1、微電子器件及工藝CAD1國際微電子中心國際微電子中心第六章第六章 有限元法有限元法哈爾濱工業大學哈爾濱工業大學( (威海威海) ) 微電子中心微電子中心王新勝王新勝微電子器件及工藝CAD2國際微電子中心國際微電子中心6-1 基本概念基本概念微電子器件及工藝CAD3國際微電子中心國際微電子中心 有限元法有限元法(Finite Element Method)，又譯為又譯為有限元素法有限元素法，是離散數值分析方法之一。是現在公認的一個有效的用途是離散數值分析方法之一。是現在公認的一個有效的用途廣泛的數值分析工具，廣泛的數值分析工具，它能應用于幾乎所有的連續介質問它能應用于幾乎所有的連續介質問題和場問

2、題題和場問題。70年代，有限元法在半導體器件模擬領域中年代，有限元法在半導體器件模擬領域中得到了發展，并且自那以后，研究它在器件模擬中的應用，得到了發展，并且自那以后，研究它在器件模擬中的應用，超過了有限插分法。超過了有限插分法。 有限元法不象有限差法那樣把求解區域看作是網格點有限元法不象有限差法那樣把求解區域看作是網格點的排列，而是把求解區域看作由許多小的互相連接的的排列，而是把求解區域看作由許多小的互相連接的子區子區域域(稱為稱為元素元素)所構成。對某一問題，其有限元法模型給出所構成。對某一問題，其有限元法模型給出基本方程的分片近似。基本方程的分片近似。 有限元法的基本有限元法的基本思想思

3、想是：用一組離散元素集合體來代是：用一組離散元素集合體來代替求解區域，解析地模擬或逼近求解區域。替求解區域，解析地模擬或逼近求解區域。因為這些元素因為這些元素可按各種不同的方式組合在一起，所以能用來表示極其復可按各種不同的方式組合在一起，所以能用來表示極其復雜的形狀。雜的形狀。基本概念基本概念微電子器件及工藝CAD4國際微電子中心國際微電子中心 現在把求解區域分成很多元素，并用每個元素內假設現在把求解區域分成很多元素，并用每個元素內假設的的近似函數近似函數來表示未知的場變量，來表示未知的場變量，那么，通過有限元素離那么，通過有限元素離散化過程便把問題簡化為有限個未知數的問題。散化過程便把問題簡

4、化為有限個未知數的問題。近似函數近似函數（有時稱為（有時稱為插值函數插值函數）則由稱之為節或則由稱之為節或節點節點的指的指定點上的場變量值來確定。定點上的場變量值來確定。 節點通常選在元素的邊界上，相鄰的元素由節點連接節點通常選在元素的邊界上，相鄰的元素由節點連接在一起；除邊界節點外，元素也可能有一些內部節點。在一起；除邊界節點外，元素也可能有一些內部節點。基本概念基本概念 那么有限元法的實質是什么呢？在任何維數的連續介那么有限元法的實質是什么呢？在任何維數的連續介質問題中，質問題中，場變量場變量（無論它是壓力、溫度、位移（無論它是壓力、溫度、位移 、應力或、應力或者某些其它量）者某些其它量）

5、是物體或求解區域內每個點的函數，因此是物體或求解區域內每個點的函數，因此這是一個具有無限個未知數的問題。這是一個具有無限個未知數的問題。微電子器件及工藝CAD5國際微電子中心國際微電子中心 場變量的節點值和元素的插值函數完全確定了元素內場變量的節點值和元素的插值函數完全確定了元素內部場變量的特性。部場變量的特性。一個問題用有限元素表示后，場變量的一個問題用有限元素表示后，場變量的節點值變成了新的未知數，一旦求出這些未知數，則插值節點值變成了新的未知數，一旦求出這些未知數，則插值函數便確定了整個元素集合體的場變量。函數便確定了整個元素集合體的場變量。 基本概念基本概念 顯然，解的性質和近似程度不

6、但顯然，解的性質和近似程度不但取決于所采用的元素取決于所采用的元素的大小和數目的大小和數目，而且，而且還取決于所選擇的插值函數。還取決于所選擇的插值函數。插值函插值函數的選擇不是任意的，通常選取的函數，要使場變量或其數的選擇不是任意的，通常選取的函數，要使場變量或其導數在通過相鄰元素的邊界時是連續的；同時插值函數必導數在通過相鄰元素的邊界時是連續的；同時插值函數必須是針對每個元素來定義的。須是針對每個元素來定義的。 有限元法的一個有限元法的一個重要特點重要特點是把各個單獨的元素集合在是把各個單獨的元素集合在一起表示整個問題之前，能夠為單獨元素的解建立公式，一起表示整個問題之前，能夠為單獨元素的

7、解建立公式，這使得有限元法不同于其他的近似數值方法。這使得有限元法不同于其他的近似數值方法。微電子器件及工藝CAD6國際微電子中心國際微電子中心 有限元法的另一個有限元法的另一個優點優點是建立各單獨元素特性公式的是建立各單獨元素特性公式的途徑的多樣性。一般來講，得到元素特性的方法有四種：途徑的多樣性。一般來講，得到元素特性的方法有四種：直接法、變分法、直接法、變分法、加權余數法加權余數法和能量平衡法。各種方法的和能量平衡法。各種方法的特點概括如下：特點概括如下：基本概念基本概念 直接法：來源于結構分析的直接剛度法，應用于比較直接法：來源于結構分析的直接剛度法，應用于比較簡單的問題，易于掌握。簡

8、單的問題，易于掌握。 變分法：依靠變分計算，涉及到泛函的極值問題，變變分法：依靠變分計算，涉及到泛函的極值問題，變分法既適用于形狀簡單的元素又適用于形狀的復雜的元素分法既適用于形狀簡單的元素又適用于形狀的復雜的元素。 加權余數法：這種推導元素特性的方法，完全建立在加權余數法：這種推導元素特性的方法，完全建立在數學知識上，從問題的基本方程出發，在推導元素特性時數學知識上，從問題的基本方程出發，在推導元素特性時不依賴于泛函或者變分原理。不依賴于泛函或者變分原理。微電子器件及工藝CAD7國際微電子中心國際微電子中心 能量平衡法：取決于系統的熱平衡或機械能的平衡。能量平衡法：取決于系統的熱平衡或機械能

9、的平衡。象加權余數法一樣不需要應用變分法原理。因為極大地擴象加權余數法一樣不需要應用變分法原理。因為極大地擴大了有限元素法可能應用的范圍。大了有限元素法可能應用的范圍。基本概念基本概念 不論用哪種方法求解元素特性，采用有限元法求解連不論用哪種方法求解元素特性，采用有限元法求解連續介質問題，總是按照一定步驟進行的，基本上可分成以續介質問題，總是按照一定步驟進行的，基本上可分成以下五個步驟：下五個步驟： 1. 連續介質離散化連續介質離散化 把連續介質或求解區域劃分成很多元素。有各種不同把連續介質或求解區域劃分成很多元素。有各種不同形式的元素可供采用，并且在同一個求解區域中可以應用形式的元素可供采用

10、，并且在同一個求解區域中可以應用不同形式的元素。不同形式的元素。 微電子器件及工藝CAD8國際微電子中心國際微電子中心 2. 選擇插值函數選擇插值函數 指定每個元素上的節點，選擇插值函數的類型以表示指定每個元素上的節點，選擇插值函數的類型以表示每個元素上場變量的變化。每個元素上場變量的變化。通常是選擇多項式作為場變量通常是選擇多項式作為場變量的插值函數，因為多項式易于積分和微分。的插值函數，因為多項式易于積分和微分。場變量及其導場變量及其導數的大小在節點上可能是未知的。數的大小在節點上可能是未知的。基本概念基本概念 3. 求出元素特性求出元素特性 有限元素模型一經建立（亦即，只要選擇好元素和它

11、有限元素模型一經建立（亦即，只要選擇好元素和它們的插值函數），就可準備確定表示各個元素特性的矩陣們的插值函數），就可準備確定表示各個元素特性的矩陣方程，可以應用上面提到的直接法、變分法、加權余數法方程，可以應用上面提到的直接法、變分法、加權余數法和能量平衡法四種方法中的任一種。所采用的方法完全取和能量平衡法四種方法中的任一種。所采用的方法完全取決于問題的性質。決于問題的性質。 微電子器件及工藝CAD9國際微電子中心國際微電子中心基本概念基本概念 系統矩陣方程組包括所有的節點，其形式和一個單獨元系統矩陣方程組包括所有的節點，其形式和一個單獨元素的方程組相同。素的方程組相同。在準備求解系統方程組以

12、前，還要考慮在準備求解系統方程組以前，還要考慮到問題的邊界條件，并對系統方程組加以修正。到問題的邊界條件，并對系統方程組加以修正。 4. 集合元素特性以求得系統方程組集合元素特性以求得系統方程組 要求出由元素網格構成的模型所表示的整個系統的特要求出由元素網格構成的模型所表示的整個系統的特性，必須將表示元素狀態的矩陣方程組加以合并，形成表性，必須將表示元素狀態的矩陣方程組加以合并，形成表示整個求解區域或系統的矩陣方程組。示整個求解區域或系統的矩陣方程組。 5.求解系統方程組求解系統方程組 用有限元方法得到的系統方程組可能是線性的或是非用有限元方法得到的系統方程組可能是線性的或是非線性的，選用適當

13、的求解方法，求解這組聯立方程，即可線性的，選用適當的求解方法，求解這組聯立方程，即可求得場變量在未知節點上的值。求得場變量在未知節點上的值。 由上所述，建立有限元方程的方法有多種，此處將著重由上所述，建立有限元方程的方法有多種，此處將著重介紹其中應用最廣泛的加權余數法。介紹其中應用最廣泛的加權余數法。微電子器件及工藝CAD10國際微電子中心國際微電子中心基本概念基本概念微電子器件及工藝CAD11國際微電子中心國際微電子中心6-2 連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數微電子器件及工藝CAD12國際微電子中心國際微電子中心連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數 6.2.1 連

14、續介質離散化連續介質離散化 如上所述，如上所述，有限元法的基本概念是把求解區域分為有限有限元法的基本概念是把求解區域分為有限個數目的子區域，這些子區域稱之為個數目的子區域，這些子區域稱之為元素元素。 這些元素只在求解區域內的節點處和元素的邊界上互相這些元素只在求解區域內的節點處和元素的邊界上互相連接。連接。 元素的節點是元素的一部分，這樣求解區域就被離散了，元素的節點是元素的一部分，這樣求解區域就被離散了，并且表示為許多元素的一個組合體。并且表示為許多元素的一個組合體。 有限元素的邊界常常是直線或平面。所以，如果求解區有限元素的邊界常常是直線或平面。所以，如果求解區域有曲線或曲面邊界的話，就可

15、被一系列直線段或平面近似域有曲線或曲面邊界的話，就可被一系列直線段或平面近似地表示出來。有限元素網格的數學解釋就是空間的再分割。地表示出來。有限元素網格的數學解釋就是空間的再分割。微電子器件及工藝CAD13國際微電子中心國際微電子中心 6.2.2 元素和插值函數概述元素和插值函數概述 除了用直接法建立有限元方程外，用其他三種方法建立除了用直接法建立有限元方程外，用其他三種方法建立元素特性方程都需要選擇每個元素上的插值函數。插值函數元素特性方程都需要選擇每個元素上的插值函數。插值函數不是任意選取的，它應滿足如下要求：不是任意選取的，它應滿足如下要求： (1). 在元素的交界面（邊界）處，場變量在

16、元素的交界面（邊界）處，場變量 及其任一階偏及其任一階偏導數導數(直至比在有限元積分方程中出現的最高階偏導數少一直至比在有限元積分方程中出現的最高階偏導數少一階為止階為止)都必須連續。都必須連續。 在有限元素法中，求解區域的元素網格一旦確定，則在在有限元素法中，求解區域的元素網格一旦確定，則在每個元素上的未知場變量的特性就由連續函數近似地表達。每個元素上的未知場變量的特性就由連續函數近似地表達。這些連續函數用場變量的節點值以及其直到某階導數的節點這些連續函數用場變量的節點值以及其直到某階導數的節點值表示。值表示。定義在每個有限元素上的函數稱為定義在每個有限元素上的函數稱為插值函數插值函數。整個

17、。整個求解區域上插值函數的集合提供場變量的一個分片近似。求解區域上插值函數的集合提供場變量的一個分片近似。連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數微電子器件及工藝CAD14國際微電子中心國際微電子中心 (2). 在極限情況下當元素的尺寸縮小為零時，在極限情況下當元素的尺寸縮小為零時， 的全部均的全部均勻狀態及其偏導數勻狀態及其偏導數(直至在有限元積分方程中出現的最高階直至在有限元積分方程中出現的最高階的偏導數的偏導數)都能用都能用 來表示來表示。 )e( 這些要求由菲利帕這些要求由菲利帕(Felippa)、克勞夫給出，并為奧利維克勞夫給出，并為奧利維拉拉(Oliverira)所證明。前

18、一個要求稱為協調性要求，第二個所證明。前一個要求稱為協調性要求，第二個要求稱為完備性要求。插值函數滿足第一個要求的元素稱為要求稱為完備性要求。插值函數滿足第一個要求的元素稱為協調元素或保續元素；滿足第二個要求的元素稱為完備元素。協調元素或保續元素；滿足第二個要求的元素稱為完備元素。 采用以下的定義和記號表達場變量在元素交界面上連續采用以下的定義和記號表達場變量在元素交界面上連續性的程度。如果場變量在元素交界面上是連續的就說有性的程度。如果場變量在元素交界面上是連續的就說有 連連續；此外，若一階導數也是連續的，就說續；此外，若一階導數也是連續的，就說 有連續；若二階有連續；若二階導數也是連續的，

19、就說有導數也是連續的，就說有 連續等等。連續等等。0c1c2c 6.2.2 元素和插值函數概述元素和插值函數概述連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數微電子器件及工藝CAD15國際微電子中心國際微電子中心 由此可見，當對所要解決的問題選用合適的元素類型時，由此可見，當對所要解決的問題選用合適的元素類型時，必須包括元素的形狀、節點的數目和類型、節點變量的類型必須包括元素的形狀、節點的數目和類型、節點變量的類型和插值函數的類型，這些特性中只要缺少一項，對元素的描和插值函數的類型，這些特性中只要缺少一項，對元素的描述就是不完整的。述就是不完整的。雖然可以設想許多類型的函數都可以作為雖然可以

20、設想許多類型的函數都可以作為插值函數，但是只有多項式得到了廣泛的應用。原因是多項插值函數，但是只有多項式得到了廣泛的應用。原因是多項式的數學運算較為容易，可以毫無困難地進行積分和微分。式的數學運算較為容易，可以毫無困難地進行積分和微分。 以下將本著上述原則，討論在半導體器件模擬中常用的以下將本著上述原則，討論在半導體器件模擬中常用的元素類型和插值函數。元素類型和插值函數。0c0c 6.2.2 元素和插值函數概述元素和插值函數概述連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數 構造具有構造具有 連續性的元素和插值函數并不特別困難，但連續性的元素和插值函數并不特別困難，但需要具有高階連續性時，困

21、難將迅速增加。需要具有高階連續性時，困難將迅速增加。對于要求對于要求 連續連續性的問題，可以構造出無限個合適的元素，但通常要從這多性的問題，可以構造出無限個合適的元素，但通常要從這多種元素中選用類型最簡單的元素，以避免過大的計算工作量。種元素中選用類型最簡單的元素，以避免過大的計算工作量。 微電子器件及工藝CAD16國際微電子中心國際微電子中心 6.2.3 一維元素及其插值函數一維元素及其插值函數 最簡單的元素是沿最簡單的元素是沿x軸的直線線段，叫做線元素。軸的直線線段，叫做線元素。 用線元素的節點值和節點坐標可以唯一地表示場變量用線元素的節點值和節點坐標可以唯一地表示場變量 在元素上的線性變

22、化。在元素上的線性變化。 元素元素12外節點外節點外節點外節點元素元素12內節點內節點3123456 圖圖6-1 一維線元素一維線元素連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數微電子器件及工藝CAD17國際微電子中心國際微電子中心元素元素12外節點外節點外節點外節點x1x2)x()e( x1x2x1x2N1(x)N2(x)(a)(b)(c)圖圖6-2 場變量在一維元素上的線性表示場變量在一維元素上的線性表示(a)一維直線元素一維直線元素,(b) 在元素在元素(e)上的線性變化上的線性變化,(c) 的線性插值函數的線性插值函數 )x()e( )x()e( 6.2.3 一維元素及其插值函數一

23、維元素及其插值函數連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數111 2 微電子器件及工藝CAD18國際微電子中心國際微電子中心21211122)e(xxxxxxxx)x( N1(x)和和N2(x)稱為稱為插值函數插值函數。(6.2.1) 6.2.3 一維元素及其插值函數一維元素及其插值函數連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數x1x2)x()e( 1 2 (6.2.3)(6.2.2) 2211)e()e(2121)e(NNNN,N)x( 12121221xxxx)x(N,xxxx)x(N 微電子器件及工藝CAD19國際微電子中心國際微電子中心 6.2.4 二維元素及其插值函數二

24、維元素及其插值函數 圖圖6-3 二為元素二為元素(a) 三節點三角形三節點三角形 (b) 矩形矩形 (c) 六節點三角形六節點三角形 (d) 十節點三角形十節點三角形 (e) 梯形梯形 (a) (b) (c) (d) (e) 連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數微電子器件及工藝CAD20國際微電子中心國際微電子中心 在半導體器件模擬中常采用的二維元素是在半導體器件模擬中常采用的二維元素是三節點三角形三節點三角形元素元素。根據區域離散化的形式，可以允許。根據區域離散化的形式，可以允許 在每個元素上按在每個元素上按線性變化，如圖線性變化，如圖6-4。與元素。與元素(e)相聯系的相聯系的

25、 的三個節點值的的三個節點值的平面由下述方程描述。平面由下述方程描述。圖圖6-4 分片的線性求解曲面分片的線性求解曲面)y, x( i k j xy通過通過 的三節的三節點值的平面點值的平面 用此方程可在每個節點用此方程可在每個節點上計算上計算 的節點值。的節點值。 ),()(3)(2)(1)(eeeeyxyxb bb bb b (6.2.4) ),(),(),()(3)(2)(1)()(3)(2)(1)()(3)(2)(1)(kekeeekjejeeejieieeeiyxyxyxyxyxyxb bb bb b b bb bb b b bb bb b (6.2.5) 6.2.4 二維元素及其插

26、值函數二維元素及其插值函數連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數微電子器件及工藝CAD21國際微電子中心國際微電子中心 從而求得用元素節點的坐標和從而求得用元素節點的坐標和 的節點值來表示的常數的節點值來表示的常數 。)e(3)e(2)e(1,b bb bb bD D D D D D 2)()()(2)()()(2)()()()(3)(2)(1ijkkijjkiejikikjkjiekjjikijikjkikjiexxxxxxyyyyyyyxyxxyyxxyyx b b b b b b(6.2.6)kkjjiiyxyxyx1112 D D頂點為頂點為i,j,k的三角形的面積的三角形的

27、面積 2 6.2.4 二維元素及其插值函數二維元素及其插值函數連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數微電子器件及工藝CAD22國際微電子中心國際微電子中心把方程把方程(6.2.6)代入方程代入方程(6.2.4)， 6.2.4 二維元素及其插值函數二維元素及其插值函數連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數D D D D D D 2)()()(2)()()(2)()()()(3)(2)(1ijkkijjkiejikikjkjiekjjikijikjkikjiexxxxxxyyyyyyyxyxxyyxxyyx b b b b b b ),()(3)(2)(1)(eeeeyxyxb

28、 bb bb b ijkjikjkjikkijikjijikjjkikjikikjikkkkjjjjiiii)e(xxc ,yyb,xyyxaxxc ,yyb,xyyxaxxc ,yyb,xyyxa2ycxba2ycxba2ycxba)y, x( D D D D D D (6.2.7)(6.2.8) 整理各項，有整理各項，有aiajakbibjbkcickcj微電子器件及工藝CAD23國際微電子中心國際微電子中心Nl(e)就是三節點三角形元素的線性插值函數。就是三節點三角形元素的線性插值函數。 kjilycxbaNNNNNyxxxcyybxyyxaxxcyybxyyxaxxcyybxyyxay

29、cxbaycxbaycxbayxllleleekjiekejeieijkjikjkjikkijikjijikjjkikjikikjikkkkjjjjiiiie,2),(,222),()()()()()()()()( D D D D D D D D (6.2.7)(6.2.8)(6.2.9)(6.2.10)把方程把方程(6.2.6)代入方程代入方程(6.2.4)，整理各項，有整理各項，有 6.2.4 二維元素及其插值函數二維元素及其插值函數連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數BACK微電子器件及工藝CAD24國際微電子中心國際微電子中心 某一三角形元素某一三角形元素e，頂點坐標分別為

30、頂點坐標分別為i(0,0),j(1,0),k(1/2,1)，求求i,j,k節點處的插值函數。由節點處的插值函數。由(6.2.8)得得y21x12ycxbaN11211011001yx1yx1yx12iii)e(ikkjjii D D D D于是可得差值函數于是可得差值函數 6.2.4 二維元素及其插值函數二維元素及其插值函數2111, iiijkikjikikjicbaxxcyybxyyxa連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數微電子器件及工藝CAD25國際微電子中心國際微電子中心yx212ycxbaNjjj)e(j D D 于是可得差值函數于是可得差值函數 6.2.4 二維元素及其

31、插值函數二維元素及其插值函數1c1b21axxc ,yyb,xyyxajjjkijikjijikj 某一三角形元素某一三角形元素e，頂點坐標分別為頂點坐標分別為i(0,0),j(1,0),k(1/2,1)，求求i,j,k節點處的插值函數。由節點處的插值函數。由(6.2.8)得得連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數微電子器件及工藝CAD26國際微電子中心國際微電子中心y12ycxbaNkkk)e(k D D 于是可得差值函數于是可得差值函數 6.2.4 二維元素及其插值函數二維元素及其插值函數1c0b1axxc ,yyb,xyyxakkkijkjikjkjik 某一三角形元素某一三角

32、形元素e，頂點坐標分別為頂點坐標分別為i(0,0),j(1,0),k(1/2,1)，求求i,j,k節點處的插值函數。由節點處的插值函數。由(6.2.8)得得連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數微電子器件及工藝CAD27國際微電子中心國際微電子中心 6.2.5.三維元素三維元素連續介質離散化及插值函數連續介質離散化及插值函數微電子器件及工藝CAD28國際微電子中心國際微電子中心6-3 加權余數法加權余數法微電子器件及工藝CAD29國際微電子中心國際微電子中心加權余數法加權余數法 第一步是假定有關場變量的一般函數性質，以某種方式第一步是假定有關場變量的一般函數性質，以某種方式近似地滿足

33、給定的微分方程和邊界條件，把這種近似值代入近似地滿足給定的微分方程和邊界條件，把這種近似值代入原來的微分方程和邊界條件中，一般來講，所得結果會出現原來的微分方程和邊界條件中，一般來講，所得結果會出現某種誤差，稱為某種誤差，稱為余數余數，這種余數在整個求解區域上按某種平，這種余數在整個求解區域上按某種平均意義要求為零。均意義要求為零。 第二步是求解由第一步所得的方程第二步是求解由第一步所得的方程(組組)，從而將一般的，從而將一般的函數形式化為某種特定的函數，于是成為所求的近似解。函數形式化為某種特定的函數，于是成為所求的近似解。 為了說明問題方便，我們以一個微分方程來加以說明。為了說明問題方便，

34、我們以一個微分方程來加以說明。設設 在以曲面在以曲面 為界的區域為界的區域D中由下述微分方程決定中由下述微分方程決定 ( )-f=0 (6.3.1) 加權余數法是求解線性和非線性偏微分方程近似解的一加權余數法是求解線性和非線性偏微分方程近似解的一項技術。項技術。加權余數法基本上包括兩個步驟。加權余數法基本上包括兩個步驟。微電子器件及工藝CAD30國際微電子中心國際微電子中心加權余數法加權余數法 ( )-f=0 (6.3.1) 符號符號是微分算符，函數是微分算符，函數f為獨立變量的已知函數，并且為獨立變量的已知函數，并且假定在假定在 上給出了適當的邊界條件。應用加權函數法有下述上給出了適當的邊界

35、條件。應用加權函數法有下述兩步。兩步。 首先，用首先，用 近似地表示未知的精確解近似地表示未知的精確解 ， 可表示為插值可表示為插值函數的一個組合，即函數的一個組合，即 )y, x(CNm1iii (6.3.2) 式中式中Ni是假定的近似函數是假定的近似函數(即插值函數即插值函數)，Ci或是未知參或是未知參數或是一個獨立變量的未知函數，這數或是一個獨立變量的未知函數，這m個函數個函數Ni通常要滿足通常要滿足整體邊界條件。整體邊界條件。微電子器件及工藝CAD31國際微電子中心國際微電子中心 當當 代入方程代入方程(6.3.1)時，未必能滿足方程，即時，未必能滿足方程，即 ( )-f 0 或表示為

36、或表示為 ( )-f =R式中式中R是用是用 近似表示近似表示 時所產生的余數或誤差。加權余數法時所產生的余數或誤差。加權余數法是在整個求解區域上，通過使誤差是在整個求解區域上，通過使誤差R為微小的方法，來定出為微小的方法，來定出m個未知數個未知數Ci，其做法是做出誤差的加權平均值，使它在求其做法是做出誤差的加權平均值，使它在求解區域上為零。因此，可選擇解區域上為零。因此，可選擇m個線性無關的加權函數個線性無關的加權函數Wi，并且認為，若并且認為，若 加權余數法加權余數法(6.3.3) 則在某種意義上則在某種意義上 0R (6.3.4)微電子器件及工藝CAD32國際微電子中心國際微電子中心 方

37、程方程(6.3.4)中表示的誤差分布原理的形式與加權函數的中表示的誤差分布原理的形式與加權函數的選擇有關。一旦指定了加權函數，方程選擇有關。一旦指定了加權函數，方程(6.3.4)就表示出求就表示出求Ci的的m個方程，它們或者是代數方程，或者是常微分方程，于個方程，它們或者是代數方程，或者是常微分方程，于是第二步是解方程是第二步是解方程(6.3.4)求求Ci。通過方程通過方程(6.3.2)可得到未知場可得到未知場變量變量 的近似表示。可以證明，對于許多線性問題，甚至某的近似表示。可以證明，對于許多線性問題，甚至某些非線性問題，當些非線性問題，當 時，時，(6.3.4) m加權余數法加權余數法 由

38、于可采用的加權函數或誤差分布原理有多種選擇方式，由于可采用的加權函數或誤差分布原理有多種選擇方式，因而就有多種加權余數技術。最經常用來推導有限元方程的因而就有多種加權余數技術。最經常用來推導有限元方程的誤差分布原理稱為伽遼金準則，或伽遼金法。根據伽遼金法誤差分布原理稱為伽遼金準則，或伽遼金法。根據伽遼金法所選的加權函數與用來表示所選的加權函數與用來表示 的近似函數相同，即的近似函數相同，即Wi=Ni, m, 2 , 1i 微電子器件及工藝CAD33國際微電子中心國際微電子中心 因此，伽遼金法要求因此，伽遼金法要求(6.3.5)加權余數法加權余數法 上述討論是假定在整個求解區域上進行的。由于方程

39、上述討論是假定在整個求解區域上進行的。由于方程(6.3.1)對求解區域中的任意一點都成立，因此，對于由點集對求解區域中的任意一點都成立，因此，對于由點集所定義的整個區域中的任何子區域或元素也是成立的。所以，所定義的整個區域中的任何子區域或元素也是成立的。所以，可集中討論單獨一個元素，確定一個類似于方程可集中討論單獨一個元素，確定一個類似于方程(6.3.2)的局的局部近似，并且每次只對一個元素有效，這樣，場變量的有限部近似，并且每次只對一個元素有效，這樣，場變量的有限元素表示就變得可能了。元素表示就變得可能了。可將函數可將函數Ni視為定義在元素上的插視為定義在元素上的插值函數值函數 ，而，而Ci

40、就是待定參數，它可以是場變量或者導數的就是待定參數，它可以是場變量或者導數的節點值。于是，根據伽遼金法，可列出支配一個元素性質的節點值。于是，根據伽遼金法，可列出支配一個元素性質的方程方程)e(iN(6.3.6)( )-f=0 (6.3.1) )y, x(CNm1iii (6.3.2)微電子器件及工藝CAD34國際微電子中心國際微電子中心 與前面一樣，式中上標與前面一樣，式中上標(e)限于一個元素范圍，且限于一個元素范圍，且 f(e)為定義在元素為定義在元素(e)上的強迫函數；上的強迫函數；N)e()e()e( (6.3.6) 對于整個集合體的每個元素，有象方程對于整個集合體的每個元素，有象方

41、程(6.3.6)那樣的一那樣的一組方程，由元素方程集合成系統方程之前，應要求所選擇的組方程，由元素方程集合成系統方程之前，應要求所選擇的近似函數近似函數Ni在集合過程中必須保證元素間的連續性。前面說在集合過程中必須保證元素間的連續性。前面說過，選擇插值函數要保證在元素邊界上過，選擇插值函數要保證在元素邊界上 的連續性，以及直的連續性，以及直至比最高階導數少一階的至比最高階導數少一階的 的各階偏導數的連續性。的各階偏導數的連續性。 加權余數法加權余數法r為指定于元素上的未知參數的數目。為指定于元素上的未知參數的數目。微電子器件及工藝CAD35國際微電子中心國際微電子中心 避免這種困境的常用方法是

42、改變方程避免這種困境的常用方法是改變方程(6.3.6)的形式，對的形式，對方程方程(6.3.6)的積分表達式進行分部積分，可以得到包含較低的積分表達式進行分部積分，可以得到包含較低階導數的表達式，從而可以利用較低階的元素間的連續性的階導數的表達式，從而可以利用較低階的元素間的連續性的近似函數。當分部積分可能時，這便提供了一種方便的方法。近似函數。當分部積分可能時，這便提供了一種方便的方法。引進了在邊界的某些部分必須滿足的自然邊界條件。引進了在邊界的某些部分必須滿足的自然邊界條件。雖然含雖然含有自然邊界條件的邊界項出現在每個元素方程中，但是在集有自然邊界條件的邊界項出現在每個元素方程中，但是在集

43、合元素方程時，只有邊界元素才給出非零的貢獻。在集合過合元素方程時，只有邊界元素才給出非零的貢獻。在集合過程之后，才引入固定的邊界條件。程之后，才引入固定的邊界條件。加權余數法加權余數法微電子器件及工藝CAD36國際微電子中心國際微電子中心 下面舉例說明有限元法解微分方程的過程下面舉例說明有限元法解微分方程的過程1,1, 0, 010022 xxxdxd邊界條件邊界條件 這是一個一維問題，邊界只有首位兩個離散點。對于這這是一個一維問題，邊界只有首位兩個離散點。對于這類問題的邊界條件的處理，是讓首尾兩個元素的近似函數在類問題的邊界條件的處理，是讓首尾兩個元素的近似函數在相應的點取邊界條件規定值，這

44、樣，邊界條件就自動滿足了。相應的點取邊界條件規定值，這樣，邊界條件就自動滿足了。 有限元法解題的步驟，首先是對微分方程的定義域進行有限元法解題的步驟，首先是對微分方程的定義域進行離散化。如圖離散化。如圖6-5所示。所示。加權余數法加權余數法微電子器件及工藝CAD37國際微電子中心國際微電子中心 下面舉例說明有限元法解微分方程的過程下面舉例說明有限元法解微分方程的過程1,1, 0, 010022 xxxdxd邊界條件邊界條件 1 2 3 4 x1=0 x2 x3 x4=1 元素元素 (1) (2) (3) 節點節點313131圖圖6-5 區域離散化區域離散化加權余數法加權余數法 可把定義域劃分成

45、可把定義域劃分成3個區域，即個區域，即3個元素，共有個元素，共有4個節點，個節點，節點節點1和節點和節點4就是邊界上的節點，其對應的值就是邊界條件就是邊界上的節點，其對應的值就是邊界條件規定值。這規定值。這3個元素的大小即長度相等，均為個元素的大小即長度相等，均為1/3。微電子器件及工藝CAD38國際微電子中心國際微電子中心 )()()()()(2)(23 , 2 , 1, 1,01eeeeixxeeNlllidxNdxdll (6.3.7)加權余數法加權余數法0dxd22 應用伽遼金法，對元素應用伽遼金法，對元素e，加權余數方程為加權余數方程為 1 2 3 4 x1=0 x2 x3 x4=1

46、 元素元素 (1) (2) (3) 節點節點313131圖圖6-5 區域離散化區域離散化微電子器件及工藝CAD39國際微電子中心國際微電子中心 )()()()()(2)(23 , 2 , 1, 1,01eeeeixxeeNlllidxNdxdll 加權余數法加權余數法0dxd22 應用伽遼金法，對元素應用伽遼金法，對元素e，加權余數方程為加權余數方程為其中其中xl和和xl+1分別為元素的兩個節點坐標。分別為元素的兩個節點坐標。 如果如果Ni采用線性插值函數，首先碰到其在元素交界處二采用線性插值函數，首先碰到其在元素交界處二階導數取不定值問題。為此對方程階導數取不定值問題。為此對方程(6.3.7

47、)進行分部積分，得進行分部積分，得(6.3.7)微電子器件及工藝CAD40國際微電子中心國際微電子中心11111111)()()()()()()()()()()()()()()()()()(0,0 llllllllllllllllxxeeixxxxeieeiexxxxeieeiexxeeieeixxxxeieeeidxdNdxNdNdxddxNdNdxddxdNdxdvNudxNdxddN 整理得整理得利用分部積分公式利用分部積分公式 vduuvudv(6.3.8)加權余數法加權余數法0dxNdxd)e(ixx)e(2)e(21ll 微電子器件及工藝CAD41國際微電子中心國際微電子中心111

48、)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdNdxd 首先，對于首先，對于元素元素1 1，根據，根據線性線性插值函數的定義，可得插值函數的定義，可得插值函數插值函數(6.3.8) 對于每一元素，下面給出方程對于每一元素，下面給出方程(6.3.8)的具體形式的具體形式 而而 ，其中，其中 分別為節點分別為節點1及節點及節點2處待處待求函數值。求函數值。 2211)e(NN 21, 12131, hhxxNhxx2N12121221)(,)(xxxxxNxxxxxN 加權余數法加權余數法微電子器件及工藝CAD42國際微電子中心國際微電子中心 dxNNdxdN

49、dxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdNihhxxNhxxNhhh 020212112121022111221111221131,1 左邊，左邊，元素元素(6.3.8)2211)e(NN 111)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdNdxd 加權余數法加權余數法微電子器件及工藝CAD43國際微電子中心國際微電子中心 21332223121h03h02222h03121h0222222h0221212h021221h0222h022121h012121h02211122111)6hh1()3hh1()3h2h(h1h13hh1h1)|

50、3x|x2h(h1h1|)xh(31h1h1dx)xxx(h1h1)xx (d)xx(h1h1dxh)xx)(xx(h1dxhxxh1dxNNdxdNdxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdN 12121221)(,)(xxxxxNxxxxxN 加權余數法加權余數法微電子器件及工藝CAD44國際微電子中心國際微電子中心(6.3.8)2211)e(NN 210102121222220221122211231612 hhhhdxNNdxdNdxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdNihhh12131, hhxxNhxx2N元素元素1111)()()()()()( lll

51、lllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdNdxd 加權余數法加權余數法微電子器件及工藝CAD45國際微電子中心國際微電子中心(6.3.8)hxxhxhxxhxhdxddxdNdxdhNdxdNidxddxdNdxdhNdxdNi )1(0)1(2)1(20)1(20)1(0)1(1)1(10)1(1)0()(, 2)0()(, 1 方程右邊方程右邊元素元素1111)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdNdxd 12131, hhxxNhxx2N加權余數法加權余數法代入代入微電子器件及工藝CAD46國際微電子中心國際微電子中心 )1(2)

52、1(121)1(22)1(21)1(12)1(11)1(0)1(432100000000000031610061311ffkkkkdxddxdhhhhhhhhhxx 元素元素于是得元素于是得元素1中中 的有限元方程為的有限元方程為加權余數法加權余數法21)6hh1()3hh1( 21)3hh1()6hh1( hx)1(0 x)1(dxddxd 矩陣形式矩陣形式微電子器件及工藝CAD47國際微電子中心國際微電子中心111)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdxdNdxd 322303232222222332223322223226131231,12

53、hhhhdxNNdxdNdxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdNihhxxNhxxNhhhhh左邊，左邊，元素元素加權余數法加權余數法微電子器件及工藝CAD48國際微電子中心國際微電子中心111)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdxdNdxd 232231,12 hhxxNhxxN元素元素 322203232323232332233322331613 hhhhdxNNdxdNdxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdNihhhhh加權余數法加權余數法微電子器件及工藝CAD49國際微電子中心國際微電子中心111)()()

54、()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdxdNdxd 232231,12 hhxxNhxxN元素元素hxhxhxhhhxhxhxhhdxddxdhNdxdhNdxdNidxddxdhNdxdhNdxdNi2)2()2(32)2(32)2(3)2()2(22)2(22)2(2)()2(, 3)()2(, 2 方程右邊方程右邊加權余數法加權余數法微電子器件及工藝CAD50國際微電子中心國際微電子中心 )2(3)2(232)2(33)2(32)2(23)2(222)2()2(4321000000031610006131000002ffkkkkdxddxdhhhhhh

55、hhhxhx 元素元素加權余數法加權余數法于是得元素于是得元素2中中 的有限元方程為的有限元方程為326hh13hh1 2i 323hh16hh1 3i h2x)2(hx)2(dxddxd 微電子器件及工藝CAD51國際微電子中心國際微電子中心 )3(4)3(343)3(44)3(43)3(34)3(331)3(2)3(43214433)3(34330031610061310000000000,13ffkkkkdxddxdhhhhhhhhNNhxxNhxxNxhx 元素元素加權余數法加權余數法微電子器件及工藝CAD52國際微電子中心國際微電子中心 )3(4)3(3)2(3)2(2)1(2)1(

56、14321)3(44)3(43)3(34)3(33)2(33)2(32)2(23)2(22)1(22)1(21)1(12)1(11000000ffffffkkkkkkkkkkkk 系統矩陣方程系統矩陣方程 )3(4)3(343)3(44)3(43)3(34)3(33ffkkkk )2(3)2(232)2(33)2(32)2(23)2(22ffkkkk )1(2)1(121)1(22)1(21)1(12)1(11ffkkkk 加權余數法加權余數法hx)1(0 x)1(dxddxd h2x)2(hx)2(dxddxd 1x)3(h2x)3(dxddxd 微電子器件及工藝CAD53國際微電子中心國際

57、微電子中心加權余數法加權余數法 1x0 x4321dxd00dxd3hh16hh1006hh13hh126hh1006hh13hh126hh1006hh13hh1總方程為總方程為上述方程有上述方程有4個未知數個未知數 ，由此可見集合元素方，由此可見集合元素方程構成系統方程時，內部元素邊界無需考慮，只有邊界元素程構成系統方程時，內部元素邊界無需考慮，只有邊界元素的邊界條件需要考慮。的邊界條件需要考慮。1x0 x32|dxd,|dxd, 微電子器件及工藝CAD54國際微電子中心國際微電子中心6103. 0,2889. 06098. 0,2885. 0100031610061312610061312

58、61006131323241104321 解析解為解析解為解得解得，代入邊界條件代入邊界條件總方程為總方程為xxdxddxdhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh加權余數法加權余數法微電子器件及工藝CAD55國際微電子中心國際微電子中心加權余數法加權余數法 該方程寫成矩陣形式為該方程寫成矩陣形式為 fK 其中其中k為系數矩陣，為系數矩陣， 為節點變量矩陣，為節點變量矩陣，f為方程右邊的為方程右邊的項。項。 由上例可以看出有限元方法解微分方程，主要工作式計算由上例可以看出有限元方法解微分方程，主要工作式計算k和和f。系數矩陣系數矩陣k是一三對角線矩陣，可以用追趕法求解，是一三對角線矩陣，可以用

59、追趕法求解，計算起來并不困難。計算起來并不困難。 如以如以klm表示系數矩陣元，則歸納本例，表示系數矩陣元，則歸納本例，klm計算式為計算式為 Mm, ldxNNdxdNdxdNkmlmllm 1M為系統節點總數為系統節點總數具體到由具體到由i,j兩節點組成的元素，系數矩陣的矩陣元為兩節點組成的元素，系數矩陣的矩陣元為BACK微電子器件及工藝CAD56國際微電子中心國際微電子中心316101122hhdxNdxdNkkhhdxNNdxdNdxdNkkj , im, l,kllllxxiijjiixxjijijiijlm 加權余數法加權余數法微電子器件及工藝CAD57國際微電子中心國際微電子中心

60、6-4一維一維Poisson方程的有限元方程方程的有限元方程微電子器件及工藝CAD58國際微電子中心國際微電子中心一維一維Poisson方程的有限元方程方程的有限元方程 前一節介紹了用加權余數法建立有限元方程前一節介紹了用加權余數法建立有限元方程 ，從本節起，從本節起，將介紹有限元法在半導體器件模擬中的具體應用。首先從比將介紹有限元法在半導體器件模擬中的具體應用。首先從比較簡單的一維較簡單的一維Poisson方程開始，然后再介紹二維器件的有限方程開始，然后再介紹二維器件的有限元模擬法。元模擬法。微電子器件及工藝CAD59國際微電子中心國際微電子中心 10222022202222eeTaylor