1、3-5 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換建立了時間函數和頻譜函數之間轉換關系。在實際信號分析中，經常需要對信號的時域和頻域之間的對應關系及轉換規律有一個清楚而深入的理解。因此有必要討論傅里葉變換的基本性質，并說明其應用。一、 線性傅里葉變換是一種線性運算。若 則 其中a和b均為常數，它的證明只需根據傅里葉變換的定義即可得出。例3-6 利用傅里葉變換的線性性質求單位階躍信號的頻譜函數。解 因 由式(3-55)得二、對稱性若 證明 因為 有 將上式中變量換為x，積分結果不變，即再將t用代之，上述關系依然成立，即最后再將x用t代替，則得所以 證畢若是一個偶函數，即，相應有，則式(3-56)成為可見，傅

2、里葉變換之間存在著對稱關系，即信號波形與信號頻譜函數的波形有著互相置換的關系，其幅度之比為常數。式中的表示頻譜函數坐標軸必須正負對調。例如例3-7 若信號的傅里葉變換為 試求。解 將中的換成t，并考慮為的實函數，有 該信號的傅里葉變換由式(3-54)可知為根據對稱性 故 再將中的換成t，則得為抽樣函數，其波形和頻譜如圖3-20所示。三、折疊性若 則 四、尺度變換性 觀看動畫若 則 證明 因a0，由令，則，代入前式，可得函數表示沿時間軸壓縮(或時間尺度擴展) a倍，而則表示沿頻率軸擴展(或頻率尺度壓縮) a倍。該性質反映了信號的持續時間與其占有頻帶成反比，信號持續時間壓縮的倍數恰好等于占有頻帶的

3、展寬倍數，反之亦然。例3-8 已知 ,求頻譜函數。解 前面已討論了 的頻譜函數，且根據尺度變換性，信號比的時間尺度擴展一倍，即波形壓縮了一半，因此其頻譜函數兩種信號的波形及頻譜函數如圖3-21所示。五、時移性若 則 此性質可根據傅里葉變換定義不難得到證明。它表明若在時域平移時間，則其頻譜函數的振幅并不改變，但其相位卻將改變。例3-9 求 的頻譜函數。解: 根據前面所討論的矩形脈沖信號和傅里葉變換的時移性，有六、頻移性若 則 證明 證畢頻移性說明若信號乘以，相當于信號所分解的每一指數分量都乘以，這就使頻譜中的每條譜線都必須平移，亦即整個頻譜相應地搬移了位置。頻譜搬移技術在通信系統得到了廣泛應用，

4、諸如調幅、同步解調、變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎上完成的。頻譜搬移實現原理是將信號乘以所謂載頻信號或，即七、時域微分性若 則 證明 因為 兩邊對t求導數，得所以 同理，可推出例3-10 求的頻譜函數。解: 因為 由時域微分性 例3-11 圖3-22所示信號為三角形函數 求其頻譜函數。解: 將微分兩次后，得到圖3-22(c)所示函數，其表達式為由微分性所以 八、頻域微分性若 則 例3-12 求的頻譜函數。解: 因為 根據頻域微分性九、時域積分性若 則 例3-13 根據和積分性求的頻譜函數。解: 因為 又 根據時域積分性例3-14 求圖3-23所示信號的頻譜函數。解: 對求兩次微分后，得且 由時

5、域積分性 十、頻域積分性若 則 例3-15 已知，求。解: 因為根據頻域積分性十一、時域卷積定理若 則 證明例3-16 圖3-24(a)所示的三角形函數可看做為兩個如圖324(b)所示門函數卷積。試利用時域卷積定理求其頻譜函數。解：因 又 所以 例3-17 一個信號的希伯特變換是和的卷積，即解： 因為 則對稱性 有 由時域卷積定理即 十二、頻域卷積定理若 則 或 例3-18 利用頻域卷積定理求的傅里葉變換。解： 因為 由對稱性 有 所以根據頻域卷積定理有 即 十三、帕塞瓦爾定理若 則 可推廣 若為實函數，則若,為實函數，則例3-19 求。解： 因 又 由帕塞瓦爾定理可得十四、奇偶性若，則(1) 當為實函數時，則若為實偶函數，即，則若為實奇函數，即，則(2) 當為虛函數，即時，則傅里葉變換的基本性質歸納如表3-3所示。表3-3傅里葉變換的基本性質性 質 名 稱時 域頻 域1. 線性2. 對稱性3.