1、隨機利率三因子模型及參數估計                             作者：侯麗英劉振忠董繼學 內容摘要：本文在分析利率期限結構模型的基礎上，將影響短期利率行為特征的均值回復、隨機波動和跳躍因素同時考慮到利率期限結構模型的構建中，建立了三因子模型。并且對模型參數進行了有效矩估計，比較幾個同類模型，結果表

2、明三因子模型對我國國債回購利率具有較好的擬合能力。 關鍵詞：隨機利率 三因子模型 有效矩估計 隨機利率模型概述 利率作為金融市場上最重要的價格變量之一，一直是金融學研究的重點，特別是短期利率，它直接影響著資產定價、金融產品設計、保值和風險管理、套利以及投機等金融活動。因此，學者們提出了許多利率期限結構模型來刻畫利率的隨機行為，例如，Merton(1973)、Vasicek(1977)、Cox(1985)、CKLS(1992)模型等，這些模型假設利率的動態變化都遵循擴散過程，即瞬時利率可用下列隨機微分方程的一般形式來表達： 其中，m(rt)為漂移項，表示利率變化的瞬時期望；s(rt)為擴散項；s

3、2(rt)為利率變化的瞬時方差；dWt為布朗運動的微分增量。當漂移項或波動率函數選擇不同形式時，就能得到已有的各個著名隨機利率模型，它們都屬于單因子利率參數模型。 但金融市場自身的復雜性決定了僅僅用單因子模型來描述是不完全的，國內外大部分的實證研究表明，瞬時利率變動的總體方差絕大部分來自于兩到三個因素的貢獻，并且三個主要因素基本上能解釋短期利率曲線80%以上的動態特征。因此本文將影響短期利率行為特征的均值回復、隨機波動和跳躍因素同時考慮到利率期限結構模型的構建中，建立了三因子模型；并利用上海證交所國債回購利率數據，對模型參數進行了有效矩估計，比較已有的同類模型，說明該模型具有較好的擬合能力。

4、三因子模型的建立 在已有的期限結構模型中，CKLS模型對短期利率的動態行為特點的研究具有推動作用，現今幾乎所有與期限結構相關的實證大都基于CKLS 模型或與其有關，其具體形式為： drt=(+rt)dt+rtdWt（1） 式中，(+rt)dt為漂移項，為短期利率的長期均值水平。rtdWt為擴散項，為短期利率標準差；表示利率波動性對利率水平敏感程度的參數，越大，短期利率方差對利率水平效應越敏感；dWt為標準維納過程。對（1）中的四個參數、作適當的限制，就可得到現有文獻中幾乎所有的單因素利率模型，這些模型總體上漂移項是線性的。 Ait-Sahalia（1996）使用非參數方法估計短期利率的邊際密度

5、函數時，發現利率過程的漂移項和擴散項都呈現出非線性特征，即倒數形式；而AG模型則假定漂移項是瞬時利率rt的二次函數。綜合以上結果，本文假定瞬時利率服從以下隨機微分方程： 其中，、為常數。 利率的水平因素并不能完全描述利率的隨機行為，波動項也表現出明顯的隨機特征，所以在波動項增加一個不確定因素，就能夠更好地描述利率隨機行為，于是基于（2）的連續時間隨機波動模型為： 其中dW1t、dW2t為不相關的標準維納過程，k為波動率因素的均值回復速度，a為波動率因素的長期平均，為波動率因素的標準差。 更進一步，無論是CKLS模型還是非線性的隨機波動模型，它們都是建立在隨機貼現因子及其狀態變量的影響因子服從布

6、朗運動的條件之上的。布朗運動的樣本路徑是連續的，這意味著用布朗運動描述的變量的變化過程是連續且密集發生的，不會有跳躍或不連續的情況。 但從金融市場發展的歷史來看，利率、股價等變量的連續性經常會被一些不可預測的隨機事件所破壞，帶來因子的突然跳躍，例如金融危機、股市崩盤等。為了在模型中充分反映這些突發事件的影響，本文把價格過程分解成連續和跳躍兩部分，連續部分用布朗運動來描述，跳躍過程用泊松過程來描述，并且假定跳躍過程與連續過程是相互獨立的，具體模型為： 其中，()是產生跳躍的泊松過程，kt表示t時刻隨機跳躍的大小，它是一個隨機變量，服從正態分布N(j，j2)，稱之為三因子模型。 有效矩估計 有效矩

7、估計（EMM）方法是由Gallant and Tauchen提出來的，是一種路徑模擬方法。該方法對隨機變量的條件分布密度函數不作假定，這對利率模型的實證研究是非常理想的，因為很多連續時間利率模型的條件密度函數無法通過解析的形式表達出來。EMM方法估計的具體步驟為： 第一步，選擇一個輔助模型并得到該模型參數的極大似然估計值，所選的輔助模型應能夠捕捉到樣本數據的主要結構特征，并且是一種簡約形式。 第二步，由極大似然估計參數產生模擬數據，以輔助模型刻度向量為矩條件進行模擬矩估計，即通過最小化二次型求得結構模型參數。 （一）輔助模型選擇 為了便于估計，使用連續模型的近似歐拉離散形式，設從t到t+1所用

8、時間為1，因此（4）的離散形式為： 其中t，ut為不相關的標準維納過程，參數向量。輔助模型的選擇首先必須能捕捉到時間序列的主要特征，并能夠應用最大似然方法對模型參數進行估計。本文把觀測數據映射成下列輔助模型：   其中ht=Et2，參數向量為=(m0，m1，m2，m3，b0，b1，b2，j，j，)。設轉移密度為，且Yt-1=(yt-1，K，y1)，用極大似然法估計輔助模型的參數向量，則估計量滿足下列一階條件：  （二）權重矩陣的確定 對樣本輔助模型的刻度向量計算非對稱協方差的一致性估計量，若輔助模型足夠近似原模型，則權重矩陣的計算式為： 實證結果分析 （一）初始數

9、據估計 盡管我國的主要存貸款利率并未實現市場化，但某些利率如CHIBOR、國債回購利率已經基本市場化。隨著交易量的不斷增加，這些利率在一定程度上反映了我國金融市場上的資金供求情況。 本文采用上海證券交易所國債回購利率R007作為無風險短期利率的替代樣本，數據選擇從1999-12-20到2007-12-20的每日交易收盤價。在利率模型中，各種不同期限的利率以連續復利形式表示，所以按下列公式將國債回購利率轉換為等價連續復利。      其中t為當前時刻，T為到期時刻，Rt為對應單利率，rt為對應連續年復利。對轉化后的樣本數據進行統計檢驗（結果見表1）。 &#

10、160;      表1列出了rt和rt+1-rt的均值、標準差和自相關系數，其中j為第j階的自相關系數。為了檢測樣本序列的平穩性，分別對rt和rt+1-rt進行ADF檢驗（結果見表2）。         從表2可以看出，rt和rt+1-rt檢驗的t統計量分別小于顯著性水平1%的臨界值，所以檢驗結果拒絕原假設，即可以認為序列rt和rt+1-rt在1%的顯著水平下都不存在單位根，是平穩序列。 （二）有效矩估計結果 按照有效矩估計的步驟，首先對輔助模型進行參數估計，其次利用（7）

11、式計算協方差矩陣，用輔助模型參數產生模擬序列，以輔助模型刻度向量為矩條件進行模擬矩估計（估計結果見表3）。    表3中td為t分布函數值，各參數值均顯著，這說明上海證券交易所國債回購利率基本可以用三因子模型來描述，并且回購利率表現出均值回復特性和明顯的異方差效應，不但具有時變特征，而且具有持續性。 （三）擬合能力比較 各模型能否有效地描述回購市場利率行為，主要包括兩方面的比較，一是對利率水平的解釋能力；二是對利率波動的解釋能力。本文利用有效矩估計方法，采用相同的數據分別對幾何布朗運動（GB）模型、帶跳躍的幾何布朗運動（GBJD）模型、CKLS模型分別進行參數估計，并在樣本

12、內條件下計算各模型的均方誤差（MSE）和平均誤差（MAE），作為各模型擬合能力比較標準（結果見表4）。       比較表4中的各個指標值可以發現，GB和GBJD兩個模型對利率水平解釋能力大致相同，變化不是很大；CKLS和三因子模型在對利率水平和波動的解釋能力上雖然變化不明顯，但卻表現出比前兩個模型明顯的優勢，三因子模型相對具有更好的擬合解釋能力。 結論 本文將影響短期利率行為特征的均值回復、隨機波動和跳躍因素同時考慮到利率期限結構模型的構建中，建立了三因子模型，它不僅能夠嵌套漂移項為線性和非線性的兩類模型， 并且在非線性的形式上包括

13、了二次函數和倒數函數形式。通過對我國貨幣市場的利率進行參數估計和結果的比較，表明隨機利率的三因子模型能夠較好地描述我國貨幣市場利率的非線性均值回復和異方差特性，從而為利率相關的金融問題研究奠定了基礎；另外模型的參數估計部分運用了有效矩估計方法，解決了傳統最大似然估計法需要顯式條件密度函數的難題，也避免了廣義矩估計對小樣本特性數據估計不完整的缺陷，該方法在期限結構模型的實證估計中具有較好的應用前景。 參考文獻： 1. Duffie D, Singleton KJSimulated moments estimation of Markov models of assets pricesJEconometrica , 1993 , 61 2.Gallant A R, George TEstimation of continuous time models for stock returns and interest ratesJMacroeconomic Dynamics , 1997(1) 3.Chan K C, Karolyi A, Longstaff F, et alAn em