1、2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 第1課時1.1.探索二次函數(shù)探索二次函數(shù)y=axy=ax2 2的圖象的作法的圖象的作法.(.(重點重點) )2.2.根據(jù)二次函數(shù)根據(jù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2的圖象理解的圖象理解y=axy=ax2 2的性質(zhì)的性質(zhì)( (圖象的形狀、開圖象的形狀、開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、開口大小等口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、開口大小等).().(重點重點) )3.3.能應(yīng)用二次函數(shù)能應(yīng)用二次函數(shù)y=axy=ax2 2的性質(zhì)解決相關(guān)問題的性質(zhì)解決相關(guān)問題.(.(難點難點) )觀察函數(shù)觀察函數(shù)y=xy=x2 2,y= x,y= x2 2,y=2x,y=2x2 2,y=-x,y=-x2

2、 2,y=- x,y=- x2 2和和y=-2xy=-2x2 2的圖象的圖象, ,找找出它們的異同點出它們的異同點: :1212(1)(1)函數(shù)函數(shù)y=axy=ax2 2(a0)(a0)的圖象是一條拋物線的圖象是一條拋物線, ,它關(guān)于它關(guān)于_軸對稱軸對稱, ,它它的頂點坐標(biāo)是的頂點坐標(biāo)是_._.(2)(2)由由y=xy=x2 2,y= x,y= x2 2,y=2x,y=2x2 2的圖象的圖象, ,可知可知: :當(dāng)當(dāng)a0a0時時, ,拋物線拋物線y=axy=ax2 2開開口口_,_,頂點是拋物線上位置頂點是拋物線上位置_的點的點,a,a越大越大, ,拋物線的開口拋物線的開口越越_._.(3)(3

3、)類似地類似地, ,由由y=-xy=-x2 2,y=- x,y=- x2 2和和y=-2xy=-2x2 2的圖象的圖象, ,可知可知: :當(dāng)當(dāng)a0a0a0時時, ,拋物線拋物線y = axy = ax2 2開口開口_; ;當(dāng)當(dāng)a0a0a0時時, ,頂點是拋物線上位置頂點是拋物線上位置_的點的點, ,當(dāng)當(dāng)x=0 x=0時時, ,函數(shù)值最小函數(shù)值最小; ;當(dāng)當(dāng)a0a0a0時時, ,左左_右右_, ,當(dāng)當(dāng)a0a0)(a0)的關(guān)系的關(guān)系. .(1)(1)拋物線拋物線y=axy=ax2 2與與y=-axy=-ax2 2關(guān)于關(guān)于_軸對稱軸對稱. .(2)(2)拋物線拋物線y=axy=ax2 2與與y=-a

4、xy=-ax2 2關(guān)于關(guān)于_成中心對稱成中心對稱. .x x原點原點(1)(1)二次函數(shù)二次函數(shù)y=2xy=2x2 2的圖象與的圖象與x x軸無交點軸無交點. .( )( )(2)(2)二次函數(shù)二次函數(shù)y=-3xy=-3x2 2的圖象是左降右升的圖象是左降右升. .( )( )(3)(3)二次函數(shù)二次函數(shù)y=5xy=5x2 2的最大值為的最大值為0.0.( )( )(4)(4)二次函數(shù)二次函數(shù)y=2xy=2x2 2與與y= xy= x2 2的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于x x軸對稱軸對稱. .( )( )(5)(5)二次函數(shù)二次函數(shù)y=- xy=- x2 2的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于y y軸對稱軸對稱. .(

5、 )( )1212知識點知識點 1 1 二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2的圖象與性質(zhì)的圖象與性質(zhì)【例例1 1】函數(shù)函數(shù)y=(m+2) y=(m+2) 是關(guān)于是關(guān)于x x的二次函數(shù)的二次函數(shù), ,求求: :(1)(1)滿足條件的滿足條件的m m的值的值. .(2)m(2)m為何值時為何值時, ,拋物線有最低點拋物線有最低點? ?求出這個最低點求出這個最低點, ,這時當(dāng)這時當(dāng)x x為何為何值時值時,y,y隨隨x x的增大而增大的增大而增大? ?(3)m(3)m為何值時為何值時, ,拋物線的開口向下拋物線的開口向下? ?這時當(dāng)這時當(dāng)x x為何值時為何值時,y,y隨隨x x的增的增大而減小大而減

6、小? ?2mm 4x【解題探究解題探究】(1)(1)函數(shù)是二次函數(shù)的條件是自變量的最高次數(shù)是函數(shù)是二次函數(shù)的條件是自變量的最高次數(shù)是_，二次項，二次項的系數(shù)不為的系數(shù)不為_. .由此得到關(guān)于由此得到關(guān)于m m的方程組是的方程組是 解得解得m=m=_或或m=m=_. .(2)(2)若拋物線有最低點，則拋物線的開口若拋物線有最低點，則拋物線的開口_，所以二次項的，所以二次項的系數(shù)系數(shù)_零，由此確定符合條件的零，由此確定符合條件的m m值是值是_. .在對稱軸的在對稱軸的_側(cè)，側(cè)，即即x x_0 0時，時，y y隨隨x x的增大而增大的增大而增大. .2 20 02mm42,m20，2 2-3-3向

7、上向上大于大于2 2右右(3)(3)二次項的系數(shù)滿足什么條件時，拋物線的開口向下？由此二次項的系數(shù)滿足什么條件時，拋物線的開口向下？由此確定符合條件的確定符合條件的m m值是多少？在對稱軸的哪一側(cè)，值是多少？在對稱軸的哪一側(cè)，y y隨隨x x的增大的增大而減小？而減小？提示：提示：二次項的系數(shù)小于零時，拋物線的開口向下，所以，符二次項的系數(shù)小于零時，拋物線的開口向下，所以，符合條件的合條件的m m的值為的值為-3-3，在對稱軸的右側(cè)，即，在對稱軸的右側(cè)，即x x0 0時，時，y y隨隨x x的增的增大而減小大而減小. .【總結(jié)提升總結(jié)提升】二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2的的“兩關(guān)系四對

8、等兩關(guān)系四對等”1.a1.a0 0開口向上開口向上有最小值有最小值 x x0 0時，時，y y隨隨x x的增大而增大，的增大而增大，( (右升右升) ) x x0 0時，時，y y隨隨x x的增大而減小的增大而減小.(.(左降左降) )2.a2.a0 0開口向下開口向下有最大值有最大值 x x0 0時，時，y y隨隨x x的增大而減小，的增大而減小，( (右降右降) ) x x0 0時，時，y y隨隨x x的增大而增大的增大而增大.(.(左升左升) )知識點知識點 2 2 求二次函數(shù)求二次函數(shù)y=axy=ax2 2的解析式的解析式【例例2 2】(2013(2013山西中考山西中考) )如圖是我

9、省某地一座拋物線形拱橋如圖是我省某地一座拋物線形拱橋, ,橋拱在豎直平面內(nèi)橋拱在豎直平面內(nèi), ,與水平橋面相交于與水平橋面相交于A,BA,B兩點兩點, ,橋拱最高點橋拱最高點C C到到ABAB的距離為的距離為9m,AB=36m,D,E9m,AB=36m,D,E為橋拱底部的兩點為橋拱底部的兩點, ,且且DEAB,DEAB,點點E E到到直線直線ABAB的距離為的距離為7m,7m,則則DEDE的長為的長為m.m.【思路點撥思路點撥】以以C C為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點, ,取向右、向上分別為取向右、向上分別為x x軸、軸、y y軸正軸正方向方向, ,建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系. .設(shè)出函數(shù)解析式設(shè)出函數(shù)解析式

10、, ,把點把點B B坐標(biāo)代入坐標(biāo)代入, ,確定解析確定解析式式, ,令令y=-16,y=-16,求出對應(yīng)求出對應(yīng)x x值值, ,求出求出DEDE的長的長. .【自主解答自主解答】以頂點以頂點C C為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)拋物線解析式為設(shè)拋物線解析式為y=axy=ax2 2，由題意得由題意得B(18B(18，-9)-9)，把，把B(18B(18，-9)-9)代入代入y=axy=ax2 2, ,得得a a18182 2=-9=-9，a=a=所以拋物線解析式為所以拋物線解析式為y=y=當(dāng)當(dāng)y=-9-7=-16y=-9-7=-16時，時，-16= x=-1

11、6= x=24,DE=48 m.24,DE=48 m.答案：答案：48481.3621x ,3621x36，【總結(jié)提升總結(jié)提升】解二次函數(shù)解二次函數(shù)y=axy=ax2 2的應(yīng)用題的三步驟的應(yīng)用題的三步驟題組一題組一: :二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2的圖象與性質(zhì)的圖象與性質(zhì)1.1.下列函數(shù)中下列函數(shù)中, ,當(dāng)當(dāng)x0 x0時時, ,函數(shù)值函數(shù)值y y隨隨x x的增大而增大的有的增大而增大的有( () )y=3x,y=3x,y=-x+3,y=-x+3,y=- ,y=- ,y=-xy=-x2 2. .A.1A.1個個B.2B.2個個C.3C.3個個D.4D.4個個【解析解析】選選C.C.當(dāng)當(dāng)

12、x0 x0,.a=10,拋物線的對稱軸是拋物線的對稱軸是y y軸軸, ,與與y y軸交于點軸交于點(0,0),(0,0),與拋物線與拋物線y=-xy=-x2 2的開口大小一樣的開口大小一樣,選項選項B,CB,C正確正確,D,D選項錯誤選項錯誤. .3.3.如圖如圖, ,四個二次函數(shù)的圖象中四個二次函數(shù)的圖象中, ,分別對應(yīng)的關(guān)系式是分別對應(yīng)的關(guān)系式是: :y=axy=ax2 2; ;y=bxy=bx2 2; ;y=cxy=cx2 2; ;y=dxy=dx2 2, ,則則a,b,c,da,b,c,d的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是( () )A.abcdA.abcdB.abdcB.abdcC.bacdC

13、.bacdD.badcD.badc【解析解析】選選A.A.由圖象可知由圖象可知a0,b0,c0,d0,b0,c0,db0,dcb0,dc0.4.(20134.(2013麗水中考麗水中考) )若二次函數(shù)若二次函數(shù)y=axy=ax2 2的圖象經(jīng)過點的圖象經(jīng)過點P(-2,4),P(-2,4),則該圖象必經(jīng)過點則該圖象必經(jīng)過點( () )A.(2,4)A.(2,4)B.(-2,-4)B.(-2,-4)C.(-4,2)C.(-4,2)D.(4,-2)D.(4,-2)【解析解析】選選A.A.二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2的圖象的對稱軸為直線的圖象的對稱軸為直線x=0,x=0,即圖即圖象上的點關(guān)于象

14、上的點關(guān)于y y軸對稱軸對稱, ,又點又點P(-2,4)P(-2,4)與點與點(2,4)(2,4)關(guān)于關(guān)于y y軸對稱軸對稱, ,所所以點以點(2,4)(2,4)必在函數(shù)圖象上必在函數(shù)圖象上. .5.5.已知點已知點(m,y(m,y1 1),(m+3,y),(m+3,y2 2) )都在拋物線都在拋物線y=xy=x2 2上上, ,且且m-3,m ”“”“ ”或或“= =”).).【解析解析】m-3,mm+30,m-3,mm+30,當(dāng)當(dāng)x0 x0時時,y,y隨隨x x的增大而減小的增大而減小, ,又又mm+30,ymm+3yy2 2. .答案答案: : 題組二題組二: :求二次函數(shù)求二次函數(shù)y=a

15、xy=ax2 2的解析式的解析式1.1.已知點已知點(a,8)(a,8)在二次函數(shù)在二次函數(shù)y=axy=ax2 2的圖象上的圖象上, ,則則a a的值是的值是( () )A.2 B.-2 C.A.2 B.-2 C.2 D.2 D.【解析解析】選選A.A.把點把點(a,8)(a,8)代入二次函數(shù)解析式得代入二次函數(shù)解析式得8=a8=a3 3, ,所以所以a=2.a=2.22.2.二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2與與y=2xy=2x2 2的圖象的圖象, ,開口大小、形狀都相同開口大小、形狀都相同, ,開口開口方向相反方向相反, ,則則a=a=. .【解析解析】由題意得由題意得|a|=2,|a

16、|=2,因為二次函數(shù)因為二次函數(shù)y=axy=ax2 2的圖象開口向下的圖象開口向下, ,所以所以a=-2.a=-2.答案答案: :-2-23.3.汽車剎車距離汽車剎車距離s(m)s(m)與速度與速度v(km/h)v(km/h)之間的函數(shù)關(guān)系式是之間的函數(shù)關(guān)系式是s= vs= v2 2，在一輛車速為，在一輛車速為100 km/h100 km/h的汽車前方的汽車前方80 m80 m處發(fā)現(xiàn)停放處發(fā)現(xiàn)停放一輛故障車，此時剎車一輛故障車，此時剎車_有危險有危險( (選填選填“會會”或或“不會不會”).).【解析解析】把把v=100v=100代入函數(shù)關(guān)系式得代入函數(shù)關(guān)系式得s=100s=1008080，所

17、以此時剎車，所以此時剎車會有危險會有危險. .答案：答案：會會11004.4.如圖所示，已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點如圖所示，已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點O O，矩形，矩形ABCDABCD的頂?shù)捻旤c點A A，D D在拋物線上，且在拋物線上，且ADAD平行于平行于x x軸，交軸，交y y軸于點軸于點F F，ABAB的中點的中點E E在在x x軸上，軸上，B B點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為(2(2，1)1)，點，點P(aP(a，b)b)在拋物線上運在拋物線上運動動( (點點P P異于點異于點O)O)(1)(1)求此拋物線的解析式求此拋物線的解析式. .(2)(2)過點過點P P作作CBCB所在直線的垂線，所在

18、直線的垂線，垂足為點垂足為點R R，求證：，求證：PFPFPR.PR.【解析解析】(1)(1)由題意可得由題意可得: :點點A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2,-1),(2,-1),拋物線的頂點為坐標(biāo)原點拋物線的頂點為坐標(biāo)原點O,O,可設(shè)拋物線的解析式為可設(shè)拋物線的解析式為:y=ax:y=ax2 2, ,將點將點A(2,-1)A(2,-1)代入可得代入可得:4a=-1,:4a=-1,解得解得a=- ,a=- ,拋物線的解析式為拋物線的解析式為y=- xy=- x2 2. .1414(2)(2)如圖如圖, ,過點過點P P作作PGyPGy軸軸, ,垂足為垂足為G.G.連結(jié)連結(jié)PF.PF.由題意可知由題意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),GF=|b-(-1)|=|b+1|,PG=|a|,PR=1-b,GF=|b-(-1)|=|b+1|,PG=|a|,PR=1-b,點點P(aP(a，b)b)為拋物線為拋物線y=- xy=- x2 2上的動點，上的動點，b=b= a a2 2，變形得：，變形得：a a2 2= =4b4b，在在RtRtPGFPGF中，由勾股定理可得：中，由勾股定理可得：PFPFPR.PR.1414