1、22.3 實際問題與二次函數實際問題與二次函數第二十二章 二次函數 優優 翼翼 課課 件件 導入新課講授新課當堂練習課堂小結 第1課時 幾何圖形的最大面積九年級數學上（RJ） 教學課件學習目標1.分析實際問題中變量之間的二次函數關系.（難點）2.會運用二次函數求實際問題中的最大值或最小值.3.能應用二次函數的性質解決圖形中最大面積問題.（重點）導入新課導入新課復習引入 寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標，并寫出其最值.（1）y=x2-4x-5; (配方法) (2)y=-x2-3x+4.(公式法)解：（1）開口方向：向上；對稱軸：x=2； 頂點坐標：（2，-9）；最小值：-9；（2）開口

2、方向：向下；對稱軸：x= ；頂點坐標：（ ， ）；最大值： .3-23-2254254求二次函數的最大（或最小）值一講授新課講授新課合作探究問題1 二次函數 的最值由什么決定？2yaxbxcxyOxyO2bxa 2bxa 最小值最大值二次函數 的最值由a及自變量的取值范圍決定.2yaxbxc問題2 當自變量x為全體實數時，二次函數 的最值是多少？2yaxbxc244acbya最小值當a0時，有 ，此時 . 2bxa244acbya最大值當a0時，有 ，此時 .2bxa問題3 當自變量x有限制時，二次函數 的最值如何確定？2yaxbxc例1 求下列函數的最大值與最小值x0y解：-3123 x23

3、9()224yx232yxx（1）( 31)x 231()424yx3312 Q32x 當 時，1-44y最小值1x 當 時，132=2.y 最大值典例精析解：0 xy5 x1-321215yxx （2）( 31)x 21565yx （）53Q即x在對稱軸的右側.3x 當 時，26.5y最大值函數的值隨著x的增大而減小.1x 當 時，6.5y 最小值方法歸納當自變量的范圍有限制時，二次函數 的最值可以根據以下步驟來確定：2yaxbxc1.配方，求二次函數的頂點坐標及對稱軸.2.畫出函數圖象，標明對稱軸，并在橫坐標上標明x的取值范圍.3.判斷，判斷x的取值范圍與對稱軸的位置關系.根據二次函數的性

4、質，確定當x取何值時函數有最大或最小值.然后根據x的值，求出函數的最值.引例:從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度 h（單位：m）與小球的運動時間 t（單位：s）之間的關系式是 h= 30t - 5t 2 （0t6）小球的運動時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？二次函數與幾何圖形面積的最值二t/sh/mO1 2 3 4 5 62040h= 30t - 5t 2 可以出，這個函數的圖象是一條拋物看線的一部分，這條拋物線的頂點是這個函數的圖象的最高點.也就是說，當t取頂點的橫坐標時，這個函數有最大值.由于拋物線 y = ax 2 + bx + c 的頂點是最低（高）點，當 時，二次

5、函數 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值2bxa 244acbya想一想：如何求出二次函數 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？小球運動的時間是 3s 時，小球最高.小球運動中的最大高度是 45 m303225bta （），2243045445acbha （）t/sh/mO1 2 3 4 5 62040h= 30t - 5t 2 例2 用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化.當l是多少時，場地的面積S最大？問題1 矩形面積公式是什么？典例精析問題2 如何用l表示另一邊？問題3 面積S的函數關系式是什么？解:根據題意得S=l(30

6、-l),即 S=-l2+30l (0l30).因此，當 時， S有最大值 301522( 1)bla 2243022544(1)acba 也就是說，當l是1 15m時，場地的面積S最大.5 510101515 2020 25253030100100200200lsO變式1 如圖，用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長32m，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？xx60-2x問題2 我們可以設面積為S，如何設自變量？問題3 面積S的函數關系式是什么？問題1 變式1與例題有什么不同？Sx(602x)2x260 x.設垂直于墻的邊長為x米問題4 如何求解自變量

7、x的取值范圍？墻長32m對此題有什么作用？問題5 如何求最值？最值在其頂點處，即當x=15m時，S=450m2.0602x32，即14x30.變式2 如圖，用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？x問題1 變式2與變式1有什么異同？問題2 可否模仿變式1設未知數、列函數關系式？問題3 可否試設與墻平行的一邊為x米？則如何表示另一邊與面積？答案：設矩形面積為Sm2,與墻平行的一邊為x米，則22601130(30)450222xSxxxx 問題4 當x=30時，S取最大值，此結論是否正確？問題5 如何求自變量的取值范

8、圍？0 0 x 18. 18.問題6 如何求最值？由于30 30 1818，因此只能利用函數的增減性求其最值.當x=18時，S有最大值是378. 不正確. 實際問題中求解二次函數最值問題，不一定都取圖象頂點處，要根據自變量的取值范圍.通過變式1與變式2的對比，希望同學們能夠理解函數圖象的頂點、端點與最值的關系，以及何時取頂點處、何時取端點處才有符合實際的最值.方法總結例3 用長為6米的鋁合金材料做一個形狀如圖所示的矩形窗框.窗框的高于寬各位多少時，它的透光面積最大？最大透光面積是多少？（鋁合金型材寬度不計）x解：設矩形窗框的寬為x m，則高為 m.這里應有x0，故0 x2.632x6302x矩

9、形窗框的透光面積y與x之間的函數關系式是：632xyx g233 .2yxx 即233(1).22yx 配方得所以，當x=1時，函數取得最大值，最大值y=1.5.x=1滿足0 x2，這時631.5.2x因此，所做矩形窗框的寬為1 m、高為1.5 m時，它的透光面積最大，最大面積是1.5 m2.知識要點二次函數解決幾何面積最值問題的方法1.求出函數解析式和自變量的取值范圍；2.配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.檢查求得的最大值或最小值對應的自變量的值必須在自變量的取值范圍內. 1.用一段長為15m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18m，這個矩形菜園的最大面積是_.當堂練習當堂

10、練習2225m82.如圖1，在ABC中， B=90 ,AB=12cm,BC=24cm,動點P從點A開始沿AB向B以2cm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始BC以4cm/s的速度移動（不與點C重合）.如果P、Q分別從A、B同時出發，那么經過 秒，四邊形APQC的面積最小.3ABCPQ圖1解：設一直角邊長為解：設一直角邊長為x，則另一直角邊長為，則另一直角邊長為 ，依題意得：依題意得：3.已知直角三角形的兩已知直角三角形的兩直角邊之和為直角邊之和為8，兩直角邊分別為，兩直角邊分別為多少時，此三角形的多少時，此三角形的面積最大面積最大？最大值是多少？最大值是多少？)8 (x)8(21x

11、xSxx4212)16168(212xx8)4(212x84maxSx時，當84xQ4x48.當兩直角邊都為 時，這個三角形面積最大，最大值為4. 某小區在一塊一邊靠墻某小區在一塊一邊靠墻(墻長墻長25m)的空地上修建一個矩的空地上修建一個矩形綠化帶形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，綠化帶一邊靠墻， 另三邊用總長為另三邊用總長為40m的柵欄圍住設綠化帶的邊長的柵欄圍住設綠化帶的邊長BC為為xm，綠化帶的面，綠化帶的面積為積為ym2(1)求求y與與x之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍.2240(1)()24012022xyxxxxx解：25 mDAC

12、B)250(20212xxxy即x240 x(2)當當x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？xxy202122）（)40(212xx )202040(21222xx200)20(212x20020maxyx面積時，滿足條件的綠化帶當025xQ5. 某廣告公司設計一幅周長為12m的矩形廣告牌，廣告設計費用每平方米1000元，設矩形的一邊長為x(m),面積為S(m2). (1)寫出S與x之間的關系式，并寫出自變量x的取值范圍； 解：(1)設矩形一邊長為x，則另一邊長為（6-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0 x6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)