1、八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）幾何證明中的輔助線添加方法數(shù)學(xué)組 田茂松 八年級(jí)數(shù)學(xué)的幾何題，有部分題需要做出輔助線才能完成。有的時(shí)候，做不出恰當(dāng)?shù)妮o助線，或者做不出輔助線，就沒(méi)有辦法完成該題的解答。為了能夠更好的讓學(xué)生在做幾何題時(shí)得心應(yīng)手，現(xiàn)在將八年級(jí)數(shù)學(xué)中幾何題的輔助線添加方法總結(jié)如下。常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：1.遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。2.遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。3.遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變

2、換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4.過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。5.截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目。6.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答。 常見(jiàn)輔助線的作法舉例：例1 如圖1,，. 求證：.分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。證明

3、：連接（或）圖1 , （已知） 12，34 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在與中 （ASA） （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）例2 如圖2,在中，的延長(zhǎng)于.求證：. 圖2分析：要證，想到要構(gòu)造線段，同時(shí)與的平分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。 證明：分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn). （已知） （垂直的定義）在與中，（ASA） （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）, （已知） , , 在與中 （AAS）（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） .例3 已知如圖3,、相交于點(diǎn)，且，求證：.圖3分析：要證，可證它們所在的三角形和全等，而只有和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件,難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由，若連接，則和全等，所以，證得.證明：連接，在和中

4、 (SSS) (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)例4 如圖4,，.求證：.分析：由，想到如取的中點(diǎn)，連接，再由SAS公理有，故，.下面只需證，再取的中點(diǎn)，連接，則由SSS公理有，所以.證明：取，的中點(diǎn)、，連接，.則，.圖4在和中 （SAS）, （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）在與中 (SSS) （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）,即.例5 如圖5，平分，平分，點(diǎn)在上，求證：.圖5分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形，即利用角平分線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問(wèn)題，在證明線段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的

5、線段.但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的.簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段上截取，再證明，從而達(dá)到證明的目的.這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形.另外一個(gè)全等自已證明,只要證明即可.此題的證明也可以延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明.例6 如圖6，已知, ,.求證：. 圖6分析：可由點(diǎn)向的兩邊作垂線,證明,進(jìn)而得,從而得證.證明：略例7 如圖，在中，是角平分線，,求證:.分析：證法1 此題涉及到倍角關(guān)系，基本思路是構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的兩個(gè)底角相等，由此可以在上去一點(diǎn)(如圖6-1)，使,容易證明,可得,又由,可知,得.圖7-2證法2 可以延長(zhǎng)到（如圖6-2）,使,連接.易證，從而,又,問(wèn)題得證.圖7-1 證