1、第一章 習(xí)題解答1.1 已知不變線性系統(tǒng)的輸入為 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。若b取（1）（2），求系統(tǒng)的輸出。并畫出輸出函數(shù)及其頻譜的圖形。答：（1） 圖形從略， （2） 圖形從略。 1.2若限帶函數(shù)的傅里葉變換在長度為寬度的矩形之外恒為零，（1） 如果，試證明 證明：（2） 如果， ，還能得出以上結(jié)論嗎？答：不能。因為這時。1.3 對一個空間不變線性系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)為 試用頻域方法對下面每一個輸入，求其輸出。（必要時，可取合理近似）（1）答：（2）答：（3）答： （4）答：1.4 給定一個不變線性系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波 對下述傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出。（1）（2）答：圖解方法是在頻域

2、里進行的，首先要計算輸入函數(shù)的頻譜，并繪成圖形方括號內(nèi)函數(shù)頻譜圖形為：圖1.4（1）圖形為：圖 1.4（2）因為的分辨力太低，上面兩個圖縱坐標(biāo)的單位相差50倍。兩者相乘時忽略中心五個分量以外的其他分量，因為此時的最大值小于0.04%。故圖解頻譜結(jié)果為：圖 1.4（3）傳遞函數(shù)（1）形為：圖 1.4（4）因為近似后的輸入函數(shù)頻譜與該傳遞函數(shù)相乘后，保持不變，得到輸出函數(shù)頻譜表達式為：其反變換，即輸出函數(shù)為：該函數(shù)為限制在區(qū)間內(nèi)，平均值為1，周期為3，振幅為1.37的一個余弦函數(shù)與周期為1.5，振幅為0.342的另一個余弦函數(shù)的疊加。傳遞函數(shù)（2）形為：圖 1.4（5）此時，輸出函數(shù)僅剩下在及兩個

3、區(qū)間內(nèi)分量，盡管在這兩個區(qū)間內(nèi)輸入函數(shù)的頻譜很小，相對于傳遞函數(shù)（2）在的零值也是不能忽略的，由于可以解得，通過傳遞函數(shù)（2）得到的輸出函數(shù)為：該函數(shù)依然限制在區(qū)間內(nèi)，但其平均值為零，是振幅為0.043，周期為0.75，的一個余弦函數(shù)與振幅為0.027，周期為0.6的另一個余弦函數(shù)的疊加。1.5 若對二維函數(shù) 抽樣，求允許的最大抽樣間隔并對具體抽樣方法進行說明。答： 也就是說，在X方向允許的最大抽樣間隔小于1/2a，在y方向抽樣間隔無限制。1.6 若只能用表示的有限區(qū)域上的脈沖點陣對函數(shù)進行抽樣，即 試說明，即使采用奈魁斯特間隔抽樣，也不能用一個理想低通濾波器精確恢復(fù)。答：因為表示的有限區(qū)域以

4、外的函數(shù)抽樣對精確恢復(fù)也有貢獻，不可省略。1.7 若二維不變線性系統(tǒng)的輸入是“線脈沖”，系統(tǒng)對線脈沖的輸出響應(yīng)稱為線響應(yīng)。如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，證明：線響應(yīng)的一維傅里葉變換等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿軸的截面分布。證明：1.8 如果一個空間不變線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在頻率域的區(qū)間，之外恒為零，系統(tǒng)輸入為非限帶函數(shù)，輸出為。證明，存在一個由脈沖的方形陣列構(gòu)成的抽樣函數(shù)，它作為等效輸入，可產(chǎn)生相同的輸出，并請確定。答：為了便于從頻率域分析，分別設(shè)：物的空間頻譜 ；像的空間頻譜 ；等效物體的空間頻譜 ；等效物體的像的空間頻譜 由于成像系統(tǒng)是一個線性的空間不變低通濾波器，傳遞函數(shù)在之外恒為零，故可將其記為：、利用系

5、統(tǒng)的傳遞函數(shù)，表示物像之間在頻域中的關(guān)系為 在頻域中我們構(gòu)造一個連續(xù)的、二維周期性分布的頻域函數(shù)，預(yù)期作為等效物的譜，辦法是把安置在平面上成矩形格點分布的每一個點周圍，選擇矩形格點在、方向上的間隔分別為和,以免頻譜混疊，于是 （1）對于同一個成像系統(tǒng)，由于傳遞函數(shù)的通頻帶有限，只能允許的中央一個周期成份（）通過，所以成像的譜并不發(fā)生變化，即 圖1.8用一維形式表示出系統(tǒng)在頻域分別對和的作用，為簡單計，系統(tǒng)傳遞函數(shù)在圖中表示為。 圖 題1.8 既然，成像的頻譜相同，從空間域來看，所成的像場分布也是相同的，即 因此，只要求出的逆傅立葉變換式，就可得到所需的等效物場，即 帶入（1）式，并利用卷積定理得到 （2）上式也可以從抽樣定理來解釋。 是一個限帶的頻譜函數(shù)，它所對應(yīng)的空間域的函數(shù)可以通過抽樣，用一個點源的方形陣列來表示，若抽樣的矩形格點的間隔，在方向是，在方向是，就得到等效物場 ； （3） （4）把（3）、（4）式代入（2）式，得到 利用函數(shù)性質(zhì)（1.8）式，上式可寫為這一點源的方形陣列構(gòu)成的等效物場可以和真實物體產(chǎn)生