1、第二篇 傅里葉級數(shù)和積分(Fourier series and Fourier integral)在函數(shù)的泰勒、羅朗展開式中，我們采用的是一系列冪函數(shù)作為基本函數(shù)族。這些基本函數(shù)族乘以不同系數(shù)后進(jìn)行迭加便構(gòu)成不同函數(shù)的展開式，然而冪函數(shù)沒有周期性。盡管冪函數(shù)在研究解析函數(shù)中具有特別重要的地位，但周期函數(shù)展開為冪函數(shù)以后，周期性就很難直接體現(xiàn)出來，因此在研究周期函數(shù)時便需要采用其它函數(shù)作為基本函數(shù)。§24 周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)采用滿足條件的一系列諧函數(shù)1，及作為基本函數(shù)族。該基本函數(shù)族中任意兩者彼此正交，或者說兩者的乘積在一個周期上的積分為零，即 可以證明，上述諧函數(shù)族是完備的，即任意

2、分段連續(xù)的周期函數(shù)均可用上述諧函數(shù)族展開，且當(dāng)時。原函數(shù)和展開式間的平方平均誤差，亦即周期函數(shù)可展開為 上式稱為周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，和稱為傅里葉系數(shù)容易求出關(guān)于傅里葉級數(shù)的收斂性問題有：狄里希利(Dirichlet)定理：若周期函數(shù)滿足狄里希利條件 處處連續(xù)或者在每個周期中只有有限個間斷點(diǎn)，并且在間斷點(diǎn)的躍度是有限的 在每個周期中只有有限個極值，則傅里葉級數(shù)收斂于 關(guān)于希爾伯空間(Hilbert space)：希爾伯空間是無限維的。它由無限多個彼此正交且完備的基矢構(gòu)成。周期函數(shù)的傅氏級數(shù)相當(dāng)于該空間的矢量在基矢1，及上的表示，該空間的一個點(diǎn)由()表示，除前述諧函數(shù)族外，還有許多完備的函數(shù)

3、族可作為希爾伯空間的基矢。因此還可以利用其它的完備函數(shù)族將作廣義傅里葉級數(shù)展開。例 在周期上 將其展開為傅氏級數(shù)該函數(shù)滿足狄里希利條件，則則 在計(jì)算傅里葉系數(shù)時，經(jīng)常用到 （k為整數(shù)，為實(shí)數(shù)）§2.5 奇的和偶的周期函數(shù)對于奇函數(shù) 對于偶函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 例1 研究的頻譜 注意 Gibbs現(xiàn)象（9%）峰值位置隨項(xiàng)數(shù)增多向跳變點(diǎn)靠近，峰值超出跳變值的9%例2、在這個周期上，（非整數(shù)），將其展開為傅立葉級數(shù)。§2.6 有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 關(guān)于時間、空間的周期函數(shù)均要求自變量的取值范圍為無限，即從-到+。而實(shí)際物理系統(tǒng)無論是時間還是空間均為有限，因此這樣的函數(shù)能否展開為傅里

4、葉級數(shù)，前提是什么？可將函數(shù)在無限的時間、空間范圍內(nèi)作解析延拓，由于函數(shù)在定義域外沒有定義，因此可以有無數(shù)種延拓方式。實(shí)際情況應(yīng)依據(jù)邊界上的函數(shù)取值，進(jìn)行奇或偶延拓等例3、，定義在上，要求的值在邊界上為零，試根據(jù)這一要求將展開為傅立葉級數(shù)。例4、，定義在上，要求的導(dǎo)數(shù)在邊界上為零，試根據(jù)這一要求將展開為傅立葉級數(shù)。例5、在區(qū)間上定義了函數(shù)。試根據(jù)條件將展開為傅立葉級數(shù)。§2.7 復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)由 則可采用如下基本函數(shù)簇 ，1， 從而把周期函數(shù)注意到則有：第七章 傅里葉積分§28. 非周期函數(shù)的傅里葉積分非周期函數(shù)看成周期為的周期函數(shù)，由實(shí)數(shù)形式的傅氏展開式 令分別為則

5、上式可表示為注意到 當(dāng)周期趨于時因此，對于周期為的周期函數(shù)令 則周期為的非周期函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)變?yōu)楦凳戏e分其中A(w)和B(w)為f(x)的傅里葉變換式。由復(fù)數(shù)形式的傅氏展開式： ， 則當(dāng)周期時，其中，稱為f(x)的傅氏變換，可記為 傅氏積分的性質(zhì): 的傅氏變換 的傅氏變換= 延遲定理 位移定理 卷積定理傅氏變換和拉氏變換的關(guān)系：傅氏變換是拉氏變換中p取純虛數(shù)iw的特殊形式，傅氏變換中對f(x)的要求比較嚴(yán)格，而拉氏變換中僅要求f(x)隨x的增長速度不快于周期函數(shù)和非周期函數(shù)的頻譜的區(qū)別：周期函數(shù)的傅氏變換式頻譜是分立的，而非周期函數(shù)的傅氏變換式中的頻譜是連續(xù)的。三維空間中的傅氏變換式 例1. 研究矩形脈沖 的頻譜。解： 例2 把展為傅氏積分（ 稱為抽樣函數(shù)）解：利用公式()則：tf(t)10.220.13wA(w)01練習(xí) P 104 2,4§ 29 函數(shù)和它的傅里葉積分函數(shù)是數(shù)學(xué)物理中很重要的數(shù)學(xué)概念，它描寫空間中的點(diǎn)源和時間上瞬時源，它是廣義函數(shù)。§ 29.1 一維函數(shù)的定義在物理上通常需要描寫自變量取某個特定值時函數(shù)值為無窮大，而自變量取其他值時，函數(shù)值為零，但函數(shù)沿定義域的積分值有限。即：§29.2 函數(shù)的性質(zhì)1. 對于任意緩變的連續(xù)函數(shù)2. 3. 4. 即在積分號下的作用同零。5. AB6. 7. 8. 由9. 10. u（x）