1、2003年全國碩士研究生入學統一考試數學一真題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） = .（2） 曲面與平面平行的切平面的方程是 .（3） 設，則= .（4）從的基到基的過渡矩陣為 .（5）設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為則 .（6）已知一批零件的長度X (單位：cm)服從正態分布，從中隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40 (cm)，則的置信度為0.95的置信區間是 .(注：標準正態分布函數值二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（1）設函數f

2、(x)在內連續，其導函數的圖形如圖所示，則f(x)有(A) 一個極小值點和兩個極大值點. (B) 兩個極小值點和一個極大值點. (C) 兩個極小值點和兩個極大值點.(D) 三個極小值點和一個極大值點. y O x（2）設均為非負數列，且,則必有(A) 對任意n成立. (B) 對任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. （3）已知函數f(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內連續，且，則(A) 點(0,0)不是f(x,y)的極值點. (B) 點(0,0)是f(x,y)的極大值點. (C) 點(0,0)是f(x,y)的極小值點. (D) 根據所給條件無法判斷點(0,0)是否為f(x,y)

3、的極值點. （4）設向量組I：可由向量組II：線性表示，則 (A) 當時，向量組II必線性相關. (B) 當時，向量組II必線性相關.(C) 當時，向量組I必線性相關. (D) 當時，向量組I必線性相關. （5）設有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0, 其中A,B均為矩陣，現有4個命題： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 則Ax=0與Bx=0同解.以上命題中正確的是(A) . (B) .(C) . (D) . （6）設隨機變量，則 (A) . (B)

4、 . (C) . (D) . 三、（本題滿分10分）過坐標原點作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.(1) 求D的面積A;(2) 求D繞直線x=e旋轉一周所得旋轉體的體積V.四、（本題滿分12分）將函數展開成x的冪級數，并求級數的和.五 、（本題滿分10分）已知平面區域，L為D的正向邊界. 試證：(1) ;(2) 六 、（本題滿分10分）某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進土層. 汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功. 設土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比（比例系數為k,k>0）.汽錘第一次擊打將樁打進地下a m. 根據設計方案，要求汽錘每

5、次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數r(0<r<1). 問(1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進地下多深？(2) 若擊打次數不限，汽錘至多能將樁打進地下多深？（注：m表示長度單位米.）七 、（本題滿分12分）設函數y=y(x)在內具有二階導數，且是y=y(x)的反函數.(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.八 、（本題滿分12分）設函數f(x)連續且恒大于零， ，其中，(1) 討論F(t)在區間內的單調性.(2) 證明當t>0時，九 、（本題滿分10分）設矩陣，求B+2E的特征值與特征

6、向量，其中為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.十 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點的充分必要條件為十一 、（本題滿分10分）已知甲、乙兩箱中裝有同種產品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品. 從甲箱中任取3件產品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件數的數學期望；(2) 從乙箱中任取一件產品是次品的概率.十二 、（本題滿分8分）設總體X的概率密度為 其中是未知參數. 從總體X中抽取簡單隨機樣本，記(1) 求總體X的分布函數F(x);(2) 求統計量的分布函數；(3) 如果用作為的估計量，討論它是否具有無偏性.2003年考

7、研數學一真題評注一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） =. 【分析】 型未定式，化為指數函數或利用公式=進行計算求極限均可.【詳解1】 =,而 ，故原式=【詳解2】 因為 ，所以原式=（2） 曲面與平面平行的切平面的方程是.【分析】 待求平面的法矢量為，因此只需確定切點坐標即可求出平面方程, 而切點坐標可根據曲面切平面的法矢量與平行確定.【詳解】 令 ，則， .設切點坐標為，則切平面的法矢量為 ，其與已知平面平行，因此有 ，可解得 ，相應地有 故所求的切平面方程為 ，即 .（3） 設，則= 1 .【分析】 將展開為余弦級數，其系數計算公式為.【詳解】

8、 根據余弦級數的定義，有 = = =1.【評注】 本題屬基本題型，主要考查傅里葉級數的展開公式，本質上轉化為定積分的計算.（4）從的基到基的過渡矩陣為.【分析】 n維向量空間中，從基到基的過渡矩陣P滿足=P，因此過渡矩陣P為：P=.【詳解】根據定義，從的基到基的過渡矩陣為P=. =（5）設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 則 .【分析】 已知二維隨機變量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求滿足一定條件的概率，一般可轉化為二重積分=進行計算.【詳解】 由題設，有 = y 1 D O 1 x【評注】 本題屬基本題型，但在計算二重積分時，應注意找出概率密度不為零與滿足不等式的公共部分D，再在其上積

9、分即可.（6）已知一批零件的長度X (單位：cm)服從正態分布，從中隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40 (cm)，則的置信度為0.95的置信區間是 .(注：標準正態分布函數值【分析】 已知方差，對正態總體的數學期望進行估計，可根據，由確定臨界值，進而確定相應的置信區間.【詳解】 由題設，可見 于是查標準正態分布表知本題n=16, , 因此，根據 ，有，即 ，故的置信度為0.95的置信區間是 .二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（1）設函數f(x)在內連續，其導函數的圖形如圖所示，則f(x

10、)有(D) 一個極小值點和兩個極大值點. (E) 兩個極小值點和一個極大值點. (F) 兩個極小值點和兩個極大值點. (D) 三個極小值點和一個極大值點. C y O x 【分析】 答案與極值點個數有關，而可能的極值點應是導數為零或導數不存在的點，共4個，是極大值點還是極小值可進一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】 根據導函數的圖形可知，一階導數為零的點有3個，而 x=0 則是導數不存在的點. 三個一階導數為零的點左右兩側導數符號不一致，必為極值點，且兩個極小值點，一個極大值點；在x=0左側一階導數為正，右側一階導數為負，可見x=0為極大值點，故f(x)共有兩個極小值點和兩個極大值點

11、，應選(C).【評注】 本題屬新題型，類似考題2001年數學一、二中曾出現過，當時考查的是已知f(x)的圖象去推導的圖象，本題是其逆問題.（2）設均為非負數列，且,則必有(A) 對任意n成立. (B) 對任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. D 【分析】 本題考查極限概念，極限值與數列前面有限項的大小無關，可立即排除(A),(B)； 而極限是型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；極限屬型，必為無窮大量，即不存在.【詳解】 用舉反例法，取，則可立即排除(A),(B),(C)，因此正確選項為(D).【評注】 對于不便直接證明的問題，經常可考慮用反例，通過排除法找到正確選

12、項.（3）已知函數f(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內連續，且，則(A) 點(0,0)不是f(x,y)的極值點. (B) 點(0,0)是f(x,y)的極大值點. (C) 點(0,0)是f(x,y)的極小值點. (D) 根據所給條件無法判斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點. A 【分析】 由題設，容易推知f(0,0)=0，因此點(0,0)是否為f(x,y)的極值，關鍵看在點(0,0)的充分小的鄰域內f(x,y)是恒大于零、恒小于零還是變號. 【詳解】 由知，分子的極限必為零，從而有f(0,0)=0, 且 充分小時），于是可見當y=x且充分小時，；而當y= -x且充分小時，. 故點(0,0

13、)不是f(x,y)的極值點，應選(A).【評注】 本題綜合考查了多元函數的極限、連續和多元函數的極值概念，題型比較新，有一定難度. 將極限表示式轉化為極限值加無窮小量，是有關極限分析過程中常用的思想.（4）設向量組I：可由向量組II：線性表示，則 (A) 當時，向量組II必線性相關. (B) 當時，向量組II必線性相關. (C) 當時，向量組I必線性相關. (D) 當時，向量組I必線性相關. D 【分析】 本題為一般教材上均有的比較兩組向量個數的定理：若向量組I：可由向量組II：線性表示，則當時，向量組I必線性相關. 或其逆否命題：若向量組I：可由向量組II：線性表示，且向量組I線性無關，則必

14、有. 可見正確選項為(D). 本題也可通過舉反例用排除法找到答案.【詳解】 用排除法：如，則，但線性無關，排除(A)；，則可由線性表示，但線性無關，排除(B)；，可由線性表示，但線性無關，排除(C). 故正確選項為(D).【評注】 本題將一已知定理改造成選擇題，如果考生熟知此定理應該可直接找到答案，若記不清楚，也可通過構造適當的反例找到正確選項.（5）設有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0, 其中A,B均為矩陣，現有4個命題： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=

15、秩(B)， 則Ax=0與Bx=0同解.以上命題中正確的是(A) . (B) .(C) . (D) . B 【分析】 本題也可找反例用排除法進行分析，但 兩個命題的反例比較復雜一些，關鍵是抓住 與 ，迅速排除不正確的選項.【詳解】 若Ax=0與Bx=0同解，則n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命題成立，可排除(A),(C)；但反過來，若秩(A)=秩(B)， 則不能推出Ax=0與Bx=0同解，如，則秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0與Bx=0不同解，可見命題不成立，排除(D),故正確選項為(B).【例】 齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解的充要條件(A) r(A)=r(B)

16、. (B) A,B為相似矩陣.(C) A, B的行向量組等價. (D) A,B的列向量組等價. C 有此例題為基礎，相信考生能迅速找到答案.（6）設隨機變量，則 (A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 先由分布的定義知，其中，再將其代入，然后利用F分布的定義即可.【詳解】 由題設知，其中，于是=，這里，根據F分布的定義知故應選(C).【評注】 本題綜合考查了t分布、分布和F分布的概念，要求熟練掌握此三類常用統計量分布的定義.三 、（本題滿分10分）過坐標原點作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.(3) 求D的面積A;(4) 求D繞直線x=e旋

17、轉一周所得旋轉體的體積V.【分析】 先求出切點坐標及切線方程，再用定積分求面積A; 旋轉體體積可用一大立體（圓錐）體積減去一小立體體積進行計算，為了幫助理解，可畫一草圖.【詳解】 (1) 設切點的橫坐標為，則曲線y=lnx在點處的切線方程是 由該切線過原點知 ，從而 所以該切線的方程為 平面圖形D的面積 （2） 切線與x軸及直線x=e所圍成的三角形繞直線x=e旋轉所得的圓錐體積為 曲線y=lnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e旋轉所得的旋轉體體積為 ，因此所求旋轉體的體積為 y 1 D O 1 e x【評注】 本題不是求繞坐標軸旋轉的體積，因此不能直接套用現有公式. 也可考慮用微元法

18、分析.四 、（本題滿分12分）將函數展開成x的冪級數，并求級數的和.【分析】 冪級數展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即通過適當的恒等變形、求導或積分等，轉化為可利用已知冪級數展開的情形.本題可先求導，再利用函數的冪級數展開即可，然后取x為某特殊值，得所求級數的和.【詳解】 因為又f(0)=, 所以 =因為級數收斂，函數f(x)在處連續，所以 令，得 ,再由，得 五 、（本題滿分10分）已知平面區域，L為D的正向邊界. 試證：(1) ;(2) 【分析】 本題邊界曲線為折線段，可將曲線積分直接化為定積分證明，或曲線為封閉正向曲線，自然可想到用格林公式；(2)的證明應注意用(1)的結果.【

19、詳解】 方法一：(1) 左邊= =， 右邊= =，所以 .(2) 由于，故由（1）得 方法二：（1） 根據格林公式，得，.因為D 具有輪換對稱性，所以 =，故 . (2) 由(1)知 = = （利用輪換對稱性） =【評注】 本題方法一與方法二中的定積分與二重積分是很難直接計算出來的，因此期望通過計算出結果去證明恒等式與不等式是困難的. 另外，一個題由兩部分構成時，求證第二部分時應首先想到利用第一部分的結果，事實上，第一部分往往是起橋梁作用的.六 、（本題滿分10分）某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進土層. 汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功. 設土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深

20、度成正比（比例系數為k,k>0）.汽錘第一次擊打將樁打進地下a m. 根據設計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數r(0<r<1). 問(1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進地下多深？(2) 若擊打次數不限，汽錘至多能將樁打進地下多深？（注：m表示長度單位米.）【分析】 本題屬變力做功問題，可用定積分進行計算，而擊打次數不限，相當于求數列的極限.【詳解】 (1) 設第n次擊打后，樁被打進地下，第n次擊打時，汽錘所作的功為. 由題設，當樁被打進地下的深度為x時，土層對樁的阻力的大小為，所以 ， 由可得 即 由可得 ，從而 ，即汽錘擊打3次后，可將樁打

21、進地下.（2） 由歸納法，設，則 =由于，故得 ,從而 于是 ，即若擊打次數不限，汽錘至多能將樁打進地下 m.【評注】 本題巧妙地將變力作功與數列極限兩個知識點綜合起來了，有一定難度.但用定積分求變力做功并不是什么新問題，何況本題的變力十分簡單.七 、（本題滿分12分）設函數y=y(x)在內具有二階導數，且是y=y(x)的反函數.(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.【分析】 將轉化為比較簡單，=，關鍵是應注意：= =.然后再代入原方程化簡即可.【詳解】 (1) 由反函數的求導公式知 ，于是有=.代入原微分方程得

22、( * )(2) 方程( * )所對應的齊次方程的通解為 設方程( * )的特解為 ，代入方程( * )，求得，故，從而的通解是 由，得. 故所求初值問題的解為 【評注】 本題的核心是第一步方程變換.八 、（本題滿分12分）設函數f(x)連續且恒大于零， ，其中，(1) 討論F(t)在區間內的單調性.(2) 證明當t>0時，【分析】 (1) 先分別在球面坐標下計算分子的三重積分和在極坐標下計算分母的重積分，再根據導函數的符號確定單調性；(2) 將待證的不等式作適當的恒等變形后，構造輔助函數，再用單調性進行證明即可.【詳解】 (1) 因為 ， ，所以在上，故F(t) 在內單調增加.（2）

23、因 ，要證明t>0時，只需證明t>0時，即 令 ，則 ，故g(t)在內單調增加.因為g(t)在t=0處連續，所以當t>0時，有g(t)>g(0).又g(0)=0, 故當t>0時，g(t)>0,因此，當t>0時，【評注】 本題將定積分、二重積分和三重積分等多個知識點結合起來了，但難點是證明（2）中的不等式，事實上，這里也可用柯西積分不等式證明： ，在上式中取f(x)為，g(x)為即可.九 、（本題滿分10分）設矩陣，求B+2E的特征值與特征向量，其中為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.【分析】 可先求出，進而確定及B+2E，再按通常方法確定其特征值和特征向

24、量；或先求出A的特征值與特征向量，再相應地確定A*的特征值與特征向量，最終根據B+2E與A*+2E相似求出其特征值與特征向量.【詳解】 方法一：經計算可得 ， ， =.從而 ，故B+2E的特征值為當時，解，得線性無關的特征向量為 所以屬于特征值的所有特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數.當時，解，得線性無關的特征向量為 ，所以屬于特征值的所有特征向量為，其中為任意常數.方法二：設A的特征值為，對應特征向量為，即 . 由于，所以 又因 ，故有 于是有 ， 因此，為B+2E的特征值，對應的特征向量為由于 ，故A的特征值為當時，對應的線性無關特征向量可取為， 當時，對應的一個特征向量為 由 ，得，

25、.因此，B+2E的三個特征值分別為9，9，3.對應于特征值9的全部特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數；對應于特征值3的全部特征向量為 ，其中是不為零的任意常數.【評注】 設，若是A的特征值，對應特征向量為，則B與A有相同的特征值，但對應特征向量不同，B對應特征值的特征向量為本題計算量大，但方法思路都是常規和熟悉的，主要是考查考生的計算能力.不過利用相似矩陣有相同的特征值以及A與A*的特征值之間的關系討論，可適當降低計算量.十 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點的充分必要條件為【分析】 三條直線相交于一點，相當于對應線性方程組有唯一解，進而轉化為系數矩陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】 方法一：必要性設三條直線交于一點，則線性方程組 (*)有唯一解，故系數矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于 =,但根據題設 ，故 充分性：由，則從必要性的證明可知，故秩由于 =，故秩(A)=2. 于是， 秩(A)=秩=2. 因此方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點.方法二：必要性設三直線交于一點，則為Ax=0的非零解，其中 于是 . 而 =,但根據題設 ，故 充分性：考慮線性方程組 (*)將方程組(*)的三個方程相加，并由a