1、2012年河北省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選擇題（本大題共有10小題，每題只有一個(gè)正確答案，將正確答案的序號(hào)填入題干后的括號(hào)里，多選、不選、錯(cuò)選均不得分，每題5分，共50分）1. 已知，則可化簡(jiǎn)為（ D ）A B. C. D. 解答：因?yàn)椋? 。正確答案為D。2如果復(fù)數(shù)的模為4，則實(shí)數(shù)a的值為（ C ）A. 2 B. C. D. 解答：由題意得。正確答案為C。4. 過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作傾斜角為弦AB，則為（ C ）A. B. C. D. 解答：橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），則弦AB為代入橢圓方程得。正確答案為C。5. 函數(shù)，則該函數(shù)為（ A ）A. 單調(diào)增加函數(shù)、奇函數(shù) B. 單調(diào)遞減函數(shù)、偶函數(shù)C.

2、單調(diào)增加函數(shù)、偶函數(shù) D. 單調(diào)遞減函數(shù)、奇函數(shù)解答：由單調(diào)性和奇偶性定義知道函數(shù)為單調(diào)增加的奇函數(shù)。正確答案為A。6. 設(shè)有一立體的三視圖如下，則該立體體積為（ A ）2231 221 22 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖（圓和正方形）A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+解答：該幾何體是一個(gè)圓柱與一個(gè)長(zhǎng)方體的組成，其中重疊了一部分（），所以該幾何體的體積為。正確答案為A。7某程序框圖如右圖所示，現(xiàn)將輸出（值依次記為：若程序運(yùn)行中輸出的一個(gè)數(shù)組是 則數(shù)組中的（ B ） A64 B32 C16 D8答案 經(jīng)計(jì)算。正確答案為 B。8. 在平面區(qū)域上恒有，則動(dòng)點(diǎn)所形成平面區(qū)域的面積為（ A ）A.

3、 4 B.8 C. 16 D. 32解答：平面區(qū)域的四個(gè)邊界點(diǎn)（1，1），（1，1），（1，1），（1，1）滿足，即有由此計(jì)算動(dòng)點(diǎn)所形成平面區(qū)域的面積為4。正確答案為 A。9. 已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為（ C ）A. B C. D. 解答：?jiǎn)栴}等價(jià)于函數(shù)與直線在上有兩個(gè)交點(diǎn)，所以m的取值范圍為。正確答案為C。10. 已知，則的解為（ C ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 解答：不等式的左端看成的一次函數(shù)，由或。正確答案為C。二、填空題（本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分）11. 函數(shù)的最小正周期為_(kāi)4_。解答：最小正周期為4。12. 已知等差

4、數(shù)列前15項(xiàng)的和=30，則=_6_.解答：由，而。13. 向量，則的取值范圍為 1，3 。解答： = ，其最大值為3，最小值為1，取值范圍為1，3。14. 直三棱柱，底面是正三角形，P，E分別為，上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），D為BC邊上的中點(diǎn)，且。則直線的夾角為_(kāi)。解答：因?yàn)槠矫鍭BC平面，ADBC，所以AD平面，所以ADPE，又PEPD，PE平面APD，所以PEPD。即夾角為。15設(shè)為實(shí)數(shù)，則_4_。解答：16. 馬路上有編號(hào)為1，2，3，2011的2011只路燈，為節(jié)約用電要求關(guān)閉其中的300只燈，但不能同時(shí)關(guān)閉相鄰兩只，也不能關(guān)閉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法共有_種。（用組合數(shù)符號(hào)表示）解答

5、：?jiǎn)栴}等價(jià)于在1711只路燈中插入300只暗燈，所以共有種關(guān)燈方法。17. 設(shè)為整數(shù)，且，則_3或57_。 解答：將代入 得到，因?yàn)槎际钦麛?shù)，所以前兩個(gè)方程組無(wú)解；后兩個(gè)方程組解得。所以3或57。三、解答題（本大題共 3 小題，每小題 17 分，共計(jì) 51 分）18. 設(shè)，求在上的最大值和最小值。解答：當(dāng) 當(dāng) - 5分 由此可知 。 - 10分當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)。 - 17分19. 給定兩個(gè)數(shù)列，滿足， 。證明對(duì)于任意的自然數(shù)n，都存在自然數(shù)，使得 。 解答：由已知得到：為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2， 所以。 - 5分又由已知，由， 所以取即可。 - 17分 20. 已知橢圓，過(guò)其左焦點(diǎn)作一條直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，D為右側(cè)一點(diǎn)，連AD、BD分別交橢圓左準(zhǔn)線于M,N。若以MN為直徑的圓恰好過(guò) ，求 a的值。 解答：。設(shè)，由 得-10分設(shè)。由M、A、D共線。又，得=整理得 。-17分四、附加題（本大題共2 小題，每小題25 分，共計(jì) 50 分）21. 在銳角三角形ABC中，設(shè)在其內(nèi)部同時(shí)滿足和的點(diǎn)P的全體形成的區(qū)域G的面積為三角形ABC面積的。證明三角形ABC為等邊三角形。解答：做的外接圓O，做A則G為四邊形AEOF。又CEFOBMD所以。 -10分，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)A、O、M共線，