1、前三屆高數競賽預賽試題（非數學類）（參加高等數學競賽的同學最重要的是好好復習高等數學知識，適當看一些輔導書及相關題目，主要是一些各大高校的試題。）2009年 第一屆全國大學生數學競賽預賽試卷一、填空題（每小題5分，共20分）1計算_，其中區域由直線與兩坐標軸所圍成三角形區域.解: 令，則， （*）令，則，2設是連續函數，且滿足, 則_.解: 令，則，,解得。因此。3曲面平行平面的切平面方程是_.解: 因平面的法向量為，而曲面在處的法向量為，故與平行，因此，由，知，即，又，于是曲面在處的切平面方程是，即曲面 平行平面的切平面方程是。4設函數由方程確定，其中具有二階導數，且，則_.解: 方程的兩邊

2、對求導，得因，故，即，因此二、（5分）求極限，其中是給定的正整數.解 :因故因此三、（15分）設函數連續，且，為常數，求并討論在處的連續性.解 : 由和函數連續知，因，故，因此，當時，故當時，這表明在處連續.四、（15分）已知平面區域，為的正向邊界，試證：（1）；（2）.證 :因被積函數的偏導數連續在上連續，故由格林公式知（1）而關于和是對稱的，即知因此（2）因故由知即 五、（10分）已知，是某二階常系數線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.解 設，是二階常系數線性非齊次微分方程的三個解，則和都是二階常系數線性齊次微分方程的解，因此的特征多項式是，而的特征多項式是因此二階常系數線性齊次微

3、分方程為，由和，知，二階常系數線性非齊次微分方程為六、（10分）設拋物線過原點.當時,又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積最小.解 因拋物線過原點，故，于是即而此圖形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積即令，得即因此,.七、（15分）已知滿足, 且, 求函數項級數之和.解 ，即由一階線性非齊次微分方程公式知即因此由知，于是下面求級數的和：令則即由一階線性非齊次微分方程公式知令，得，因此級數的和八、（10分）求時, 與等價的無窮大量.解 令，則因當，時，故在上嚴格單調減。因此即，又，所以，當時, 與等價的無窮大量是。2010年 第二屆全國大學生數學競

4、賽預賽試卷（參加高等數學競賽的同學最重要的是好好復習高等數學知識，適當看一些輔導書及相關題目，主要是一些各大高校的試題。）一、（25分，每小題5分）（1）設其中求（2）求。（3）設，求。（4）設函數有二階連續導數，求。（5）求直線與直線的距離。解：（1）=(2) 令x=1/t,則原式=（3）二、（15分）設函數在上具有二階導數，并且且存在一點，使得。證明：方程在恰有兩個實根。解： 二階導數為正，則一階導數單增，f(x)先減后增，因為f(x)有小于0的值，所以只需在兩邊找兩大于0的值。將f(x)二階泰勒展開：因為二階倒數大于0，所以，證明完成。三、（15分）設函數由參數方程所確定，其中具有二階導

5、數，曲線與在出相切，求函數。解：（這兒少了一個條件）由與在出相切得，=。上式可以得到一個微分方程，求解即可。四、（15分）設證明：（1）當時，級數收斂；（2）當且時，級數發散。解：（1）>0, 單調遞增當收斂時，而收斂，所以收斂；當發散時，所以，而，收斂于k。所以，收斂。（2）所以發散，所以存在，使得于是，依此類推，可得存在使得成立，所以當時，所以發散五、（15分）設是過原點、方向為，（其中的直線，均勻橢球，其中（密度為1）繞旋轉。（1）求其轉動慣量；（2）求其轉動慣量關于方向的最大值和最小值。解：（1）橢球上一點P(x,y,z)到直線的距離由輪換對稱性，（2）當時，當時，六、(15分)

6、設函數具有連續的導數，在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線上，曲線積分的值為常數。（1）設為正向閉曲線證明（2）求函數；（3）設是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求。解：（1） L不繞原點，在L上取兩點A，B，將L分為兩段，再從A，B作一曲線，使之包圍原點。則有（2） 令由（1）知，代入可得上式將兩邊看做y的多項式，整理得由此可得解得：（3） 取為，方向為順時針2011年 第三屆全國大學生數學競賽預賽試卷（參加高等數學競賽的同學最重要的是好好復習高等數學知識，適當看一些輔導書及相關題目，主要是一些各大高校的試題。）一 計算下列各題（本題共3小題，每小題各5分，共15分）（1）.求；解：（用兩個重要極

7、限）：（2）.求；解：(用歐拉公式）令其中，表示時的無窮小量，（3）已知，求。解：二（本題10分）求方程的通解。解：設，則是一個全微分方程，設該曲線積分與路徑無關三（本題15分）設函數f(x)在x=0的某鄰域內具有二階連續導數，且均不為0，證明：存在唯一一組實數，使得。證明：由極限的存在性：即，又，由洛比達法則得由極限的存在性得即，又，再次使用洛比達法則得由得是齊次線性方程組的解設，則，增廣矩陣，則所以，方程有唯一解，即存在唯一一組實數滿足題意，且。四（本題17分）設，其中，為與的交線，求橢球面在上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值。解：設上任一點，令，則橢球面在上點M處的法向量為：在點M

8、處的切平面為：原點到平面的距離為，令 則，現在求在條件，下的條件極值，令則由拉格朗日乘數法得：，解得或，對應此時的或此時的或又因為，則所以，橢球面在上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值分別為： ，五（本題16分）已知S是空間曲線繞y軸旋轉形成的橢球面的上半部分（）取上側，是S在點處的切平面，是原點到切平面的距離，表示S的正法向的方向余弦。計算：（1）；（2）解：（1）由題意得：橢球面S的方程為令則，切平面的法向量為，的方程為，原點到切平面的距離將一型曲面積分轉化為二重積分得：記(2)方法一： 六（本題12分）設f(x)是在內的可微函數，且，其中，任取實數，定義證明：絕對收斂。證明：由拉格朗日中值定理得：介于之間，使得，又得級數收斂，級數收斂，即絕對收斂。七（本題15分）是否存在區間上的連續可微函數f(x)，滿足，？請說明理由。