1、圓錐曲線與方程解題歸納分析（附同步高考真題練習與答案）1. 點到直線的距離2.弦長公式：線上兩點間的距離： 或3.焦點三角形面積公式：（其中）4.焦半徑公式：（1），可簡記為“左加右減，上加下減”。（2）（3）最值問題（1）定義轉化例1.已知點F是雙曲線1的左焦點，定點A的坐標為(1,4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|PA|的最小值為_解析:圖所示，根據雙曲線定義|PF|PF|4，即|PF|4|PF|.又|PA|PF|AF|5，將|PF|4|PF|代入，得|PA|PF|45，即|PA|PF|9，等號當且僅當A，P，F三點共線，即P為圖中的點P0時成立，故|PF|PA|的最小值為9.故填9

2、.（2）切線法（3）參數法例2.在平面直角坐標系xOy中，點P(x，y)是橢圓y21上的一個動點，則Sxy的最大值為_解析因為橢圓y21的參數方程為(為參數)故可設動點P的坐標為(cos ，sin )，其中02.因此Sxycos sin 22sin，所以，當時，S取最大值2.（4）基本不等式法例3.設橢圓中心在坐標原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線ykx(k0)與橢圓相交于E，F兩點，求四邊形AEBF面積的最大值解：題設得橢圓的方程為y21.直線AB，EF的方程分別為x2y2，ykx(k0)設E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2滿足方程(14k2

3、)x24，故x2x1.根據點到直線的距離公式和式，得點E，F到AB的距離分別為h1，h2，又|AB|，所以四邊形AEBF的面積為S|AB|(h1h2)··22，當2k1，即k時，取等號所以四邊形AEBF面積的最大值為2.圓錐曲線范圍問題（1）曲線幾何性質例4已知雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是_解析根據雙曲線定義|PF1|PF2|2a，設|PF2|r，則|PF1|4r，故3r2a，即r，|PF2|.根據雙曲線的幾何性質，|PF2|ca，即ca，即，即e.又e1，故雙曲線的離心

4、率e的取值范圍是.故填.（2）判別式例5在平面直角坐標系xOy中，經過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個不同的交點P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數m，使得向量與共線？如果存在，求m值；如果不存在，請說明理由解(1)由已知條件，知直線l的方程為ykx，代入橢圓方程，得(kx)21，整理得x22kx10.由直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q，得8k244k220，解得k或k，即k的取值范圍為.(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)由方程，知x1x2.又y1y2k(x1x2)2.由A(，0)，

5、B(0,1)，得(，1)所以與共線等價于x1x2(y1y2)，將代入，解得k.由(1)知k或k，故不存在符合題意的常數k.圓錐曲線定值定點問題特殊到一般例6.已知雙曲線C：x21，過圓O：x2y22上任意一點作圓的切線l，若l交雙曲線于A，B兩點，證明：AOB的大小為定值證明當切線的斜率不存在時，切線方程為x±.當x時，代入雙曲線方程，得y±，即A(，)，B(，)，此時AOB90°，同理，當x時，AOB90°.當切線的斜率存在時，設切線方程為ykxb，則，即b22(1k2)由直線方程和雙曲線方程消掉y，得(2k2)x22kbx(b22)0，由直線l與雙曲

6、線交于A，B兩點故2k20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1x2，x1x2，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2，故x1x2y1y2，由于b22(1k2)，故x1x2y1y20，即·0，AOB90°.綜上可知，若l交雙曲線于A，B兩點，則AOB的大小為定值90°常用方法1、點差法（中點弦問題）設、，為橢圓的弦中點則有，；兩式相減得=例7.已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓上，且點A是橢圓短軸的一個端點（點A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程;（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點D

7、的軌跡方程.解：（1）設B（,）,C(,),BC中點為(),F(2,0)則有兩式作差有 (1)F(2,0)為三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得直線BC的方程為2)由ABAC得 （2）設直線BC方程為，得， 代入（2）式得，解得或直線過定點（0，設D（x,y），則，即所以所求點D的軌跡方程是。2設而不求法例8.如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當時，求雙曲線離心率的取值范圍。 解法一：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標系，則CD軸因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于軸對稱 依

8、題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高，由定比分點坐標公式得 ， 設雙曲線的方程為，則離心率由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和代入雙曲線方程得 ， 由式得 ， 將式代入式，整理得 ，故 由題設得，解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式, 用的橫坐標表示，回避的計算, 達到設而不求的解題策略 解法二：建系同解法一，又，代入整理，由題設得，解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 3求根公式法例9.設直線過點P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，試求的取值范圍.簡解1：當直線垂直于x軸時，可求得;當與x軸不垂直時，設，直線的方程為：，代入橢圓方程

9、，消去得解之得 因為橢圓關于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮的情形.當時，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .簡解2：設直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .結合得. 綜上，.同步高考真題練習1設P是曲線y24x上的一個動點，則點P到點A(1,1)的距離與點P到x1直線的距離之和的最小值為()A. B. C. D.2已知A，B，C三點在曲線y上，其橫坐標依次為1，m,4(1<m<4)，當ABC的面積最大時，m等于()A3 B.C. D.3.橢圓的切線 與兩坐標軸分別交于A,B兩點 ， 求三角形OAB的最

10、小面積 。4.已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設點.（1）求該橢圓的標準方程；（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；（3）過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值。5橢圓b2x2a2y2a2b2(ab0)的左焦點為F，過F點的直線l交橢圓于A，B兩點，P為線段AB的中點，當PFO的面積最大時，求直線l的方程6橢圓b2x2a2y2a2b2(ab0)和圓x2y22有四個交點，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓離心率e的范圍為()A.e B0eC.e D.e7.橢圓（a>b>0）的二個焦點F1(-c，0)，F2(c，0)，M是橢圓上一點，且。 求離心

11、率e的取值范圍.8.設、分別是橢圓的左、右焦點.（）若是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值;（）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.9.在平面直角坐標系中，已知雙曲線：（1）過的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及軸圍成的三角形的面積；（2）設斜率為1的直線交于、兩點，若與圓相切，求證：；（3）設橢圓：，若、分別是、上的動點，且，求證：到直線的距離是定值10.已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標準方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以

12、為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標練習答案1.解析如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線是x1，由拋物線的定義知：點P到直線x1的距離等于點P到焦點F的距離；于是，問題轉化為：在曲線上求一點P，使點P到點A(1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小；顯然，連AF交曲線于P點故最小值為，即為.2.解析：由題意知A(1,1)，B(m，)，C(4,2)直線AC所在的方程為x3y20，點B到該直線的距離為d.SABC|AC|·d××|m32|()2|.m(1,4)，當時，SABC有最大值，此時m.故選B.3.解：設切點為 ， 則切線

13、方程為 .令y=0, 得切線與x軸交點；令x=0,得切線與y軸交點B(0,)= 4.解：(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.又橢圓的焦點在x軸上, 橢圓的標準方程為(2)設線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標是(x0,y0),由中點標公式得x=x0=2x1，y0=2y，由點P在橢圓上,得, 線段PA中點M的軌跡方程是.(3)當直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此ABC的面積SABC=1.當直線BC不垂直于x軸時,說該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(,),則,又點A到直線BC的距離d=,ABC的面積SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,當k=

14、時,等號成立.SABC的最大值是. 解：求直線方程，由于F(c,0)為已知，僅需求斜率k，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則y0，由于SPFO|OF|·|y0|y0|只需保證|y0|最大即可，由(b2a2k2)y22b2ckyb4k20，|y0|得：SPFO，此時a2|k|k±，故直線方程為：y±(xc)6.解析：此題的本質是橢圓的兩個頂點(a,0)與(0，b)一個在圓外、一個在圓內即：e.7.解：設點M的坐標為(x，y)，則，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 又由點M在橢圓上，得y2=b2，代入，得x2-c2，即。0，

15、0，即01，01，解得1。又01，1.8.解：（）易知所以，設，則因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值（）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，聯立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或9.解：(1)雙曲線C1：y21，左頂點A，漸近線方程：y±x.過點A與漸近線yx平行的直線方程為y，即yx1.解方程組得所以所求三角形的面積為S|OA|y|.(2)設直線PQ的方程是yxb，因直線PQ與已知圓相切，故1，即b22.由得x22bxb210.設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則又y1y2(x1b)(x2b)，所以·x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故OPOQ.(3)當直線ON