1、2 圓的對稱性第1課時 1.1.利用圓的軸對稱性研究垂徑定理及其逆定理利用圓的軸對稱性研究垂徑定理及其逆定理.(.(重點重點) )2.(1)2.(1)和圓有關的相關概念的辨析理解和圓有關的相關概念的辨析理解. .(2)(2)垂徑定理及其逆定理的應用垂徑定理及其逆定理的應用.(.(重點、難點重點、難點) ) 1.1.圓的軸對稱性圓的軸對稱性圓是軸對稱圖形，其對稱軸是圓是軸對稱圖形，其對稱軸是_._.2.2.和圓相關的概念和圓相關的概念(1)(1)弦和直徑：弦是連接圓上任意兩點間的弦和直徑：弦是連接圓上任意兩點間的_，直徑是經過，直徑是經過_的弦的弦. .(2)(2)弧：弧：_任意兩點間的部分叫做

2、圓弧，簡稱任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱_._.(3)(3)等圓和等弧：等圓和等弧：_相等的圓叫等圓，在相等的圓叫等圓，在_中，中，能夠完全能夠完全_的弧叫做等弧的弧叫做等弧. . 任意一條過圓心的直線任意一條過圓心的直線線段線段圓心圓心圓上圓上弧弧半徑半徑同圓或等圓同圓或等圓重合重合3.3.垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論如圖，如圖，CDCD為為O O的直徑，的直徑，ABAB為弦為弦. .【思考思考1 1】(1)(1)當當CDABCDAB，垂足為，垂足為E E時，將圓沿直線時，將圓沿直線CDCD對折，點對折，點A A與與點點B B重合嗎？你會發現哪些相等的線段和相等的弧？重合嗎？你會發現哪些

3、相等的線段和相等的弧？提示：提示：重合重合. .(2)(2)你能證明你能證明AE=BEAE=BE嗎？嗎？提示：提示：連接連接OAOA，OBOB，則，則OA=OB.OA=OB.CDABCDAB，OAEOAE和和OBEOBE都是直角三角形都是直角三角形. .又又OEOE為公共邊，為公共邊，兩個直角三角形全等，則兩個直角三角形全等，則AE=BE.AE=BE.AEBE ADBD,ACBC.，(3)(3)當當AE=BEAE=BE時，將圓沿直線時，將圓沿直線CDCD對折，對折， 相等嗎？相等嗎？提示：提示：連接連接OAOA，OBOB，則，則OEOE為等腰為等腰AOBAOB底邊上的中線，底邊上的中線，CDA

4、BCDAB，對折后點對折后點A A與點與點B B重合，重合，(4)(4)上述證明是在上述證明是在AOBAOB存在即存在即ABAB為非直徑的弦的條件下得到的為非直徑的弦的條件下得到的結論，那么當結論，那么當ABAB為直徑時是否成立呢？你能畫出圖形嗎？為直徑時是否成立呢？你能畫出圖形嗎？提示：提示：成立成立. .如圖所示如圖所示. .ADBD ACBC與， 與ADBD,ACBC.【總結總結】垂徑定理：垂直于弦的直徑垂徑定理：垂直于弦的直徑_，并且，并且_弦所弦所對的弧對的弧. .平分弦平分弦平分平分【思考思考2 2】(1)AB(1)AB是是O O的弦的弦( (不是直徑不是直徑) )，作一條平分，作

5、一條平分ABAB的直徑的直徑CDCD，交，交ABAB于點于點E E，那么，那么CDCD會垂直于會垂直于ABAB嗎？還會平分弦所對的兩嗎？還會平分弦所對的兩條弧嗎？條弧嗎？提示：提示：連接連接OAOA，OBOB，則，則OA=OBOA=OB，AOBAOB為等腰三角形為等腰三角形. .直徑直徑CDCD平分平分ABAB，底邊底邊ABAB上的中線上的中線OEOE所在的直線所在的直線CDAB.CDCDAB.CD為直徑，為直徑，ADBD ACBC.，(2)(2)當弦當弦ABAB為直徑時，作一條平分為直徑時，作一條平分ABAB的直徑的直徑CDCD，那么，那么CDCD還垂直還垂直于于ABAB嗎？還平分弦所對的兩

6、條弧嗎？請畫圖說明嗎？還平分弦所對的兩條弧嗎？請畫圖說明. .提示：提示：不一定不一定. .如圖，如圖，CDCD平分平分ABAB，但是，但是CDCD不垂直于不垂直于ABAB，不平分，不平分弦所對的兩條弧弦所對的兩條弧. . 【總結總結】垂徑定理的推論垂徑定理的推論: :平分弦平分弦( (不是直徑不是直徑) )的直徑的直徑_于弦于弦, ,并且并且_弦所對的弧弦所對的弧. .垂直垂直平分平分 ( (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)任意一條直徑都是圓的對稱軸任意一條直徑都是圓的對稱軸.( ).( )(2)(2)半徑是一個圓中最短的弦半徑是一個圓中最短的弦.( ).( )(3)(3)平分弦的直徑

7、垂直于弦，并且平分弦所對的弧平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.( ).( )(4)(4)等弧一定出現在等圓或同圓中等弧一定出現在等圓或同圓中.( ).( ) 知識點知識點 1 1 垂徑定理垂徑定理【例例1 1】如圖，如圖，O O的半徑為的半徑為2 2，弦，弦 點點C C在弦在弦ABAB上，上， 則則OCOC的長為的長為( )( )AB2 3，1ACAB4，2 37A. 2B. 3C.D.32【思路點撥思路點撥】作作ODABODAB于點于點DD構造兩個直角三角形，應用勾構造兩個直角三角形，應用勾股定理和垂徑定理股定理和垂徑定理求出求出OCOC的長度的長度. .【自主解答自主解答】選選D.

8、D.如圖，作如圖，作ODABODAB于點于點D D，則，則 由勾股定理，得由勾股定理，得1BDAB3.2113ACABCDAB.442又，22222222237OCCDODCDOBBD()23247OC.2，【總結提升總結提升】垂徑定理運用中的垂徑定理運用中的“兩注意兩注意”1.1.兩條輔助線：一是過圓心作弦的垂線，二是連接圓心和弦的兩條輔助線：一是過圓心作弦的垂線，二是連接圓心和弦的一端一端( (即半徑即半徑) )，這樣把半徑、圓心到弦的距離、弦的一半構建，這樣把半徑、圓心到弦的距離、弦的一半構建在一個直角三角形中，運用勾股定理求解在一個直角三角形中，運用勾股定理求解. .2.2.方程的思想

9、：在直接運用垂徑定理求線段的長度時，常常將方程的思想：在直接運用垂徑定理求線段的長度時，常常將未知的一條線段設為未知的一條線段設為x,x,利用勾股定理構造關于利用勾股定理構造關于x x的方程解決問的方程解決問題題. .這是一種用代數方法解決幾何問題的解題思路這是一種用代數方法解決幾何問題的解題思路. . 知識點知識點 2 2 垂徑定理的應用垂徑定理的應用【例例2 2】如圖是一個隧道的橫截面，若它的形狀是以如圖是一個隧道的橫截面，若它的形狀是以O O為圓心的為圓心的圓的一部分，路面圓的一部分，路面AB=10AB=10米，凈高米，凈高CD=7CD=7米，則此圓的半徑米，則此圓的半徑OAOA是是多少

10、米？多少米？【解題探究解題探究】1.1.根據題意及圖示，你能用數學符號語言表述垂根據題意及圖示，你能用數學符號語言表述垂徑定理嗎徑定理嗎( (假設假設CECE為為O O的直徑的直徑) )？提示：提示：CECE為為O O的直徑，的直徑，CEABCEAB，ADBD ACBC AEBE.，2.2.如何根據垂徑定理求如何根據垂徑定理求ADAD的長？的長？提示：提示：在在O O中，中，AB=10AB=10米，米，ODABODAB，3 3設設O O的半徑的半徑OAOA為為x x米，請用代數式表示線段米，請用代數式表示線段ODOD的長的長. .提示：提示：ODOD可表示為可表示為(7-x)(7-x)米米.

11、.ABAD5.2 米4 4應用垂徑定理計算的關鍵是尋找以弦的一半、半徑和弦到應用垂徑定理計算的關鍵是尋找以弦的一半、半徑和弦到圓心的垂線段為邊的直角三角形圓心的垂線段為邊的直角三角形. .利用勾股定理列方程求解，利用勾股定理列方程求解，請你找出此直角三角形，并求解請你找出此直角三角形，并求解. .提示：提示：此直角三角形是此直角三角形是RtRtAOD.AOD.在在RtRtAODAOD中，中，OAOA2 2=OD=OD2 2+AD+AD2 2，即即x x2 2=(7-x)=(7-x)2 2+5+52 2，解得，解得37x.7【總結提升總結提升】垂徑定理基本圖形的四變量、兩關系垂徑定理基本圖形的四

12、變量、兩關系1.1.四變量：如圖，弦長四變量：如圖，弦長a a，圓心到弦的距離，圓心到弦的距離d,d,半徑半徑r,r,弧的中點弧的中點到弦的距離到弦的距離( (弓形高弓形高)h,)h,這四個變量知任意兩個可求其他兩個這四個變量知任意兩個可求其他兩個. .2.2.兩關系：兩關系：222a( )drhdr.2；題組一：題組一：垂徑定理垂徑定理1.(20131.(2013廣安中考廣安中考) )如圖，已知半徑如圖，已知半徑ODOD與弦與弦ABAB互相垂直，垂足互相垂直，垂足為點為點C C，若，若AB=8 cmAB=8 cm，CD=3 cmCD=3 cm，則圓，則圓O O的半徑為的半徑為( )( )【解

13、析解析】選選A.A.連接連接AOAO，設圓，設圓O O的半徑是的半徑是r cm,r cm,則則AO=r cm,CO=(r-AO=r cm,CO=(r-3)cm.3)cm.由垂徑定理得由垂徑定理得 在在RtRtAOCAOC中，由勾股定理中，由勾股定理得得4 42 2+(r-3)+(r-3)2 2=r=r2 2，解得，解得25A. cmB.5 cm619C.4 cmD. cm61ACAB4 cm.225r cm.62.(20132.(2013濰坊中考濰坊中考) )如圖，如圖，O O的直徑的直徑AB=12AB=12，CDCD是是O O的弦，的弦，CDABCDAB，垂足為，垂足為P P，且，且BPAP

14、=BPAP=15,15,則則CDCD的長為的長為( )( )【解析解析】選選D.D.連接連接OCOC，OP=4.APCDOP=4.APCD，CP=DP.CP=DP.在在RtRtOCPOCP中，中，A.4 2B.8 2C.2 5D.4 51BPAB2OCOB6,6，2222CPOCOP642 5CD2CP4 5.，3.3.如圖，如圖，ABAB為為O O的直徑，弦的直徑，弦CDABCDAB于于E E，已知，已知CDCD1212，BEBE2 2，則，則O O的直徑為的直徑為( )( )A.8 B.10A.8 B.10C.16 D.20C.16 D.20【解析解析】選選D.D.連接連接OCOC，設，設

15、OCOC的長為的長為r r，CDCD1212，由垂徑定理，由垂徑定理可得可得CECE6 6，OECOEC是直角三角形，是直角三角形，BEBE2 2，OEOEr r2 2， 由勾股定理可得由勾股定理可得OCOC2 2OEOE2 2+CE+CE2 2，即即r r2 2(r(r2)2)2 2+6+62 2，解得，解得r r1010，O O的直徑為的直徑為10102=20.2=20. 4.4.如圖，在半徑為如圖，在半徑為1010的的O O中，如果弦心距中，如果弦心距OC=6OC=6，那么弦，那么弦ABAB的的長等于長等于_._.【解析解析】連接連接OAOA，在，在RtRtOACOAC中，中，OA=10

16、OA=10，OC=6OC=6，根據勾股定理，根據勾股定理得到得到 因而因而AB=2AC=16AB=2AC=16，弦，弦ABAB的長等于的長等于1616答案：答案：161622AC1068 ，5.5.如圖如圖, ,在在O O中中,AB,AB為為O O的弦的弦,C,D,C,D是直線是直線ABAB上的兩點上的兩點, ,且且AC=BD,AC=BD,求證：求證：OCDOCD是等腰三角形是等腰三角形. .【證明證明】過過O O點作點作OMAB,OMAB,垂足為垂足為M.OMAB,AM=BM.M.OMAB,AM=BM.AC=BD,CM=DM.AC=BD,CM=DM.又又OMAB,OMAB,OC=OD.OC=

17、OD.OCDOCD是等腰三角形是等腰三角形. . 6.6.已知：如圖，已知：如圖，PAC=30PAC=30，在射線，在射線ACAC上順次截取上順次截取AD=3 cmAD=3 cm，DB=10 cmDB=10 cm，以，以DBDB為直徑作為直徑作O O交射線交射線APAP于于E E，F F兩點，求圓心兩點，求圓心O O到到APAP的距離及的距離及EFEF的長的長. .【解析解析】過點過點O O作作OGAPOGAP于點于點G G，連接，連接OFOF，DB=10 cmDB=10 cm，OD=5 cmOD=5 cm，AO=AD+OD=3+5=8(cm)AO=AD+OD=3+5=8(cm)，PAC=30

18、PAC=30，OGEFOGEF，EG=GFEG=GF，EF=2GF=6(cm)EF=2GF=6(cm)，圓心圓心O O到到APAP的距離為的距離為4 cm,EF4 cm,EF的長為的長為6 cm.6 cm.11OGAO84 cm22，2222GFOFOG543 cm，【解題技巧解題技巧】解決有關弦的問題解決有關弦的問題, ,常常需要作輔助線：弦心距常常需要作輔助線：弦心距和半徑和半徑, ,把垂徑定理和勾股定理結合起來把垂徑定理和勾股定理結合起來. .題組二：題組二：垂徑定理的應用垂徑定理的應用1.1.如圖如圖, ,將半徑為將半徑為2 cm2 cm的圓形紙片折疊后的圓形紙片折疊后, ,圓弧恰好經

19、過圓心圓弧恰好經過圓心O,O,則折痕則折痕ABAB的長為的長為( )( )【解析解析】選選C.C.作作ODABODAB于于D,D,連接連接OA.OA.根據根據題意得題意得 再根據勾股定理得：再根據勾股定理得：AD= cm,AD= cm,根據垂徑定理得根據垂徑定理得A.2 cmB. 3 cmC.2 3 cmD.2 5 cm1ODOA1 cm,2AB2 3 cm.32.(20132.(2013麗水中考麗水中考) )一條排水管的截面如圖所示，一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑已知排水管的半徑OB=10OB=10，水面寬，水面寬AB=16AB=16，則截面，則截面圓心圓心O O到水面的距離到水

20、面的距離OCOC是是( )( )A.4 B.5 C.6 D.8A.4 B.5 C.6 D.8【解析解析】選選C.C.由垂徑定理知由垂徑定理知OCOC垂直平分垂直平分ABAB，故，故BC=8BC=8，由勾股定，由勾股定理得理得OC=6.OC=6. 3.3.工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是徑是10 mm10 mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8 mm8 mm，如圖所，如圖所示，則這個小圓孔的寬口示，則這個小圓孔的寬口ABAB的長度為的長度為_mm._mm.【解析解析】設圓心為設圓心為O O

21、，過點，過點O O作作ODABODAB于點于點D D，根據題意知，根據題意知，OA=5 mmOA=5 mm，OD=8OD=85=3(mm)5=3(mm)，根據勾股定理，得：，根據勾股定理，得： 則則AB=2AD=8 mm. AB=2AD=8 mm. 答案：答案：8 8 22ADOAOD4 mm，4.4.如圖，以點如圖，以點P P為圓心的圓弧與為圓心的圓弧與x x軸交于軸交于A A，B B兩點，點兩點，點P P的坐標的坐標為為(4(4，2)2)，點，點A A的坐標為的坐標為(2(2，0)0)，則點，則點B B的坐標為的坐標為_._.【解析解析】如圖，過點如圖，過點P P作作PCxPCx軸于軸于C

22、 C，則，則OC=4OC=4，又又OA=2OA=2，所以，所以AC=2AC=2，根據垂徑定理可得，根據垂徑定理可得BC=AC=2.BC=AC=2.因此，點因此，點B B的坐標為的坐標為(6(6，0).0).答案：答案：(6,0)(6,0) 5.5.在直徑為在直徑為52 cm52 cm的圓柱形油槽內裝入一些油后的圓柱形油槽內裝入一些油后, ,截面如圖截面如圖, ,如如果油的最大深度為果油的最大深度為16 cm,16 cm,那么油面寬度那么油面寬度ABAB為為_cm._cm.【解析解析】作作OCAB,OCAB,交交O O于于D,D,連接連接OA,OA,依題意依題意OC=26-16=10(cm),ACOC