1、24.2 直線和圓的位置關系 優優 翼翼 課課 件件 第3課時 切線長定理導入新課講授新課當堂練習課堂小結九年級數學上（RJ） 教學課件學習目標1.掌握切線長的定義及切線長定理.（重點）2.初步學會運用切線長定理進行計算與證明.（難點）導入新課導入新課情境引入同學們玩過空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球的旋轉的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數學圖形？講授新課講授新課切線長定理及應用一互動探究問題1 上節課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線(如左圖所示)，如果點P是圓外一點，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點作圓的切線，可以作幾條？POBAO.PA B P1.切線長的定義： 切線上一點到切點之間的線

2、段的長叫作這點到圓的切線長AO切線是直線，不能度量.切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量2.切線長與切線的區別在哪里？知識要點問題2 PA為O的一條切線，沿著直線PO對折，設圓上與點A重合的點為B OB是O的一條半徑嗎？ PB是O的切線嗎？（利用圖形軸對稱性解釋） PA、PB有何關系？ APO和BPO有何關系？O.PABPO切線長定理: 過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等.圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.PA、PB分別切O于A、BPA = PBOPA=OPB幾何語言: 切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法.注意知識要點O.P已知，如圖PA、P

3、B是O的兩條切線，A、B為切點.求證：PA=PB，APO=BPO.證明：PA切O于點A， OAPA.同理可得OBPB.OA=OB，OP=OP，RtOAPRtOBP，PA=PB，APO=BPO.推理驗證AB想一想：若連結兩切點A、B，AB交OP于點M.你又能得出什么新的結論?并給出證明.OP垂直平分AB.證明：PA，PB是 O的切線,點A，B是切點 PA = PB ，OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線 OP垂直平分AB.O.PABM想一想：若延長PO交 O于點C，連結CA、CB，你又能得出什么新的結論?并給出證明.證明：PA，PB是 O的切線,點A，B是切點， PA = PB

4、 ，OPA=OPB. PC=PC. PCA PCB， AC=BC.CA=CBO.PABC典例精析例1 已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA與 O分別相切與點E、F、G、H.求證：AB+CD=AD+BC.ABCDO證明：AB、BC、CD、DA與 O分別相切與點E、F、G、H，EFGH AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.AB+CD=AD+BC.例2 為了測量一個圓形鐵環的半徑，某同學采用了如下辦法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30的三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到相關數據，進而可求得鐵環的半徑，若三角板

5、與圓相切且測得PA=5cm，求鐵環的半徑解析：欲求半徑OP，取圓的圓心為O，連OA，OP，由切線性質知OPA為直角三角形，從而在RtOPA中由勾股定理易求得半徑O在RtOPA中，PA5，POA30，OQ解：過O作OQAB于Q，設鐵環的圓心為O，連接OP、OA.AP、AQ為 O的切線，AO為PAQ的平分線，即PAOQAO.又BAC60，PAOQAOBAC180，PAOQAO60.=5 3cm.OP即鐵環的半徑為5 3cm.PPA、PB是O的兩條切線，A,B是切點，OA=3.（1）若AP=4,則OP= ;（2）若BPA=60 ,則OP= .56練一練 小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形

6、廢料進行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？三角形的內切圓及作法二互動探究問題1 如果最大圓存在，它與三角形三邊應有怎樣的位置關系？ OOOO最大的圓與三角形三邊都相切三角形角平分線的這個性質，你還記得嗎？問題2 如何求作一個圓，使它與已知三角形的三邊都相切？ (1) 如果半徑為r的I與ABC的三邊都相切，那么圓心I應滿足什么條件？(2) 在ABC的內部，如何找到滿足條件的圓心I呢？ 圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.三角形三條角平分線交于一點，這一點與三角形的三邊距離相等.圓心I應是三角形的三條角平分線的交點.為什么呢？已知：ABC.求作：和ABC的各邊都相切的

7、圓.ABCOMND作法：1.作B和C的平分線BM和CN，交點為O.2.過點O作ODBC.垂足為D.3.以O為圓心，OD為半徑作圓O.O就是所求的圓.做一做1.與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內切圓.2.三角形內切圓的圓心叫做這個三角形的內心.3.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.BACI I是ABC的內切圓，點I是ABC的內心，ABC是I的外切三角形.知識要點三角形的內心的性質三BACI問題1 如圖，I是ABC的內切圓，那么線段OA，OB ,OC有什么特點？互動探究線段OA，OB ,OC 分別是A，B，C的平分線.BACI問題2 如圖，分別過點作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為E、F，G，

8、那么線段IE、IF、IG之間有什么關系？EFGIE=IF=IG知識要點u三角形內心的性質三角形內心的性質三角形的內心在三角形的角平分線上.三角形的內心到三角形的三邊距離相等.BACIEFG IA，IB，IC是ABC的角平分線，IE=IF=IG.例3 如圖，ABC中， B=43，C=61 ，點I是ABC的內心，求 BIC的度數.解：連接IB，IC.ABCI點I是ABC的內心，IB，IC分別是 B，C的平分線，在IBC中，180()BICIBCICB 1180()2BC 1180(4361 )2128 .例4 如圖，一個木模的上部是圓柱，下部是底面為等邊三角形的直三棱柱. 圓柱的下底面圓是直三棱柱

9、上底面等邊三角形的內切圓，已知直三棱柱的底面等邊三角形的邊長為3cm，求圓柱底面圓的半徑.該木模可以抽象為幾何如下幾何圖形.CABrOD解： 如圖，設圓O切AB于點D，連接OA、OB、OD.圓O是ABC的內切圓,AO、BO是BAC、ABC的角平分線 ABC是等邊三角形, OAB=OBA=30oODAB，AB=3cm，AD=BD= AB=1.5(cm)12OD=AD tan30o= (cm)32答:圓柱底面圓的半徑為 cm.32例5 ABC的內切圓O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的長.想一想：圖中你能找出哪些相等的線段

10、？理由是什么？BACEDFO解: 設AF=xcm，則AE=xcm.CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).方法小結：關鍵是熟練運用切線長定理，將相等線段轉化集中到某條邊上，從而建立方程.解得 x=4.ACEDFO比一比名稱確定方法圖形性質外心：三角形外接圓的圓心內心：三角形內切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內部三角形三條角平分線的交點1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分BAC、A

11、BC、ACB3.內心在三角形內部ABOABCO1.求邊長為6 cm的等邊三角形的內切圓半徑與外接圓半徑.解：如圖，由題意可知BC=6cm,ABC=60，ODBC，OB平分ABC.OBD=30，BD=3cm,OBD為直角三角形.tan303cm.ODBD2 3cm.cos30BDBD 內切圓半徑外接圓半徑練一練變式：求邊長為a的等邊三角形的內切圓半徑r與外接圓半徑R的比.sinOBD sin30 rR ODOB .12ABCODEFABCDEFO2.設ABC的面積為S，周長為L， ABC內切圓的半徑為r，則S，L與r之間存在怎樣的數量關系？111222SAB OFAC OEBC ODggg11(

12、).22ABACBC rLrABCOcDEr3.如圖，直角三角形的兩直角邊分別是a、b,斜邊為c，則其內切圓的半徑r為_（以含a、b、c的代數式表示r）.2abcr解析：過點O分別作AC，BC，AB的垂線，垂足分別為D，E，F.F則AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因為AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以.2abcr2.如圖，已知點O是ABC 的內心，且ABC= 60 , ACB= 80 ,則BOC= . 1.如圖，PA、PB是O的兩條切線，切點分別是A、B，如果AP=4, APB= 40 ,則APO= ,PB= . P第1題第2題當堂練習當堂

13、練習20 4110 （3）若BIC=100 ，則A = 度.（2）若A=80 ，則BIC = 度.130203.如圖，在ABC中，點I是內心， （1）若ABC=50， ACB=70，BIC=_.ABCI（4）試探索： A與BIC之間存在怎樣的數量關系？120190.2BICA4.如圖所示，已知在ABC中，B90，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于E，與AC相切于點D.求證：DEOC.證明：連接OD，AC切O點D，ODAC，ODC=B=90.在RtOCD和RtOCB中， ODOB ，OCOC RtODCRtOBC（HL），DOC=BOC.OD=OE，ODE=OED，DOB=ODE+OED，BOC=OED，DEOC方法二：證明：連接BD，AC切O于點D，AC切O于點B，DC=BC，OC平分DCB.OCBD.BE為O的直徑，DEBD.DEOC5.如圖，ABC中，I是內心，A的平分線和ABC的外接圓相交于點D.求證：DIDB.證明：連接BI.I是ABC的內心，BAD=CAD，ABI=CBI，C