大于2，則B= . (2) 一枚硬幣連丟2次， A：第一次出現正面，則A= ；B：兩次出現同一面，則= ； C：至少有一次出現正面，則C= .§1 .2 隨機事件的運算1. 設A、B、C為三事件，用A、B、C的運算關系表示下列各事件：(1)A、B、C都不發生表示為： .(2)A與B都發生,而C不發生表示為： .(

2、3)A與B都不發生,而C發生表示為： .(4)A、B、C中最多二個發生表示為： .(5)A、B、C中至少二個發生表示為： .(6)A、B、C中不多于一個發生表示為： .2. 設：則 （1） ，（2） ，（3） ， （4）= ，（5）= 。§1 .3 概率的定義和性質1. 已知，則 (1) , (2)()= , (3)= .2. 已知 則= .§1 .4 古典概型1. 某班有30個同學,其中8個女同學, 隨機地選10個,求:(1)正好有2個女同學的概率,(2)最多有2個女同學的概率,(3) 至少有2個女同學的概率.2. 將3個不同的球隨機地投入到4個盒子中,求有三個盒子各一球

3、的概率.§1 .5 條件概率與乘法公式1丟甲、乙兩顆均勻的骰子，已知點數之和為7, 則其中一顆為1的概率是 。2. 已知 則 。§1 .6 全概率公式1. 有10個簽，其中2個“中”，第一人隨機地抽一個簽，不放回，第二人再隨機地抽一個簽，說明兩人抽“中的概率相同。2. 第一盒中有4個紅球6個白球，第二盒中有5個紅球5個白球，隨機地取一盒，從中隨機地取一個球，求取到紅球的概率。§1 .7 貝葉斯公式1 某廠產品有70%不需要調試即可出廠，另30%需經過調試，調試后有80%能出廠，求（1）該廠產品能出廠的概率，（2）任取一出廠產品, 求未經調試的概率。2 將兩信息分別

4、編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳遞的頻繁程度為3 : 2，若接收站收到的信息是A，問原發信息是A的概率是多少？§1 .8 隨機事件的獨立性1. 電路如圖，其中A,B,C,D為開關。設各開關閉合與否相互獨立，且每一開關閉合的概率均為p,求L與R為通路（用T表示）的概率。 A B L R C D 2. 甲，乙,丙三人向同一目標各射擊一次，命中率分別為0.4,0.5和0.6，是否命中，相互獨立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。第1章作業答案§1 .1 1：（1）； （2）2

5、：（1）； （2）正正，正反正正，反反正正，正反，反正。§1 .2 1： (1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) ；(6) 或 ；2： (1)；(2)；(3)；（4）或 ；（5）。§1 .3 1： (1) =0.3, (2)= 0.2, (3) = 0.7. 2：)=0.4.§1 .4 1：(1),(2)(,(3)1-(.2： .§1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。§1 .6 1： 設A表示第一人“中”，則 P(A) = 2/10設B表示第二人“中”，則 P(B) = P(A)P(B|A) + P()P(B|) =兩人抽“中的概率

6、相同, 與先后次序無關。2： 隨機地取一盒，則每一盒取到的概率都是0.5，所求概率為：p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45§1 .7 1：（1）94% （2）70/94； 2： 0.993；§1 .8. 1： 用A,B,C,D表示開關閉合，于是 T = ABCD, 從而，由概率的性質及A,B,C,D的相互獨立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6

7、)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 隨機變量及其分布§2.1 隨機變量的概念，離散型隨機變量1 一盒中有編號為1，2，3，4，5的五個球，從中隨機地取3個，用X表示取出的3個球中的最大號碼., 試寫出X的分布律.2 某射手有5發子彈，每次命中率是0.4，一次接一次地射擊，直到命中為止或子彈用盡為止，用X表示射擊的次數, 試寫出X的分布律。§2.2 分布和泊松分布1 某程控交換機在一分鐘內接到用戶的呼叫次數X是服從=4的泊松分布，求(1)每分鐘恰有1次呼叫的概率；(2)每分鐘只少有1次呼

8、叫的概率；(3)每分鐘最多有1次呼叫的概率；2 設隨機變量X有分布律： X 2 3 , Y(X), 試求： p 0.4 0.6（1）P(X=2,Y2)； (2)P(Y2)； (3) 已知 Y2, 求X=2 的概率。§2.3 貝努里分布1 一辦公室內有5臺計算機，調查表明在任一時刻每臺計算機被使用的概率為0.6，計算機是否被使用相互獨立，問在同一時刻(1) 恰有2臺計算機被使用的概率是多少？(2) 至少有3臺計算機被使用的概率是多少？(3) 至多有3臺計算機被使用的概率是多少？(4) 至少有1臺計算機被使用的概率是多少？2 設每次射擊命中率為0.2，問至少必須進行多少次獨立射擊，才能使

9、至少擊中一次的概率不小于0.9 ？§2.4 隨機變量的分布函數1設隨機變量X的分布函數是： F(x) = （1）求 P(X0 )； P；P(X1)，(2) 寫出X的分布律。2 設隨機變量X的分布函數是：F(x) = , 求（1）常數A, (2) P.§2.5 連續型隨機變量1 設連續型隨機變量的密度函數為：（1）求常數的值；（2）求X的分布函數F(x)，畫出F(x) 的圖形，（3）用二種方法計算 P(- 0.5<X<0.5).2 設連續型隨機變量的分布函數為：F(x) = (1)求X的密度函數，畫出的圖形，(2)并用二種方法計算 P(X>0.5).

10、7;2.6 均勻分布和指數分布1設隨機變量K在區間 (0, 5) 上服從均勻分布, 求方程 4+ 4Kx + K + 2 = 0有實根的概率。2 假設打一次電話所用時間（單位：分）X服從的指數分布，如某人正好在你前面走進電話亭，試求你等待：（1）超過10分鐘的概率；（2）10分鐘 到20分鐘的概率。§2.7 正態分布1 隨機變量XN (3, 4), (1) 求 P(2<X5) , P(- 4<X10), P(|X|>2), P(X>3)；(2) 確定c，使得 P(X>c) = P(X<c)。2 某產品的質量指標X服從正態分布，=160，若要求P(1

11、20<X<200)0.80，試問最多取多大？§2.8 隨機變量函數的分布1設隨機變量的分布律為； X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3Y = 2X 1, 求隨機變量的分布律。2設隨機變量的密度函數為：，；求隨機變量Y的密度函數。3. 設隨機變量服從（0， 1）上的均勻分布， ，求隨機變量Y的密度函數。第2章作業答案§2.1 1： X 3 4 5 p 0.1 0.3 0.62： X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.6×0.4 0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.4 0.6

12、5;0.6×0.6×0.6×1§2.2 1： (1) P(X = 1) = P(X1) P(X2) = 0.981684 0.908422 = 0.073262, (2) P(X1) = 0.981684, (3) P(X1) = 1 - P(X2) = 1 0.908422 = 0.091578。 2：(1) 由乘法公式：P(X=2,Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2)= 0.4× ()= 2（2）由全概率公式：P(Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2) + P(X=3) P(Y2 | X=3)= 0.4×5

13、+ 0.6×= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 （3）由貝葉斯公式：P(X=2|Y2)=§2.3 1： 設X表示在同一時刻被使用的臺數，則 X B(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) = (2) P(X 3 ) = (3) P(X 3 ) = 1 - (4)P(X 1 ) = 1 - 2： 至少必須進行11次獨立射擊.§2.4 1：（1）P(X0 )=0.5； P = 0.5；P(X1) = 0.5，(2) X的分布律為： X -1 1 P 0.5 0.52： (1) A = 1, (2) P =1/6§2.5 1：（1

14、），（2）；（3）P(- 0.5<X<0.5) = ； 或= F(0,5) F(-0.5) = 。 2： （1） （2）§2.6 1： 3/5 2： §2.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3， 2：31.25。§2.8 1： Y - 1 1 3 p 0.3 0.4 0.32： ， 3： ；第3章 多維隨機變量§3.1 二維離散型隨機變量1. 設盒子中有2個紅球，2個白球，1個黑球，從中隨機地取3個，用X表示取到的紅球個數，用Y表示取到的白球個數，寫出 (X, Y) 的聯合分布律及邊緣分布

15、律。2. 設二維隨機變量的聯合分布律為： X Y 0 1 2 試根椐下列條件分別求a和b的值； 0 0.1 0.2 a (1)； 1 0.1 b 0.2(2)； (3)設是的分布函數，。§3.2 二維連續型隨機變量1. 的聯合密度函數為：求（1）常數k；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。2的聯合密度函數為：求（1）常數k；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。§3.3 邊緣密度函數1. 設(X, Y) 的聯合密度函數如下，分別求與的邊緣密度函數。2. 設(X, Y) 的聯合

16、密度函數如下，分別求與的邊緣密度函數。 §3.4 隨機變量的獨立性1. (X, Y) 的聯合分布律如下， X Y 1 2 3 試根椐下列條件分別求a和b的值； 1 1/6 1/9 1/18(1) ； 2 a b 1/9(2) ； （3）已知與相互獨立。2. (X,Y) 的聯合密度函數如下，求常數c，并討論與是否相互獨立？ *§3.5 多個隨機變量的函數的分布*§3.6 幾種特殊隨機變量函數的分布第3章作業答案§3.1 1： X Y 1 2 2： (1) a=0.1 b=0.3 1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.2 2 0.3 0.

17、0.3 (3) a=0.3 b=0.1 0.7 0.3 1 §3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8；(3) P(X+Y<1) = 1/3；(4) P(X<1/2) = 3/8。 2：(1) k = 8；(2) P(X+Y<1) = 1/6；(3) P(X<1/2) = 1/16。§3.3 1： ； 2： ； ；§3.4 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9；（3）a = 1/3, b = 2/9。 2： c = 6, X與Y相互獨立。第4章 隨機變量

18、的數字特征§4.1 數學期望1盒中有5個球，其中2個紅球，隨機地取3個，用X表示取到的紅球的個數，則EX是： （A）1； （B）1.2； （C）1.5； （D）2.2. 設有密度函數： , 求,并求大于數學期望的概率。3. 設二維隨機變量的聯合分布律為： X Y 0 1 2 已知， 0 0.1 0.2 a 則a和b的值是： 1 0.1 b 0.2 （A）a=0.1, b=0.3； （B）a=0.3, b=0.1； （C）a=0.2, b=0.2； （D）a=0.15, b=0.25。4設隨機變量 (X, Y) 的聯合密度函數如下：求。 §4.2 數學期望的性質1設X有分布律

19、： X 0 1 2 3 則是： p 0.1 0.2 0.3 0.4（A）1； （B）2； （C）3； （D）4.2. 設有，試驗證 ，但與不相互獨立。§4.3 方差1丟一顆均勻的骰子，用X表示點數，求.2有密度函數： ，求 D(X).§4.4 常見的幾種隨機變量的期望與方差1 設,相互獨立，則的值分別是：（A）-1.6和4.88； （B）-1和4； （C）1.6和4.88； （D）1.6和-4.88.2. 設，與有相同的期望和方差，求的值。 （A） 0和8； （B） 1和7； （C） 2和6； （D） 3和5.§4.5 協方差與相關系數1隨機變量 (X,Y) 的聯

20、合分布律如下：試求協方差 和相關系數， X Y 1 0 1 . 0 0.2 0.1 0 1 0.1 0.3 0.32設隨機變量 (X, Y) 有聯合密度函數如下：試求協方差 和相關系數， §4.6 獨立性與不相關性 矩1下列結論不正確的是（ ）（A）與相互獨立，則與不相關；（B）與相關，則與不相互獨立；（C），則與相互獨立；（D），則與不相關；2若 ，則不正確的是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）；3（）有聯合分布律如下，試分析與的相關性和獨立性。 X Y 1 0 1 . 1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/84是與不相關的（ ） （A）必要

21、條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。5. 是與相互獨立的（ ）（A） 必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。6. 設隨機變量 (X, Y) 有聯合密度函數如下：試驗證與不相關，但不獨立。 第4章作業答案§4.1 1： B； 2：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3： D； 4： 2/3，4/3，17/9；§4.2 1： D； §4.3 1：7/2, 35/12； 2：11/36；§4.4 1：A； 2： B；§4.5 1：0.2， 0.355； 2：1/144, 1/11；

22、7;4.6 1：C； 2：C； 3：與不相關，但與不相互獨立；4：C；5：A；第5章 極限定理*§5.1 大數定理§5.2 中心極限定理1 一批元件的壽命（以小時計）服從參數為0.004的指數分布，現有元件30只，一只在用，其余29只備用，當使用的一只損壞時，立即換上備用件，利用中心極限定理求30只元件至少能使用一年（8760小時）的近似概率。2 某一隨機試驗，“成功”的概率為0.04，獨立重復100次，由泊松定理和中心極限定理分別求最多“成功”6次的概率的近似值。第5章作業答案§5.2 2：0.1788； 3：0.889， 0.841；第6章 數理統計基礎

23、67;6.1 數理統計中的幾個概念1 有n=10的樣本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，則樣本均值= ，樣本均方差 ，樣本方差 。2設總體方差為有樣本，樣本均值為，則 。§6.2 數理統計中常用的三個分布1. 查有關的附表，下列分位點的值：= ，= ，= 。2設是總體的樣本，求。§6.3 一個正態總體的三個統計量的分布1設總體，樣本，樣本均值，樣本方差，則 ， ， ， ，*§6.4 二個正態總體的三個統計量的分布第6章作業答案§6.1 1； 2. ；§6.2 1-1.29， 9.

24、236， -1.3722； 2；§6.3 1.；第7章 參數估計§7.1 矩估計法和順序統計量法1.設總體的密度函數為：，有樣本，求未知參數 的矩估計。2.每分鐘通過某橋量的汽車輛數，為估計的值，在實地隨機地調查了20次，每次1分鐘，結果如下：次數： 2 3 4 5 6 量數： 9 5 3 7 4 試求的一階矩估計和二階矩估計。 §7.2 極大似然估計1.設總體的密度函數為：，有樣本，求未知參數 的極大似然估計。§7.3 估計量的評價標準1.設總體服從區間上的均勻分布，有樣本，證明是 的無偏估計。2.設總體，有樣本，證明是參數的無偏估計（）。§7.4 參數的區間估計