1、通信系統綜合設計與實踐題目基于MATLAB的低通濾波器設計 院（系）名稱信院通信系 專業名稱通信工程 學生姓名 學生學號 指導教師 2013年 5 月 25 日目 錄摘要.21巴特沃斯低通數字濾波器簡介.3 1.1選擇巴特沃斯低通濾波器及雙線性變換法的原因.4 1.2巴特沃斯低通濾波器的基本原理.4 1.2.1巴特沃斯低通濾波器的基本原理.4 1.2.2雙線性變換法的原理. .51.3數字濾波器設計流程圖. .7 1.4數字濾波器的設計步驟. .72.巴特沃斯低通數字濾波器技術指標的設置.83.用matlab實現巴特沃斯低通數字濾波器的仿真并分析.9 3.1用matlab實現巴特沃斯低通數字濾

2、波器的仿真.9 3.2波形圖分析. . .104.用Simulink實現巴特沃斯低通數字濾波器的仿真并分析.11 4.1 Simulink簡介. . .11 4.2用Simulink實現巴特沃斯低通數字濾波器的仿真. 11 4.3波形圖分析. . .11 4.3.1 Simulink波形圖分析. . .11 4.3.2與matlab波形的比較. .145.總結與體會. .156.附錄.16 摘 要低通濾波器是讓規定頻率以下的信號分量通過，而對該頻率以上的信號分量抑制的電容、電感與電阻等器件的組合裝置。巴特沃斯濾波器是電子濾波器的一種，特點是通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻

3、帶則逐漸下降為零。可以構成低通、高通、帶通和帶阻四種組態，是目前最為流行的一類數字濾波器 ,經過離散化可以作為數字巴特沃思濾波器較模擬濾波器具有精度高、穩定、靈活、不要求阻抗匹配等眾多優點因而在自動控制、語音、圖像、通信、雷達等眾多領域得到了廣泛的應用，是一種具有最大平坦幅度響應的低通濾波器。本文將介紹其中最常用的一種巴特沃斯低通數字濾波器。本文側重于理論分析、matlab編程和結果分析。（1）本文將先概述巴特沃斯低通數字濾波器的工作原理和特點。（2）設置技術指標; （3）用matlab進行軟件編程，將仿真波形與理論值進行比較，分析其中的異同，并通過一個輸入波形來驗證設計的巴特沃斯低通數字濾波

4、器的準確性。（4）對實驗結果和理論結果進行比較，分析它們的異同點并進行總體分析。（5）用Simulink進行硬件電路仿真，觀察仿真結果，并通過一個輸入波形來驗證仿真效果。（6）通過對用Matlab軟件仿真和Simulink硬件仿真的比較，說明兩者的優缺點。（7）對實驗結果進行最后的總結，寫出自己的感想。關鍵字： matlab 低通濾波器 巴特沃斯 1. 巴特沃斯低通數字濾波器簡介1.1選擇巴特沃斯低通濾波器及雙線性變換法的原因（1）由于低通濾波器是組成其它濾波器的基礎，故選用低通濾波器；（2）在當今社會，數字信號的應用越來越廣泛，故選用數字信號；（3）巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶的頻率響應曲線

5、最平滑并且應用范圍最廣，故選巴特沃斯型濾波器； （4）為了不使數字濾波器在=附近產生頻譜混疊，故選用雙線性變換法。1.2巴特沃思低通濾波器的基本原理：1.2.1巴特沃思低通濾波器的基本原理：巴特沃斯低通數字濾波器的幅度平方函數用下式表示式中，N稱為濾波器的階數。當=0時，；時，是3dB截止頻率。在附近，隨加大，幅度迅速下降。幅度特性與與N的關系如圖1.1所示。幅度下降的速度與階數N有關，N愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快，總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。圖1.1 巴特沃斯低通數字濾波器 圖1.2 三階巴特沃斯濾波器極點幅度特性與與N的關系 分布圖以替換，將幅

6、度平方函數寫成的函數 復變量，此式表示幅度平方函數有2N個極點，極點用下式表示： （=0,1,2,3.） 2N個極點等間隔分布在半徑為的圓上（該圓稱為巴特沃斯圓），間隔為rad。例如N=3,極點間隔為/3rad，如圖1.2所示。 為形成因果穩定的濾波器，2N個極點中只取平面左半平面的的N個極點構成Ha(s), 而右半平面的的N個極點構成Ha(-s),Ha（s）的表達式為為使設計公式和圖表統一，將頻率歸一化。巴特沃斯低通數字濾波器采用對3dB截止頻率歸一化，歸一化后的系統函數為令,稱為歸一化頻率， 稱為歸一化復變量，這樣，巴特沃斯低通原型系統函數為 1.2.2雙線性變換法原理雙線性變換法是使數字

7、濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似的一種變換方法。為了克服多值映射的缺點，采用把整個s平面頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用轉換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現象。映射關系如圖1.3所示。設Ha（s）,經過非線性頻率壓縮后用，表示，這里用正切變換實現頻率壓縮： 圖1.3 雙線性變換的映射關系式中，T為采樣間隔，當從-/T經過0變化到/T時，由-經過0變化到+，實現了s

8、平面上整個虛軸完全壓縮到平面上虛軸的+/T之間的轉換。即 代入,得到 再通過從平面轉換到z平面，得到 上式是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數之比，因此稱為雙線性變換。雙線性變換法與沖激響應不變法相比，其主要的優點是避免了頻率響應的混疊現象，雖然在線性方面有些欠缺，但是可以通過頻率的預畸來加以校正且計算比沖激響應不變法方便，實現起來比較容易，所以，本設計選擇用雙線性變換法設計巴特沃斯低通濾波器。1.3數字濾波器設計流程圖數字濾波器技術指標指標參數變 換相應的模擬濾波器設計模擬濾波器離散化數字濾波器1.4數字濾波器的設計步驟數字濾波器的設計步驟：根據數字濾波器的技術指標先

9、設計過渡模擬濾波器得到系統函數Ha(s),然后將Ha(s)按某種方法（本實驗采用雙線性變換法）轉換成數字濾波器的系統函數H（z）。具體為：（1）確定巴特沃斯數字低通濾波器的技術指標：通帶邊界頻率p,阻帶截止頻率s,通帶最大衰減p,阻帶最小衰減s。（2）將數字濾波器的技術指標轉換為模擬濾波器的技術指標。這里指p和s的變換而p和s保持不變。本題采用雙線性變換法，其轉換公式為： （3）根據技術指標p、s、p和s用下面公式求出濾波器的階數。 （4） 根據N由表1.4求出歸一化極點和歸一化低通原型系統函數Ga(p)。表1.4 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數 分母因式階數B(p)=B1(p)B2(p)BN/

10、2(p) N/2表示取大于等于N/2的最小整數 1（p2+1） 2 (p2+1.4142p+1) 3 (p2+p+1)(p+1)4 (p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1)5 (p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1)6 (p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1)7 (p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1)8 (p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9619p+1)9 (p2+0.3473p+1)(p2+

11、p+1)(p2+1.5321p+1)(p2+1.8974p+1)(p+1)（5）將Ga（p）去歸一化，將代入Ga（p），得到實際的濾波器系統函數： 這里c為3dB截止頻率。（6）用雙線性變換法將模擬濾波器Ha(s)轉換成數字低通濾波器系統函數H(z)。轉換公式為：s=2. 巴特沃斯低通數字濾波器技術指標的設置數字低通技術指標為p=30Hz, p=1dBs=60Hz s=30dB采樣頻率為fs=500設計要求：輸入x=sin(2*20*t)+2*sin(2*100*t)+5*sin(2*200*t)合成信號，經過濾波器后濾除30Hz以上的分量，即只保留sin(2*20*t)分量信號，來驗證設計的

12、濾波器是否達到了設計要求。設計目的：(1)理解低通濾波器的過濾方法。(2)進一步熟悉低通濾波器的基本應用。(3)用仿真工具matlab和Simulink分別對設計的濾波器進行軟件和硬件仿真。(6)將對仿真結果進行比較，從而檢驗濾波器濾波性能的準確性。3.用matlab實現巴特沃斯低通數字濾波器的仿真并分析3.1用matlab實現巴特沃斯低通數字濾波器的仿真Matlab程序如下：fs=500;t=0:1/fs:1;x=sin(2*pi*20*t)+2*sin(2*pi*100*t)+5*sin(2*pi*200*t); wp=2*30/fs;ws=2*60/fs;Rp=1;As=30;subpl

13、ot(311);plot(t,x);title('輸入信號');N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As);B,A=butter(N,wc);H,W=freqz(B,A);y=filter(B,A,x);subplot(312);plot(W,abs(H);title('低通濾波器');subplot(313);plot(t,y)title('30Hz');用matlab濾波前后的信號波形變化如圖3.1所示：圖3.1 用matlab濾波前后的信號波形變化3.2波形圖分析： 由技術指標得：設計的巴特沃斯低通數字濾波器為30Hz以內的信號能通

14、過，而高于30Hz的信號將通不過濾波器。因此，我們設計一個輸入信號，其為：x=sin(2*20*t)+2*sin(2*100*t)+5*sin(2*200*t)。使其通過設計好的巴特沃斯低通數字濾波器，來驗證設計好的巴特沃斯低通數字濾波器是否準確。 如圖3.1所示，輸入信號為x=sin(2*20*t)+2*sin(2*100*t)+5*sin(2*200*t)，其圖形在1秒內重復了20次，故其頻率為20Hz，幅度為8，由sin(2*20*t)、2*sin(2*100*t)和5*sin(2*200*t)三個正弦波合成，從圖中可知，輸入信號的幅度與頻率與輸入信號的理論波形幾乎完全相同。而通過低通濾

15、波器后信號只剩下一個，且在1秒內波形重復了20.25次，即周期為1/20.25s，其頻率為20.25Hz, 幅度為1，和輸入信號中的sin(2*20*t)分量相差不大，但其頻率稍微有些失真，說明了設計的低通濾波器達到了要求。4.用Simulink實現巴特沃斯低通數字濾波器的仿真并分析4.1Simulink簡介Simulink是Matlab最重要的組件之一，是MATLAB中的一種可視化仿真工具， 是一種基于MATLAB的框圖設計環境，是實現動態系統建模、仿真和分析的一個軟件包它提供一個動態系統建模、仿真和綜合分析的集成環境。在該環境中，無需大量書寫程序，而只需要通過簡單直觀的鼠標操作，就可構造出

16、復雜的系統。Simulink具有適應面廣、結構和流程清晰及仿真精細、貼近實際、效率高、靈活等優點，并基于以上優點Simulink已被廣泛應用于控制理論和數字信號處理的復雜仿真和設計。同時有大量的第三方軟件和硬件可應用于或被要求應用于Simulink。4.2用Simulink實現巴特沃斯低通數字濾波器的仿真用Simulink硬件仿真的電路圖4.1如下所示圖4.1 用Simulink硬件仿真的原理圖4.3波形圖分析 Simulink波形圖分析圖中Sine Wave為正弦波，函數分別為sin(2*20*t)、2*sin(2*100*t)和5*sin(2*200*t)；三個加號的為求和函數；Digit

17、al Filter Design為巴特沃斯低通數字濾波器，其設置如圖4.2所示；而Scope為三個信號相加后的波形（如圖4.3、4.4所示），用來觀察輸入信號；Scope1為經過巴特沃斯低通數字濾波器后的波形（如圖4.5所示），用來觀察濾波效果。Digital Filter Design的設置如圖三所示，其設置的為巴特沃斯低通數字濾波器，Scope為輸入信號，由圖4.3的，其幅度略大于五，其周期為0.01s，頻率為100Hz，與輸入信號x=sin(2*20*t)+2*sin(2*100*t)+5*sin(2*200*t)的幅度8，頻率200Hz有較大差距，說明失真較嚴重存在不小的信號衰減，而S

18、cope1（如圖4.5所示）為濾波后的信號，其幅度為1.1，在5s到5.5s內波形重復了10次，故其周期為0.05s，頻率為20Hz，與輸入信號中的sin(2*20*t)相當，幅度變大了0.1，說明有噪聲干擾，但也基本達到了設計要求。圖4.2 Digital Filter Design圖4.3 輸入信號的波形圖4.4 輸入信號的波形圖4.5 濾波后的信號4.3.2用Matlab與Simulink仿真結果的比較： 輸入信號的比較用Simulink出來的信號干擾較大，失真較嚴重，說明存在外界干擾，導致信號衰減，而用matlab出來的信號較好，干擾可以忽略。巴特沃斯低通數字濾波器的比較由圖3.1中的

19、低通濾波器和圖4.2比較可得可知，用matlab設計的濾波器過渡帶較窄，而用Simulink設計的濾波器過渡帶較大，仿真結果和matlab相比效果較差，用matlab設計的濾波器與理論值差距較小，濾波效果更好。輸出信號的比較用matlab濾波后的信號比理論信號在1秒內大了1/4個周期，效果不錯，而用Simulink濾波后的信號周期沒變，幅度大了0.1，但濾波器控制不了幅度，幅度的變化說明存在外界干擾，說明噪聲較大，但從濾波效果來看也達到了設計要求。 綜述由圖4.4和圖4.5可知，用Simulink設計的濾波器的輸入信號與濾波后信號均存在5s的延遲，說明了加法器的處理速度較慢，而用matlab設

20、計的濾波器不存在此現象。從濾波效果來看，用matlab設計的濾波器效果較好，其雖存在頻率誤差，但影響不大，而用Simulink設計的濾波器頻率雖不失真，但存在較大的外界干擾。個人認為，用matlab設計的巴特沃斯低通數字濾波器濾波效果較好。對設計結果與理論值的比較，其均存在一定的誤差，從側面說明對于任何實驗結果，在一定范圍內的誤差是允許的，其與理論值均有一定的誤差，這是不可避免的，其中的原因多種多樣，如實驗設計不合理，外界因素的干擾，信號衰減.對于這些，我們只能通過不斷改進設計原理、優化設計步驟等措施來減小誤差。同時，也告訴我們，任何理論結果要轉換成實際應用，均要進行一定的優化，使其達到實際的

21、應用要求。5.總結與體會 數字濾波器是一種對數字信號進行濾波處理以得到期望的響應特性的離散時間系統。它能夠有效的對數字信號進行過濾，過濾多數字信號中的干擾和多余成分，能夠保證通信過程的正常實現。本次實驗設計選擇了在通信系統中最常用，也是最基礎的巴特沃斯低通數字濾波器。根據給定的數字數字濾波器的技術指標，先設計過渡模擬濾波器得到系統函數Ha(s),然后將Ha(s)采用雙線性變換法轉換成數字濾波器的系統函數H（z）。在這個變換的過程中避免了頻率的混疊現象。然后根據數字濾波器的系統函數，編寫程序，分別運用matlab和Simulink仿真工具對設計的巴特沃斯低通數字濾波器進行了仿真。經過幾次調試和對產生的仿真結果的分析，得到了在誤差允許范圍之內的低通數字濾波器。并且設計了驗證實驗。對一個由多個信號合成的數字信號