1、2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(5)第一試(考試時間：80分鐘 滿分：120分)姓名：_考試號：_得分：_一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）_1. 正八邊形邊長為1，任取兩點，則最大值為_2. 若，則_3. 若關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根滿足則的最小值為_, 最大值分別為_4. 設(shè)雙曲線1右支上一動點，過向兩條漸近線作垂線，垂足分別為點，若點始終在第一、第四象限內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是_.5. 對于實數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)。對于某個整數(shù)，恰存在2008個正整數(shù)，滿足，并且整除，則=_.6. A、B兩隊進行乒乓球團體對抗賽，每隊各三名隊員，每名隊員出場一次。A隊的三名隊員是，

2、B隊三名隊員是B1, B2, B3,，且對的勝率為(1i, j3)，A隊得分期望的最大可能值是_.7. ABC的三邊長分別為13, 14, 15, 有4個半徑同為的圓O, O1, O2, O3放在ABC內(nèi)，并且O1與邊AB、AC相切，O2與邊BA、BC相切，O3與邊CB、CA相切，O與O1, O2, O3相切, 則=_.8. 設(shè)都是正整數(shù)，且，則的個位數(shù)字是_二、解答題（本大題共3小題，第9題16分，第10、11題20分，共56分）9已知：實數(shù)滿足，證明：10. 已知數(shù)列由確定, 若對于任意，恒成立。求得最小值。11. 在雙曲線C：1中，分別為雙曲線C的左右兩個焦點，P為雙曲線上且在第一象限內(nèi)

3、的點，的重心為G，內(nèi)心為I. (1) 是否存在一點P, 使得IG|；(2) 已知A為雙曲線C的左頂點，直線過右焦點與雙曲線C交于M，N兩點，若AM，AN的斜率滿足，求直線的方程.2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(5)加試(考試時間：150分鐘 滿分：180分)姓名：_考試號：_得分：_ANMDBOC一、（本題滿分40分）如圖O切ABC的邊AB于D，切邊AC于C，M是BC上一點，AM交DC于點N，求證：M是BC中點的充要條件是二、（本題滿分40分）有一個的長方體盒子, 另有一個的長方體盒子, 其中均為正整數(shù)(), 并且前者的體積是后者一半, 求的最大值.三、（本題滿分50分）求方程x2xy4y3

4、y2y的整數(shù)解四、（本題滿分50分）設(shè)nN*，把集合1, 2, , n分拆為兩個非空集合A與B（即有AB，AB1, 2, , n），使得對A中任意兩個不同的元素a、b，有；對B中任意兩個不同的元素c、d，有求n的最大可能值，使得存在滿足題意的分拆2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(5)答案1、解：根據(jù)向量內(nèi)積的幾何意義，只要看向量在方向上的投影即可。最大值為+12、令得=，又為展開式中最高次項的系數(shù)，則3、解：設(shè)，則，整理得，且，在以分別為橫軸和縱軸的坐標(biāo)系中畫出上面兩個不等式所表示的規(guī)劃區(qū)域。則，點到規(guī)劃區(qū)域最小值即為到直線的距離，則的最小值為距離的平方；點到規(guī)劃區(qū)域最大值為的圓心的距離與半徑

5、2的和，則的最大值為=4、解：由對稱性，我們只討論在第一象限情形.設(shè)，則直線的方程為，與聯(lián)立，得：若在第一象限顯然滿足，若在第四象限或坐標(biāo)軸上，則，所以，只須5、解：若，則，滿足整除，則可取，共個，所以6、解：討論可知，最大期望7、解：不妨設(shè)。可知與相似，且為的外心，外接圓半徑為，則，由正弦定理，同理可得，又=，所以，8、由二項式定理：，故，設(shè)，則，由恒等式得：，的個位數(shù)字依次為1，6，5，4，9，0，1，6，5，4，9，0，所以，9、證明：原不等式等價于，設(shè)，則，原不等式即為，等價于(*) 若令不變，則(*)式右邊為，由知時(*)式右邊取最大值。同理知時，(*)式右邊取最大值為，即原不等式成

6、立10、解：由題可知時，又，不妨設(shè)，則，則=易知為正數(shù)，且， 趨于無窮大時，趨于無窮大，則的最小值為11、解：(1)假設(shè)存在點P坐標(biāo)為,而G為的重心, 故.而I為的內(nèi)心, 設(shè)的內(nèi)切圓半徑為, 則, 于是. 由IG知, , 即.又,. 由焦半徑公式知, , 則.故, 即. 又點P在雙曲線上, 則.解得(舍負). 故存在, 使得IG.(2) 若直線斜率不存在, 顯然不合題意. 若直線斜率存在, 設(shè)過的直線方程為, 直線和橢圓交于.將代入中, 得到. 由韋達定理可知: 又,而,從而, 即. 故所求直線的方程為.二試一、 證明：充分性：過點N作EFBC，分別交AB，AC于E，F(xiàn)。ANMDBOCFE連結(jié)

7、OC，OD，OE，OF，因為ONBC，則ONEF，又OCAC，則N，O，C，F(xiàn)四點共圓，故NFO=NCO，同理由N，O，E，D四點共圓，NDO=NEO，因NCO=NDO，則NFO=NEO，故OE=OF，從而EN=FN，所以BM=CM必要性：用同一法，作交CD于，連并延長交BC于，類似充分性的證明可得B=C，而BM=CM，則點與M重合，因此，點是CD與AM的交點，故點與N重合，二、解：由題意, 得.(1) 當(dāng)時, 由, 則, 矛盾!(2) 當(dāng)時, , 矛盾!(3 ) 當(dāng)時, 則, 即. 所以的最大值為130(4) 當(dāng)時, 則, 即. 所以的最大值為54(5) 當(dāng)時, , 得.綜上所述：的最大值為

8、130.三、解：原方程可變形為4x2+4x+1=4y4+4y3+4y2+4y+1(2x+1)2=(2y2+y)2+3y2+4y+1=(2y2+y)2+2×(2y2+y)+1+(y2+2y)=(2y2+y+1)2+(y2+2y)（1）當(dāng)，即當(dāng)y<1或y>2時，(2y2+y)2(2x+1)2(2y2+y+1)2而2y2+y與2y2+y+1為兩相鄰整數(shù)，所以此時原方程沒有整數(shù)解（2）當(dāng)y=1時，x2+x=0，所以x=0或1（3）當(dāng)y=0時，x2+x=0，所以x=0或1（4）當(dāng)y=1時，x2+x=4，此時x無整數(shù)解（5）當(dāng)y=2時，x2+x=30，所以x=6或5綜上所述：，四、（

9、1）若1B，1×22，1×33，1×55，2，3，5A或n4假設(shè)n5，則2，3，5A，235，與題意矛盾！ （2）當(dāng)1A，2B，不防假定n4當(dāng)3A時，134，4B 2，4B，2×48，8A或n7當(dāng)n8時，1，3，8A，358，189，5，9B或n8當(dāng)n9時，2，5B，2×510，10A或n9當(dāng)n10時，8，10A，81018，18B或n17設(shè)n18時，由于2，9，18B，2×918，所以產(chǎn)生矛盾！3A時，n17當(dāng)n6時，1，6A，156，167，5，7B或n6當(dāng)n7時，2，5，7B，2×510，2×71410，14

10、A或n13當(dāng)n14時，6，14A，6814，8B2，8B，2×48，4A但4，6，10A，4610，矛盾！ 當(dāng)3B時，n13（3）若1A，2A，不防假設(shè)n18，則由123知3B當(dāng)4B時，3，4B，3×412，12A2，12A，21012, 10B 3, 10B，3×1030, 30A或n29當(dāng)n30時，2，12，30A，22830，121830， 18，28B3，18B，3×618，6A4，28B，4×728，7A但1，6，7A，167，矛盾！故n29當(dāng)4A時，145，246，5，6B3，5，6B，3×515，3×618，15，18A4，15A，41115，11B若n33，15，18A，151833，33B3，11B，3×1133，33A，與33B矛盾！故n32（1）、（2）、（3）說明：nmax32（4）使n32成立的例子有：A1，2，4，15，18，21，24，27，30，B1，2，3，32/A其中，A中12